פותרים יחד · הנגזרת של פולינום · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה מלאה, משיק עם כלל המכפלה, פרמטרים, קריאת הגרף של $f'$ , וערכי קיצון בקטע סגור. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — חקירה מלאה

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x) = x^3 - 3x + 2$ . א. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים. ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ד. שרטטו סקיצה.

f(x) = x^3 - 3x + 2

לחצו «להתחיל». הסדר קבוע: צירים, נגזרת, טבלה, גבהים.

א. ציר y

f(0) = 2 \ \Rightarrow \ (0,\,2)

מציבים אפס.

א. ציר x

\begin{aligned}x^3 - 3x + 2 &= (x-1)^2(x+2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= -2\end{aligned}

בדיקה: $(x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 - 3x + 2$ ✓. הנקודות $(1,\,0)$ ו- $(-2,\,0)$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 3(x-1)(x+1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1\end{aligned}

שתי נקודות חשודות.

ב. סימנים

\begin{aligned}f'(-2) &= 9 > 0 \qquad f'(0) \\ &= -3 < 0 \qquad f'(2) \\ &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס.

ב. גבהים

\begin{aligned}f(-1) &= -1 + 3 + 2 \\ &= 4 \qquad f(1) \\ &= 1 - 3 + 2 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים ב- $f$ , לא ב- $f'$ .

ב. מסקנה

\max (-1,\,4) \qquad \min (1,\,0)

מפלוס למינוס ב- $-1$ , ממינוס לפלוס ב- $1$ .

ג.

\text{עולה}: \ x < -1 \ \text{או} \ x > 1 \qquad \text{יורדת}: \ -1 < x < 1

קוראים מהטבלה.

ד.

(-2,\,0) \nearrow (-1,\,4) \searrow (1,\,0) \nearrow

הסקיצה עוברת בארבע הנקודות שמצאנו, והמינימום נוגע בציר ה- $x$ .

המינימום $(1,\,0)$ הוא גם נקודת חיתוך עם ציר ה- $x$ : הגרף נוגע בציר שם ולא חוצה אותו. זה מה שמספר הגורם $(x-1)^2$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם $(-1,\,4)$ היא הנקודה הגבוהה ביותר של הגרף?

להציג את התשובה והפתרון

לא. מימין ל- $1$ הגרף עולה בלי גבול: $f(3) = 27 - 9 + 2 = 20$ . זה מקסימום מקומי. לפולינום ממעלה שלישית אין מקסימום מוחלט.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משיק, עם כלל המכפלה

פעילות אינטראקטיבית

משוואת המשיק ל- $f(x) = (x^2 - 2)(x + 1)$ בנקודה שבה $x = 1$

נתונה $f(x) = (x^2 - 2)(x + 1)$ . מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 1$ .

$y = 3x - 5$

$y = 3x + 1$

$y = -2x + 3$

$y = 3x - 2$

מה הצעד הראשון?

מוצאים את נקודת ההשקה: $f(1)$

להציג את התשובה והפתרון

לישר צריך נקודה ושיפוע. הנקודה באה מ- $f$ .

מוצאים את $f'(1)$ ומציבים אותו במקום $y_0$

להציג את התשובה והפתרון

$f'(1)$ הוא השיפוע, לא הגובה.

\begin{aligned}f(1) &= (1 - 2)(1 + 1) \\ &= -2 \ \Rightarrow \ (1,\,-2)\end{aligned}

נקודת ההשקה

איך גוזרים את המכפלה?

$f' = 2x(x+1) + (x^2-2) \cdot 1$

להציג את התשובה והפתרון

כלל המכפלה: נגזרת הראשון כפול השני, ועוד הראשון כפול נגזרת השני.

$f' = 2x \cdot 1$

להציג את התשובה והפתרון

מכפלת הנגזרות אינה נגזרת המכפלה.

\begin{aligned}f'(1) &= 2 \cdot 2 + (-1) \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע: מציבים ישר, בלי לפשט

ומה עכשיו?

$y - (-2) = 3(x - 1)$

להציג את התשובה והפתרון

שיפוע ונקודה בנוסחת הישר.

להציג את התשובה והפתרון

כתבו את הגובה במקום המספר החופשי. הישר הזה לא עובר ב- $(1,\,-2)$ : $3 - 2 = 1$ .

\begin{aligned}y + 2 &= 3x - 3 \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x - 5\end{aligned}

משוואת המשיק

להציג את התשובה והפתרון

$y = 3x - 5$ . בדיקה: ב- $x = 1$ הישר נותן $-2$ , בדיוק הגובה של הגרף. « $y = 3x - 2$ » שם את $y_0$ במקום שבו צריך להיות המספר החופשי.

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטרים

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4$ . שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 0$ הוא $9$ , ולפונקציה נקודת קיצון ב- $x = 1$ . א. מצאו את $a$ ואת $b$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

\begin{aligned}f(x) &= x^3 + ax^2 + bx + 4 \\ \quad f'(0) &= 9 \\ \quad f'(1) &= 0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». שני תנאים, ושניהם על הנגזרת.

נגזרת

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים עם הפרמטרים.

תנאי 1

\begin{aligned}f'(0) &= b \\ &= 9\end{aligned}

שיפוע המשיק ב- $x = 0$ .

תנאי 2

\begin{aligned}f'(1) &= 3 + 2a + 9 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6\end{aligned}

קיצון ב- $x = 1$ : הנגזרת מתאפסת.

א.

\begin{aligned}a &= -6 \\ \quad b &= 9 \ \Rightarrow \ f(x) \\ &= x^3 - 6x^2 + 9x + 4\end{aligned}

הפונקציה עכשיו ידועה.

ב. חשודות

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12x + 9 \\ &= 3(x-1)(x-3) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

הנקודה $x = 1$ חוזרת, כמו שצריך, ומצטרפת אליה $x = 3$ .

ב. סימנים

\begin{aligned}f'(0) &= 9 > 0 \qquad f'(2) \\ &= -3 < 0 \qquad f'(4) \\ &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס.

ב.

\max (1,\,8) \qquad \min (3,\,4)

$f(1) = 1 - 6 + 9 + 4 = 8$ , $f(3) = 27 - 54 + 27 + 4 = 4$ .

אחרי שמוצאים את הפרמטרים, בודקים שהתנאים מתקיימים: $f'(0) = 9$ ✓ ו- $f'(1) = 0$ ✓. רק אז ממשיכים לחקירה.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה התנאי «שיפוע המשיק ב- $x=0$ הוא $9$ » לא הלך לפונקציה $f$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי שיפוע הוא ערך של הנגזרת. $f(0) = 4$ הוא הגובה של הגרף ב- $x = 0$ , ואף אחד לא שאל עליו. שני התנאים בשאלה הזאת הם על $f'$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — נתון הגרף של $f'$

הגרף של הנגזרת f′

זהו הגרף של

f'

, לא של

f

. הוא חותך את הציר ב-

x = -2

וב-

x = 1

פעילות אינטראקטיבית

מהגרף של $f'$ אל נקודות הקיצון של $f$

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת $f'$ של פונקציה $f$ . מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f$ , ואת שיעורי ה- $x$ של נקודות הקיצון שלה וסוגן.

מקסימום ב- $x = -2$ ומינימום ב- $x = 1$

מינימום ב- $x = -2$ ומקסימום ב- $x = 1$

מינימום ב- $x = -0.5$

ל- $f$ אין נקודות קיצון

איפה $f$ עולה?

איפה שהגרף של $f'$ מעל הציר: $x < -2$ או $x > 1$

להציג את התשובה והפתרון

$f' > 0$ פירושו $f$ עולה.

איפה שהגרף של $f'$ עולה: $x > -0.5$

להציג את התשובה והפתרון

הכיוון של $f'$ לא אומר כלום על $f$ . הסימן שלה אומר.

f' > 0: \ x < -2 \ \text{או} \ x > 1

$f$ עולה

ואיפה $f$ יורדת?

$-2 < x < 1$ , שם $f'$ מתחת לציר

להציג את התשובה והפתרון

$f' < 0$ פירושו $f$ יורדת.

$x < -0.5$ , שם $f'$ יורדת

להציג את התשובה והפתרון

שוב הכיוון במקום הסימן.

f' < 0: \ -2 < x < 1

$f$ יורדת

מה קורה ל- $f$ ב- $x = -2$ ?

מקסימום: $f'$ עוברת מפלוס למינוס

להציג את התשובה והפתרון

$f$ עולה ואז יורדת.

מינימום: הגרף של $f'$ יורד שם

להציג את התשובה והפתרון

הגרף של $f'$ יורד, אבל $f$ עצמה עולה ואז יורדת.

x = -2: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max

ואז ב- $x = 1$ : $- \to +$ , מינימום

להציג את התשובה והפתרון

מקסימום ב- $x = -2$ ומינימום ב- $x = 1$ . «מינימום ב- $x = -0.5$ » קרא את הגרף של $f'$ כאילו הוא הגרף של $f$ : שם $f'$ בשיא השליליות שלה, כלומר $f$ הכי תלולה בירידה, לא בקיצון.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם אפשר לדעת מהגרף של $f'$ מהו הגובה $f(-2)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הגרף של $f'$ אומר רק איפה $f$ עולה, יורדת, ומתהפכת. שתי פונקציות שנבדלות במספר חופשי, כמו $f$ ו- $f + 5$ , נותנות אותו גרף של $f'$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגור

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x) = -x^3 + 12x$ בקטע $-1 \le x \le 3$ . מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע.

\begin{aligned}f(x) &= -x^3 + 12x \\ \quad -1 \le x \le 3\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בקטע סגור משווים את הנקודות החשודות שבתוך הקטע ואת שני הקצוות.

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= -3x^2 + 12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

שתי נקודות חשודות.

בתחום?

-1 \le 2 \le 3 \ \checkmark \qquad -2 < -1

$x = 2$ בתוך הקטע. $x = -2$ מחוץ לקטע, ולכן נפסלת. נשארת רק $x = 2$ .

ערכים

\begin{aligned}f(2) &= -8 + 24 \\ &= 16 \qquad f(-1) \\ &= 1 - 12 \\ &= -11 \qquad f(3) \\ &= -27 + 36 \\ &= 9\end{aligned}

הנקודה החשודה ושני הקצוות.

מסקנה

\begin{aligned}\max &= 16 \ (x = 2) \qquad \min \\ &= -11 \ (x = -1)\end{aligned}

הגדול ביותר בנקודה פנימית, הקטן ביותר בקצה.

מי ששכח את הקצוות היה עונה «מינימום $16$ » או מחפש מינימום ב- $x = -2$ , שאינו בקטע בכלל. הערך $-11$ נמצא רק בהצבת הקצה.

לעשות את הפעילות ב-elev

ואם הקטע היה $-3 \le x \le 3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

אז $x = -2$ בתוך הקטע, ו- $f(-2) = 8 - 24 = -16$ . הקצוות: $f(-3) = 27 - 36 = -9$ ו- $f(3) = 9$ . המקסימום נשאר $16$ , אבל המינימום הופך ל- $-16$ בנקודה פנימית. הקטע משנה את התשובה.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ . מצאו את נקודות הקיצון שלה ואת סוגן.

מקסימום: $($ ____ $,$ ____ $)$ ; מינימום: $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: $($ 0 $,$ 4 $)$ ; מינימום: $($ 2 $,$ 0 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות חשודות

\begin{aligned}f'(-1) &= 9 > 0 \qquad f'(1) \\ &= -3 < 0 \qquad f'(3) \\ &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס

\begin{aligned}f(0) &= 4 \qquad f(2) \\ &= 8 - 12 + 4 \\ &= 0\end{aligned}

הגבהים מ- $f$

מקסימום $(0,\,4)$ , מינימום $(2,\,0)$ . המינימום יושב על ציר ה- $x$ : $f(x) = (x+1)(x-2)^2$ , והגרף נוגע בציר ב- $x = 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)$ . מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 2$ ?

$y = x - 5$
$y = x + 3$
$y = x - 7$
$y = -5x + 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y = x - 7$

הפתרון:

\begin{aligned}f(2) &= 5 \cdot (-1) \\ &= -5\end{aligned}

נקודת ההשקה $(2,\,-5)$

\begin{aligned}f'(x) &= 2x(x-3) + (x^2+1) \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 4 \cdot (-1) + 5 \\ &= 1\end{aligned}

כלל המכפלה, ומציבים

\begin{aligned}y + 5 &= 1 \cdot (x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= x - 7\end{aligned}

שיפוע ונקודה

הנכונה: $y = x - 7$ . בדיקה: ב- $x = 2$ הישר נותן $-5$ ✓. « $y = x - 5$ » כתב את הגובה במקום המספר החופשי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 1$ . שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 0$ הוא $-9$ , ולפונקציה נקודת קיצון ב- $x = 3$ . מצאו את $a$ ואת $b$ .

$a=$ ____ , $b=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a=$ -3 , $b=$ -9

הפתרון:

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים

\begin{aligned}f'(0) &= b \\ &= -9\end{aligned}

שיפוע המשיק ב- $x = 0$

\begin{aligned}f'(3) &= 27 + 6a - 9 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -3\end{aligned}

קיצון ב- $x = 3$

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x - 9 \\ &= 3(x-3)(x+1) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

שני התנאים על $f'$ . המספר $-1$ בפונקציה לא משתתף בכלל: הנגזרת מוחקת אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הגרף של f′

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת $f'$ של פונקציה $f$ : ישר שחותך את הציר ב- $x = 1$ . מה נכון לגבי $f$ ?

$f$ עולה כאשר $x > 1$
ל- $f$ מקסימום ב- $x = 1$
ל- $f$ מינימום ב- $x = 1$
ל- $f$ מקסימום ב- $x = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ל- $f$ מקסימום ב- $x = 1$

הפתרון:

x < 1: \ f' > 0 \qquad x > 1: \ f' < 0

מעל הציר, ואז מתחת

+ \to - \ \Rightarrow \ \max

ב- $x = 1$

הנכונה: מקסימום ב- $x = 1$ . הישר יורד, אבל הוא $f'$ : מה שקובע הוא שהוא עובר מחיובי לשלילי. ב- $x = 0$ הערך $f'(0) = 2$ הוא הגובה של $f'$ , לא קיצון של $f$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x) = x^3 - 3x$ בקטע $0 \le x \le 3$ . מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1\end{aligned}

נקודות חשודות; $x = -1$ מחוץ לקטע

\begin{aligned}f(1) &= -2 \qquad f(0) \\ &= 0 \qquad f(3) \\ &= 27 - 9 \\ &= 18\end{aligned}

הנקודה החשודה ושני הקצוות

\max = 18 \ (x = 3)

בקצה

הנגזרת מוצאת רק את $x = 1$ , ושם מינימום $-2$ . הערך הגדול ביותר נמצא בקצה $x = 3$ , ומי שלא הציב את הקצוות היה עונה $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — חקירה מלאה

2 — משיק, עם כלל המכפלה

3 — פרמטרים

4 — נתון הגרף של f′f'f′

5 — ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגור

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

4 — נתון הגרף של $f'$