פותרים יחד · מבוא לאנליזה של פונקציות · כיתה י׳

ארבע שאלות במבנה של שאלון הבגרות, כל אחת על נושא אחר של הפרק: סקיצה של פולינום מפורק, זוגיות עם פרמטר, הרכבה ותחום הגדרה, ופונקציה הפוכה ונקודת החיתוך שלה עם המקורית.

כל שאלה נפתרת יחד איתכם. בכל צעד מוצגות כמה אפשרויות: צעד שגוי מסביר למה הוא שגוי ומאפשר לנסות שוב, וצעד נכון חושף את שורת החישוב. אחרי כל שאלה מחכה שאלה תאומה — לפתור לבד, ורק אז לפתוח את התשובה.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה הצעד הבא. הפער בין מה שחשבתם לבין הצעד הנכון הוא מה שמלמד — לא קריאת הפתרון.

1. סקיצה של פולינום מפורק

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 1

נתונה הפונקציה $f(x) = (x+2)^2(x-1)(x-4)$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים. ב. קבעו בכל שורש אם הגרף חוצה את ציר ה- $x$ או נוגע בו. ג. תארו את התנהגות הפונקציה כאשר $x \to \pm\infty$ . ד. איזה תיאור מתאים לסקיצה?

מגיע מלמעלה, נוגע ב- $x=-2$ , עובר דרך $(0,16)$ , חוצה ב- $x=1$ ושוב ב- $x=4$ , ועולה

מגיע מלמטה, חוצה ב- $x=-2$ , נוגע ב- $x=1$ וב- $x=4$

מגיע מלמעלה, חוצה בשלושת השורשים, ויורד

מגיע מלמעלה, נוגע ב- $x=-2$ , עובר דרך $(0,-16)$ , חוצה ב- $x=1$ וב- $x=4$

סעיף א — מה החיתוך עם ציר ה- $y$ ?

$f(0) = (2)^2 \cdot (-1) \cdot (-4) = 16$

להציג את התשובה והפתרון

נכון: שני גורמים שליליים נותנים מכפלה חיובית.

$f(0) = -16$

להציג את התשובה והפתרון

ספרו את המינוסים: $(0-1)$ ו- $(0-4)$ — שניים. מכפלתם חיובית.

$f(0) = 8$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם להעלות בריבוע: $(0+2)^2 = 4$ , לא $2$ .

\begin{aligned}f(0) &= 16 \\ \qquad f(x) &= 0 \iff x \\ &= -2 \\ \ 1 \\ \ 4\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה- $y$ הוא $(0,16)$ , והשורשים נקראים ישר מהפירוק.

סעיף ב — מה קורה בכל שורש?

נוגע בכל השורשים, כי המעלה זוגית

להציג את התשובה והפתרון

זוגיות המעלה קובעת את הקצוות. בשורש קובע הריבוי של הגורם.

נוגע ב- $x = -2$ (ריבוי $2$ ), חוצה ב- $x = 1$ וב- $x = 4$ (ריבוי $1$ )

להציג את התשובה והפתרון

בדיוק.

\begin{aligned}x &= -2:\ k \\ &= 2 \qquad x \\ &= 1:\ k \\ &= 1 \qquad x \\ &= 4:\ k \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה: $2 + 1 + 1 = 4$ , כמו המעלה.

סעיף ג — לאן הולכים הקצוות?

שמאל למטה, ימין למעלה

להציג את התשובה והפתרון

זה המצב במעלה אי-זוגית. כאן $x^2 \cdot x \cdot x = x^4$ .

שני הקצוות למעלה

להציג את התשובה והפתרון

מעלה $4$ ומקדם מוביל $1$ .

x \to \pm\infty:\ \ f(x) \to \infty

שני הקצוות למעלה.

להציג את התשובה והפתרון

התיאור הנכון: מגיע מלמעלה, נוגע ב- $x=-2$ , עובר דרך $(0,16)$ , חוצה ב- $x=1$ ושוב ב- $x=4$ , ועולה. שימו לב שהתיאור עם $(0,-16)$ נפסל רק בגלל סימן אחד — בגרף הוא היה מחייב לחצות בין $-2$ ל- $0$ , והפולינום לא עושה זאת.

לעשות את הפעילות ב-elev

שאלה תאומה. נתונה $g(x) = -x(x-3)^2$ . באיזה שורש הגרף נוגע, באיזה חוצה, ולאן הולכים הקצוות?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x = 3$ (ריבוי $2$ ) הגרף נוגע, ב- $x = 0$ (ריבוי $1$ ) הוא חוצה. המעלה $3$ והמקדם המוביל $-1$ (המינוס שלפני הכול!), ולכן: $x \to -\infty \Rightarrow g \to \infty$ ו- $x \to \infty \Rightarrow g \to -\infty$ .

2. זוגיות עם פרמטר

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 2

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^3 + (k-2)x^2 + x}{x^2 + 1}$ , ו- $k$ פרמטר. א. מצאו את $k$ שעבורו $f$ אי-זוגית. ב. עבור $k$ שמצאתם, ידוע ש- $f(3) = 3$ . מהו $f(-3)$ ?

$k = 2$ , ו- $f(-3) = -3$

$k = 2$ , ו- $f(-3) = 3$

$k = 0$ , ו- $f(-3) = -3$

$k = -2$ , ו- $f(-3) = -3$

מאיפה מתחילים?

בודקים שתחום ההגדרה סימטרי

להציג את התשובה והפתרון

נכון: $x^2 + 1 > 0$ תמיד, ולכן התחום הוא כל $x$ — סימטרי.

מציבים $x = 1$ ו- $x = -1$ ומשווים

להציג את התשובה והפתרון

הצבה של מספרים יכולה רק להפריך. אי-זוגיות צריכה להתקיים לכל $x$ .

x^2 + 1 \neq 0 \ \ \text{לכל } x

התחום סימטרי, אפשר להמשיך.

המכנה $x^2 + 1$ זוגי. מה צריך לקרות במונה?

המונה צריך להיות אי-זוגי — בלי חזקות זוגיות

להציג את התשובה והפתרון

אי-זוגי חלקי זוגי נותן אי-זוגית.

המונה צריך להיות זוגי

להציג את התשובה והפתרון

זוגי חלקי זוגי נותן זוגית.

\begin{aligned}k - 2 &= 0 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

האיבר $(k-2)x^2$ הוא החזקה הזוגית היחידה, והוא חייב להיעלם.

סעיף ב — איך מוצאים את $f(-3)$ ?

מציבים $-3$ בנוסחה

להציג את התשובה והפתרון

אפשר, אבל השאלה נותנת את $f(3)$ כדי שנשתמש באי-זוגיות.

$f(-3) = -f(3) = -3$

להציג את התשובה והפתרון

אי-זוגית: הערך מתהפך בסימן.

\begin{aligned}f(-3) &= -f(3) \\ &= -3\end{aligned}

בדיקה בנוסחה: $\frac{-27 - 3}{10} = -3$ .

להציג את התשובה והפתרון

$k = 2$ , ו- $f(-3) = -3$ . התשובה $f(-3) = 3$ מתאימה לפונקציה זוגית.

לעשות את הפעילות ב-elev

שאלה תאומה. עבור איזה ערך של $m$ הפונקציה $g(x) = x^4 + (m-1)x^3 + 5$ היא זוגית?

להציג את התשובה והפתרון

$m = 1$ . בפולינום זוגי אסורות חזקות אי-זוגיות, ולכן $m - 1 = 0$ . ה- $5$ לא מפריע: הוא חזקה זוגית, $5x^0$ .

3. הרכבה ותחום הגדרה

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 3

נתונות $f(x) = \sqrt{x}$ ו- $g(x) = 4 - x^2$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של $f(g(x))$ . ב. מצאו את $g(f(x))$ ואת תחום ההגדרה שלה. ג. פתרו את המשוואה $f(g(x)) = \sqrt{3}$ .

א. $-2 \leq x \leq 2$ ; ב. $4 - x$ בתחום $x \geq 0$ ; ג. $x = 1$ או $x = -1$

א. $x \geq 0$ ; ב. $4 - x$ לכל $x$ ; ג. $x = 1$

א. $-2 \leq x \leq 2$ ; ב. $4 - x$ בתחום $x \geq 0$ ; ג. $x = 1$ בלבד

א. כל $x$ ; ב. $4 - x^2$ ; ג. $x = \pm\sqrt{3}$

סעיף א — מה התנאי ל- $f(g(x)) = \sqrt{4 - x^2}$ ?

$x \geq 0$ , כי זה התחום של השורש

להציג את התשובה והפתרון

התנאי חל על מה שבתוך השורש, $4 - x^2$ , לא על $x$ .

$4 - x^2 \geq 0$

להציג את התשובה והפתרון

נכון.

4 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2

קטע סגור.

סעיף ב — מהי $g(f(x))$ ?

$4 - (\sqrt{x})^2 = 4 - x$ , בתחום $x \geq 0$

להציג את התשובה והפתרון

נכון: התחום בא מהפונקציה הפנימית.

$4 - x$ , לכל $x$

להציג את התשובה והפתרון

הנוסחה המפושטת מוגדרת תמיד, אבל השורש שבפנים דורש $x \geq 0$ .

\begin{aligned}g(f(x)) &= 4 - x \\ \quad x \geq 0\end{aligned}

אחרי הפישוט לא רואים את השורש — אבל התחום זוכר אותו.

סעיף ג — פותרים $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{3}$ .

$4 - x^2 = 3$ , ולכן $x = 1$

להציג את התשובה והפתרון

$x^2 = 1$ נותן שני פתרונות. גם $x = -1$ נמצא בתחום $-2 \leq x \leq 2$ .

$4 - x^2 = 3$ , ולכן $x = \pm 1$ , ושניהם בתחום

להציג את התשובה והפתרון

נכון, ושניהם עוברים הצבה: $\sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ .

\begin{aligned}4 - x^2 &= 3 \Rightarrow x^2 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= \pm 1\end{aligned}

שני הפתרונות בתוך הקטע $[-2, 2]$ .

להציג את התשובה והפתרון

א. $-2 \leq x \leq 2$ ; ב. $g(f(x)) = 4 - x$ בתחום $x \geq 0$ ; ג. $x = 1$ או $x = -1$ . המלכודת של סעיף ב: לשכוח את התחום אחרי שהשורש «נעלם».

לעשות את הפעילות ב-elev

שאלה תאומה. נתונות $f(x) = \sqrt{x}$ ו- $g(x) = x - 9$ . מצאו את התחום של $g(f(x))$ , ופתרו $g(f(x)) = 0$ .

להציג את התשובה והפתרון

$g(f(x)) = \sqrt{x} - 9$ , והתחום $x \geq 0$ — השורש הוא הפנימי. $\sqrt{x} = 9 \Rightarrow x = 81$ . בדיקה: $\sqrt{81} - 9 = 0$ .

4. פונקציה הפוכה ונקודת חיתוך

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 4

נתונה $f(x) = \sqrt{x + 2}$ בתחום $x \geq -2$ . א. מצאו את $f^{-1}(x)$ ואת התחום שלה. ב. $f$ עולה, ולכן הגרפים של $f$ ושל $f^{-1}$ נחתכים על הישר $y = x$ . מצאו את נקודת החיתוך.

א. $x^2 - 2$ ל- $x \geq 0$ ; ב. $(2,2)$

א. $x^2 - 2$ לכל $x$ ; ב. $(2,2)$ ו- $(-1,-1)$

א. $x^2 + 2$ ל- $x \geq 0$ ; ב. $(2,2)$

א. $x^2 - 2$ ל- $x \geq -2$ ; ב. $(-1,-1)$

סעיף א — מבודדים את $x$ מ- $y = \sqrt{x + 2}$ .

$x = y^2 - 2$

להציג את התשובה והפתרון

מעלים בריבוע ומחסירים $2$ .

$x = y^2 + 2$

להציג את התשובה והפתרון

$y^2 = x + 2$ , ולכן מעבירים את ה- $2$ עם מינוס.

f^{-1}(x) = x^2 - 2

אחרי החלפת השמות.

ומה התחום של $f^{-1}$ ?

$x \geq -2$

להציג את התשובה והפתרון

זה התחום של $f$ . ההפוכה מקבלת את ערכי $f$ .

$x \geq 0$

להציג את התשובה והפתרון

השורש מחזיר רק ערכים אי-שליליים.

\begin{aligned}f^{-1}(x) &= x^2 - 2 \\ \quad x \geq 0\end{aligned}

חצי פרבולה בלבד.

סעיף ב — פותרים $\sqrt{x + 2} = x$ . מה עושים עם הפתרונות?

מקבלים את שניהם

להציג את התשובה והפתרון

$x = -1$ נותן $\sqrt{1} = 1 \neq -1$ . שורש לא יכול להיות שלילי.

מציבים כל אחד במשוואה המקורית

להציג את התשובה והפתרון

נכון: רק $x = 2$ עובר את הבדיקה.

\begin{aligned}x + 2 &= x^2 \Rightarrow x \\ &= 2 \ \text{או}\ x \\ &= -1 ;\quad \sqrt{4} \\ &= 2 \checkmark \\ \ \sqrt{1} \neq -1\end{aligned}

נשאר $x = 2$ , ולכן נקודת החיתוך היא $(2,2)$ .

להציג את התשובה והפתרון

א. $f^{-1}(x) = x^2 - 2$ בתחום $x \geq 0$ ; ב. $(2,2)$ . הנקודה $(-1,-1)$ נוצרה מהעלאה בריבוע, והיא לא על אף אחד משני הגרפים.

לעשות את הפעילות ב-elev

שאלה תאומה. מצאו את נקודת החיתוך של $f(x) = \sqrt{x + 12}$ עם הפונקציה ההפוכה לה.

להציג את התשובה והפתרון

$\sqrt{x + 12} = x \Rightarrow x^2 - x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4$ או $x = -3$ . בדיקה: $\sqrt{16} = 4$ מתאים, $\sqrt{9} = 3 \neq -3$ נפסל. נקודת החיתוך: $(4,4)$ .

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x) = -(x+1)^2(x-2)(x-5)$ . איזה תיאור מתאים לסקיצה של הגרף, משמאל לימין?

מגיע מלמטה, חוצה ב- $x=-1$ , נוגע ב- $x=2$ וב- $x=5$ , ויורד
מגיע מלמעלה, נוגע ב- $x=-1$ , עובר דרך $(0,10)$ , חוצה ב- $x=2$ ושוב ב- $x=5$ , ועולה
מגיע מלמטה, נוגע ב- $x=-1$ , עובר דרך $(0,-10)$ , חוצה ב- $x=2$ ושוב ב- $x=5$ , ועולה
מגיע מלמטה, נוגע ב- $x=-1$ , עובר דרך $(0,-10)$ , חוצה ב- $x=2$ ושוב ב- $x=5$ , ויורד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מגיע מלמטה, נוגע ב- $x=-1$ , עובר דרך $(0,-10)$ , חוצה ב- $x=2$ ושוב ב- $x=5$ , ויורד

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= -(1)^2 \cdot (-2) \cdot (-5) \\ &= -10\end{aligned}

החיתוך עם ציר $y$

\begin{aligned}x &= -1:\ k \\ &= 2 \qquad x \\ &= 2:\ k \\ &= 1 \qquad x \\ &= 5:\ k \\ &= 1\end{aligned}

ריבוי $k$ זוגי — נוגע, ריבוי אי-זוגי — חוצה

x \to \pm\infty \ \Rightarrow\ f \to -\infty

המעלה $4$ והמקדם המוביל $-1$ : שני הקצוות למטה

\begin{aligned}f(3) &= -(4)^2 \cdot 1 \cdot (-2) \\ &= 32 > 0\end{aligned}

בין $x=2$ ל- $x=5$ הגרף מעל הציר

התשובה: מגיע מלמטה, נוגע ב- $x=-1$ , עובר דרך $(0,-10)$ , חוצה ב- $x=2$ ושוב ב- $x=5$ , ויורד. התיאור שמגיע מלמעלה ועולה שכח את המינוס שלפני הכול; התיאור שחוצה ב- $x=-1$ החליף בין הריבויים; והתיאור שעולה בסוף שכח שבמעלה זוגית שני הקצוות הולכים לאותו כיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x) = x^3 + (a^2 - 4)x^2 + a + 2$ , ו- $a$ פרמטר. עבור איזה ערך של $a$ הפונקציה $f$ אי-זוגית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f(-x) = -f(x)

לכל $x$ — והתחום, כל $x$ , סימטרי

f(-x) = -x^3 + (a^2 - 4)x^2 + a + 2

מציבים $-x$

\begin{aligned}f(-x) + f(x) &= 2(a^2 - 4)x^2 + 2(a + 2) \\ &= 0\end{aligned}

הסכום חייב להתאפס לכל $x$

\begin{aligned}a^2 - 4 &= 0 \\ \quad a + 2 &= 0 \ \Rightarrow\ a \\ &= -2\end{aligned}

שני המקדמים מתאפסים יחד

$a = -2$ , ואז $f(x) = x^3$ . מי שאיפס רק את המקדם של $x^2$ קיבל גם $a = 2$ — אבל אז $f(x) = x^3 + 4$ , ו- $f(0) = 4 \neq 0$ . פונקציה אי-זוגית שמוגדרת ב- $0$ חייבת לקיים $f(0) = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונות $f(x) = \sqrt{x}$ ו- $g(x) = x^2 - 6x + 5$ . כמה מספרים שלמים אינם בתחום ההגדרה של $f(g(x))$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f(g(x)) = \sqrt{x^2 - 6x + 5}

$g$ בפנים, $f$ בחוץ

x^2 - 6x + 5 \geq 0

התנאי חל על מה שבתוך השורש

(x-1)(x-5) \geq 0 \ \Rightarrow\ x \leq 1 \ \text{או} \ x \geq 5

השורשים עצמם, וכל מה שמחוץ לקטע שביניהם

\begin{aligned}1 < x < 5: \quad x &= 2 \\ \ 3 \\ \ 4\end{aligned}

השלמים שמחוץ לתחום

$3$ מספרים: $2$ , $3$ ו- $4$ . $x = 1$ ו- $x = 5$ בתחום — שם $g(x) = 0$ , והשורש $\sqrt{0} = 0$ מוגדר. מי שענה $5$ הוציא גם את הקצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונות $f(x) = \sqrt{x}$ ו- $g(x) = x^2 - 1$ . הפונקציה $g(f(x))$ והפונקציה $h(x) = x - 1$ הן אותה פונקציה — אותו תחום הגדרה, ואותו ערך בכל נקודה בו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}g(f(x)) &= (\sqrt{x})^2 - 1 \\ &= x - 1\end{aligned}

אותה נוסחה…

x \geq 0

…אבל רק היכן ש- $f(x)$ מוגדרת

h(-1) = -2

ו- $g(f(-1))$ אינה מוגדרת, כי $\sqrt{-1}$ אינו מספר ממשי

הטענה לא נכונה. שתי פונקציות שוות רק כשיש להן אותו תחום, ובכל נקודה בו אותו ערך. התחום של $g(f(x))$ הוא $x \geq 0$ , והתחום של $h$ הוא כל $x$ . הפישוט $(\sqrt{x})^2 = x$ נכון רק עבור $x \geq 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x) = \sqrt{2x + 3}$ בתחום $x \geq -\frac{3}{2}$ . הגרפים של $f$ ושל הפונקציה ההפוכה לה נחתכים בנקודה אחת. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f(x) = x

$f$ עולה, ולכן החיתוך עם ההפוכה נמצא על הישר $y = x$

\begin{aligned}\sqrt{2x + 3} &= x \ \Rightarrow\ x^2 \\ &= 2x + 3\end{aligned}

מעלים בריבוע, ודורשים $x \geq 0$

\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= (x-3)(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

שני פתרונות אפשריים

\begin{aligned}\sqrt{2 \cdot 3 + 3} &= 3 \\ \quad \sqrt{2 \cdot (-1) + 3} &= 1 \neq -1\end{aligned}

בדיקה: $x = -1$ נפסל

\begin{aligned}f^{-1}(x) &= \frac{x^2 - 3}{2} \\ \ x \geq 0 \ \Rightarrow\ f^{-1}(3) &= 3\end{aligned}

הנקודה $(3,3)$ נמצאת גם על גרף ההפוכה

שיעור ה- $x$ הוא $3$ , והנקודה היא $(3,3)$ . $x = -1$ נולד מההעלאה בריבוע: שורש אינו יכול להיות שלילי. וגם בלי הבדיקה, ההפוכה מוגדרת רק עבור $x \geq 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1. סקיצה של פולינום מפורק

2. זוגיות עם פרמטר

3. הרכבה ותחום הגדרה

4. פונקציה הפוכה ונקודת חיתוך

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev