משוואת הישר · מבוא להנדסה אנליטית · כיתה י׳

בחטיבת הביניים פגשתם את הישר $y=mx+b$ ואת הפרבולה $y=ax^2+bx+c$ כפונקציות. בהנדסה אנליטית מסתכלים עליהם גם כקבוצות של נקודות במישור: נקודה נמצאת על הגרף אם ורק אם השיעורים שלה מקיימים את המשוואה. כך כל שאלה גאומטרית — מקביל, מאונך, חיתוך — הופכת לשאלה אלגברית.

הישר כפונקציה — ומתי ישר אינו פונקציה

פונקציה מתאימה לכל $x$ ערך $y$ אחד בלבד. הישר $x=3$ הוא אוסף כל הנקודות ששיעור ה- $x$ שלהן הוא $3$ : $(3,0)$ , $(3,1)$ , $(3,-5)$ ... ל- $x=3$ יש אינסוף ערכי $y$ , ולכן $x=3$ אינו פונקציה. לעומתו, $y=3$ הוא פונקציה קבועה — ישר אופקי ששיפועו $0$ .

y=mx+b

ישר משופע או אופקי — פונקציה. $m$ השיפוע, $b$ נקודת החיתוך עם ציר $y$ .

y=k

ישר מקביל לציר $x$ — פונקציה קבועה, השיפוע $0$ .

x=k

ישר מקביל לציר $y$ — אינו פונקציה, ואין לו שיפוע.

האם הישר $x=-2$ הוא גרף של פונקציה? ומה לגבי הישר $y=-2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$x=-2$ — לא: לערך $x=-2$ מתאימים אינסוף ערכי $y$ . $y=-2$ — כן: פונקציה קבועה, ישר אופקי ששיפועו $0$ .

השיפוע — מה שרואים בין שתי נקודות

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

שיפוע הישר העובר דרך $(x_1,y_1)$ ו- $(x_2,y_2)$

למה אי אפשר לחשב שיפוע בין הנקודות $(4,1)$ ו- $(4,7)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי המכנה $x_2-x_1=4-4=0$ , ואין חילוק באפס. שתי הנקודות על הישר האנכי $x=4$ — ולישר אנכי אין שיפוע.

משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה

נניח שהישר עובר דרך $(x_1,y_1)$ ושיפועו $m$ . כל נקודה אחרת $(x,y)$ על הישר יוצרת עם $(x_1,y_1)$ את אותו שיפוע: $\frac{y-y_1}{x-x_1}=m$ . מכפילים במכנה ומקבלים את הנוסחה:

y - y_1 = m(x - x_1)

ישר דרך שתי נקודות

מצאו את משוואת הישר העובר דרך $A(2,-1)$ ו- $B(5,8)$ .

\begin{aligned}m &= \frac{8-(-1)}{5-2} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

קודם השיפוע — הפרש ה- $y$ חלקי הפרש ה- $x$

y-(-1) = 3(x-2)

מציבים את $m$ ואת הנקודה $A$

\begin{aligned}y + 1 &= 3x - 6 \Rightarrow y \\ &= 3x - 7\end{aligned}

פותחים סוגריים ומבודדים את $y$

3 \cdot 5 - 7 = 8 \ \checkmark

בדיקה: גם $B$ מקיימת את המשוואה

צורה מפורשת וצורה כללית

y = mx + b

צורה מפורשת — $y$ מבודד. קוראים ממנה מיד את השיפוע ואת נקודת החיתוך עם ציר $y$ .

Ax + By + C = 0

צורה כללית — כל האיברים באגף אחד. היא כוללת גם ישרים אנכיים: כאשר $B=0$ נשאר $Ax+C=0$ , כלומר $x=k$ .

כדי לעבור מצורה כללית למפורשת (כש- $B \neq 0$ ) מבודדים את $y$ . המקדם של $x$ בצורה הכללית אינו השיפוע.

מהו שיפוע הישר $2x-3y+6=0$ , ובאיזו נקודה הוא חותך את ציר $y$ ?

להציג את התשובה והפתרון

מבודדים: $-3y=-2x-6$ , ולכן $y=\frac{2}{3}x+2$ . השיפוע $\frac{2}{3}$ (ולא $2$ ), ונקודת החיתוך עם ציר $y$ היא $(0,2)$ .

גם הפרבולה היא אוסף נקודות

אותו עיקרון בדיוק: הנקודה $(x_0,y_0)$ נמצאת על הפרבולה $y=ax^2+bx+c$ אם ורק אם $y_0=ax_0^2+bx_0+c$ . מציבים את ה- $x$ ובודקים אם יוצא ה- $y$ .

האם הנקודה $(-1,6)$ נמצאת על הפרבולה $y=x^2-3x+2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כן. $(-1)^2-3(-1)+2=1+3+2=6$ — יוצא בדיוק ה- $y$ של הנקודה.

שלוש הטעויות הנפוצות במשוואת ישר.

m = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

השיפוע הוא הפרש ה- $y$ חלקי הפרש ה- $x$ — לא להפך.

\begin{aligned}2x - 3y + 6 &= 0 \Rightarrow m \\ &= 2\end{aligned}

m = \frac{2}{3}

בצורה כללית המקדם של $x$ אינו השיפוע. קודם מבודדים את $y$ .

(3,1): \ y - 1 = 2(x + 3)

y - 1 = 2(x - 3)

בנוסחה יש מינוס: מציבים $x_1=3$ ומקבלים $x-3$ .

תרגילים

תרגיל 1

מהו שיפוע הישר העובר דרך הנקודות $A(-2,5)$ ו- $B(4,-4)$ ? (כתבו כשבר עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1.5

הפתרון:

m = \frac{-4-5}{4-(-2)}

הפרש ה- $y$ חלקי הפרש ה- $x$ , באותו סדר

\begin{aligned}m &= \frac{-9}{6} \\ &= -1.5\end{aligned}

השיפוע שלילי — הישר יורד. הטעות הנפוצה: $4-2$ במכנה במקום $4-(-2)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי משוואת הישר ששיפועו $-2$ והעובר דרך הנקודה $(1,4)$ ?

$y=-2x+4$
$y=4x-2$
$y=-2x+6$
$y=-2x+2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y=-2x+6$

הפתרון:

y - 4 = -2(x - 1)

נוסחת ישר לפי שיפוע ונקודה

\begin{aligned}y &= -2x + 2 + 4 \\ &= -2x + 6\end{aligned}

פותחים סוגריים ומבודדים את $y$

הבחירה הנכונה: « $y=-2x+6$ ». « $y=-2x+4$ » — מי שהציב את ה- $y$ של הנקודה במקום $b$ . « $y=-2x+2$ » — טעות סימן: $x+1$ במקום $x-1$ . « $y=4x-2$ » — החלפת תפקידים בין השיפוע לנקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ישר עובר דרך $A(-1,-4)$ ו- $B(3,8)$ . באיזו נקודה הוא חותך את ציר $y$ ? כתבו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

\begin{aligned}m &= \frac{8-(-4)}{3-(-1)} \\ &= \frac{12}{4} \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y - 8 &= 3(x - 3) \Rightarrow y \\ &= 3x - 1\end{aligned}

מציבים את $B$ — אפשר גם את $A$

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -1\end{aligned}

חיתוך עם ציר $y$ : מציבים $x=0$

נקודת החיתוך $(0,-1)$ . אל תתבלבלו: חיתוך עם ציר $y$ פירושו $x=0$ , לא $y=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מיינו: אילו מהמשוואות מתארות פונקציה?

פונקציה
לא פונקציה

$2x+5=0$
$3x-y=0$
$x=3$
$y=-x+1$
$y=3$
$y=x^2-4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=3$ — פונקציה · $x=3$ — לא פונקציה · $y=-x+1$ — פונקציה · $2x+5=0$ — לא פונקציה · $y=x^2-4$ — פונקציה · $3x-y=0$ — פונקציה

הפתרון:

\begin{aligned}2x + 5 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2.5\end{aligned}

אין בה $y$ בכלל — זה ישר אנכי

\begin{aligned}3x - y &= 0 \Rightarrow y \\ &= 3x\end{aligned}

מבודדים את $y$ — פונקציה

רק ישרים מהצורה $x=k$ אינם פונקציות. הטעות: לחשוב ש- $2x+5=0$ הוא «פונקציה בלי $y$ » — בפועל הוא הישר האנכי $x=-2.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כתבו את הישר $4x+2y-10=0$ בצורה מפורשת.

שיפוע הישר הוא ____, והוא חותך את ציר $y$ בנקודה שבה $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שיפוע הישר הוא -2, והוא חותך את ציר $y$ בנקודה שבה $y=$ 5

הפתרון:

2y = -4x + 10

מעבירים את $4x$ ואת $-10$ לאגף ימין

y = -2x + 5

מחלקים ב- $2$ — את כל האיברים

$m=-2$ , $b=5$ . הטעות הנפוצה: לקרוא את השיפוע $4$ ישר מהצורה הכללית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הנקודה $(2,-3)$ נמצאת על הישר $5x+2y-4=0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}5 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 4 &= 10 - 6 - 4 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים את שני השיעורים

יצא $0$ — הנקודה מקיימת את המשוואה ולכן נכון. לא צריך לעבור לצורה מפורשת כדי לבדוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודה $(3,p)$ נמצאת על הפרבולה $y=2x^2-5x-1$ . מהו $p$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

p = 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 - 1

מציבים $x=3$

\begin{aligned}p &= 18 - 15 - 1 \\ &= 2\end{aligned}

החזקה קודמת לכפל: $2 \cdot 3^2 = 18$ , לא $6^2=36$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהי משוואת הישר העובר דרך $(3,-2)$ ו- $(3,5)$ ?

$y=7$
$x=3$
$y=3$
$y=x-5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x=3$

הפתרון:

\begin{aligned}x_2 - x_1 &= 3 - 3 \\ &= 0\end{aligned}

המכנה של השיפוע מתאפס

x = 3

לשתי הנקודות אותו $x$ — זה ישר אנכי

הבחירה הנכונה: « $x=3$ ». « $y=3$ » — ישר אופקי, מחליף בין הצירים. « $y=x-5$ » — עובר דרך $(3,-2)$ בלבד. « $y=7$ » — מי שחישב את הפרש ה- $y$ וכתב אותו כמשוואה. לישר אנכי אין שיפוע ואין לו צורה מפורשת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

סדרו את השלבים למציאת משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות.

בודקים שהנקודה השנייה מקיימת את המשוואה
מחשבים את השיפוע $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
מציבים את $m$ ואת אחת הנקודות ב- $y-y_1=m(x-x_1)$
פותחים סוגריים ומבודדים את $y$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מחשבים את השיפוע $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ · מציבים את $m$ ואת אחת הנקודות ב- $y-y_1=m(x-x_1)$ · פותחים סוגריים ומבודדים את $y$ · בודקים שהנקודה השנייה מקיימת את המשוואה

הפתרון:

\begin{aligned}m \ \Rightarrow \ y - y_1 &= m(x-x_1) \ \Rightarrow \ y \\ &= mx + b\end{aligned}

בלי שיפוע אי אפשר להציב בנוסחה

הבדיקה בסוף אינה קישוט: היא תופסת טעות סימן בשיפוע כבר כאן, לפני שהיא מתגלגלת לסעיף הבא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

באיזו נקודה חותך הישר $3x-4y+12=0$ את ציר $x$ ? כתבו את שיעור ה- $x$ שלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow 3x + 12 \\ &= 0\end{aligned}

על ציר $x$ שיעור ה- $y$ הוא $0$

x = -4

נקודת החיתוך $(-4,0)$ . חיתוך עם ציר $x$ — מציבים $y=0$ ; מי שהציב $x=0$ מצא את החיתוך עם ציר $y$ , $(0,3)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הישר כפונקציה — ומתי ישר אינו פונקציה

השיפוע — מה שרואים בין שתי נקודות

משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה

צורה מפורשת וצורה כללית

גם הפרבולה היא אוסף נקודות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev