הפונקציה ההפוכה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

הפונקציה f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 לוקחת 11 ומחזירה 33, לוקחת 22 ומחזירה 55. נניח שמישהו אומר לנו רק את התוצאה, 55. האם אפשר לגלות מה הוכנס?

1→ f 3,2→ f 51 \xrightarrow{\ f\ } 3 ,\quad 2 \xrightarrow{\ f\ } 5

הפונקציה ff: מכפילים ב-22 ומוסיפים 11

3→ f−1 1,5→ f−1 23 \xrightarrow{\ f^{-1}\ } 1 ,\quad 5 \xrightarrow{\ f^{-1}\ } 2

הדרך חזרה: מחסירים 11 ומחלקים ב-22

הפונקציה שמבטלת את ff נקראת הפונקציה ההפוכה ומסמנים אותה f−1f^{-1}. כאן f−1(x)=x−12f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2}. כל זוג (a,b)(a, b) של ff הופך לזוג (b,a)(b, a) של f−1f^{-1}.

f(a)=b  ⟺  f−1(b)=a\begin{aligned}f(a) &= b \iff f^{-1}(b) \\ &= a\end{aligned}

בגרף: החלפת xx ו-yy היא שיקוף

הנקודה (2,4)(2,4) נמצאת על y=x2y = x^2, והנקודה (4,2)(4,2) נמצאת על y=xy = \sqrt{x}. החלפת הסדר של שני המספרים משקפת את הנקודה ביחס לישר y=xy = x. לכן הגרף של f−1f^{-1} הוא השיקוף של הגרף של ff ביחס לישר y=xy = x.

הנקודה (3,9)(3, 9) נמצאת על הגרף של f(x)=x2f(x) = x^2 כאשר x≥0x \geq 0. איזו נקודה מתאימה לה על הגרף של x\sqrt{x}? ואיזו נקודה של הגרף נשארת במקומה?

להציג את התשובה והפתרון

הנקודה (9,3)(9, 3): אכן 9=3\sqrt{9} = 3. נקודה על הישר y=xy = x נשארת במקומה — כאן (0,0)(0,0) ו-(1,1)(1,1), ששתי הפונקציות עוברות דרכן.

איך מוצאים את הנוסחה

11

כותבים y=f(x)y = f(x).

22

מבודדים את xx באמצעות yy.

33

מחליפים את שמות המשתנים: x↔yx \leftrightarrow y.

44

תחום ההגדרה של f−1f^{-1} הוא קבוצת הערכים של ff.

מתי יש פונקציה הפוכה

ל-f(x)=x2f(x) = x^2 על כל הישר אין הפוכה: אם נאמר לנו שהתוצאה 44, ייתכן שהוכנס 22 וייתכן שהוכנס −2-2. כדי שתהיה הפוכה, כל ערך yy צריך להתקבל פעם אחת בלבד — כל ישר אופקי פוגש את הגרף לכל היותר פעם אחת. לכן מצמצמים את התחום ל-x≥0x \geq 0, ורק שם x\sqrt{x} היא ההפוכה.

f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} היא ההפוכה של עצמה

עוברים על אותם ארבעה צעדים.

y=1xy = \frac{1}{x}

כותבים

x=1yx = \frac{1}{y}

מבודדים

f−1(x)=1xf^{-1}(x) = \frac{1}{x}

מחליפים שמות — ויצאה אותה נוסחה

f(f(x))=11/x=x\begin{aligned}f(f(x)) &= \frac{1}{1/x} \\ &= x\end{aligned}

בדיקה: הפעלה פעמיים מחזירה את xx

האם ל-f(x)=x3f(x) = x^3 יש פונקציה הפוכה על כל הישר? ול-g(x)=x4g(x) = x^4?

להציג את התשובה והפתרון

ל-x3x^3 יש: כל ערך מתקבל פעם אחת, וההפוכה היא x3\sqrt[3]{x}. ל-x4x^4 אין: 24=(−2)4=162^4 = (-2)^4 = 16. חזקה אי-זוגית עולה כל הזמן; חזקה זוגית מקבלת כל ערך חיובי פעמיים.

הטעויות של הפונקציה ההפוכה.

f−1(x)=1f(x)f^{-1}(x) = \frac{1}{f(x)}
f−1(f(x))=xf^{-1}\big(f(x)\big) = x

הסימן −1-1 כאן אינו חזקה. f−1f^{-1} מבטלת את ff, היא לא מחלקת בה. ל-f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1: f−1(x)=x−12f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2}, לא 12x+1\frac{1}{2x+1}.

f(x)=x2⇒f−1(x)=x\begin{aligned}f(x) &= x^2 \Rightarrow f^{-1}(x) \\ &= \sqrt{x}\end{aligned}
f(x)=x2 x≥0⇒f−1(x)=x\begin{aligned}f(x) &= x^2 \\ \ x \geq 0 \Rightarrow f^{-1}(x) &= \sqrt{x}\end{aligned}

בלי צמצום התחום אין הפוכה בכלל.

תרגילים

תרגיל 1

מהי הפונקציה ההפוכה של f(x)=3x−6f(x) = 3x - 6?

  1. f−1(x)=3x+6f^{-1}(x) = 3x + 6
  2. f−1(x)=x+63f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3}
  3. f−1(x)=x3+6f^{-1}(x) = \frac{x}{3} + 6
  4. f−1(x)=13x−6f^{-1}(x) = \frac{1}{3x - 6}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב f−1(x)=x+63f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3}

הפתרון:

y=3x−6y = 3x - 6

כותבים

x=y+63x = \frac{y + 6}{3}

מבודדים

f−1(x)=x+63f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3}

מחליפים שמות

f−1(f(2))=f−1(0)=2\begin{aligned}f^{-1}(f(2)) &= f^{-1}(0) \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה

התשובה x+63\frac{x + 6}{3}. 13x−6\frac{1}{3x-6} היא ההופכי במובן של שבר, לא ההפוכה. x3+6\frac{x}{3} + 6 שכחה לחלק גם את ה-66: הנכון הוא x3+2\frac{x}{3} + 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5. חשבו f−1(11)f^{-1}(11).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f−1(11)=a  ⟺  f(a)=11\begin{aligned}f^{-1}(11) &= a \iff f(a) \\ &= 11\end{aligned}

לא חייבים את הנוסחה

2a+5=11⇒a=3\begin{aligned}2a + 5 &= 11 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

המלכודת: לחשב f(11)=27f(11) = 27. f−1(11)f^{-1}(11) שואלת מה הוכנס כדי לקבל 1111.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הגרפים של ff ושל f−1f^{-1} סימטריים זה לזה ביחס לציר ה-yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(a,b)↦(b,a)(a, b) \mapsto (b, a)

החלפת שיעורים

y=xy = x

שיקוף ביחס לישר y=xy=x — לא ביחס לציר

הטענה שגויה. שיקוף ביחס לציר ה-yy הופך (a,b)(a,b) ל-(−a,b)(-a,b) — זה f(−x)f(-x), לא f−1f^{-1}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הנקודה (3, −2)(3,\,-2) נמצאת על הגרף של פונקציה ff שיש לה הפוכה. מהו f−1(−2)f^{-1}(-2)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f(3)=−2f(3) = -2

זה מה שהנקודה אומרת

f−1(−2)=3f^{-1}(-2) = 3

הופכים את הזוג

על הגרף של f−1f^{-1} נמצאת הנקודה (−2, 3)(-2,\,3). התשובה −2-2 היא בלבול בין השיעור שנתון לזה שמבקשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לאיזו מהפונקציות הבאות אין פונקציה הפוכה כשהיא מוגדרת לכל xx?

  1. f(x)=x5+1f(x) = x^5 + 1
  2. f(x)=x3f(x) = x^3
  3. f(x)=2x−7f(x) = 2x - 7
  4. f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1

הפתרון:

f(1)=f(−1)=2\begin{aligned}f(1) &= f(-1) \\ &= 2\end{aligned}

ערך אחד מתקבל פעמיים

x3, 2x−7, x5+1x^3 ,\ 2x - 7 ,\ x^5 + 1

עולות כל הזמן — כל ערך פעם אחת

התשובה x2+1x^2 + 1: חזקה זוגית מקבלת כל ערך מעל 11 פעמיים. ה-+1+1 של x5+1x^5 + 1 אינו משנה: היא עדיין עולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

השלימו

נתון f(x)=x3+1f(x) = x^3 + 1. לכן f−1(9)=f^{-1}(9) = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נתון f(x)=x3+1f(x) = x^3 + 1. לכן f−1(9)=f^{-1}(9) = 2

הפתרון:

x3+1=9x^3 + 1 = 9

מה הוכנס כדי לקבל 99?

x3=8⇒x=2\begin{aligned}x^3 &= 8 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

שורש שלישי

בדיקה: f(2)=8+1=9f(2) = 8 + 1 = 9. מי שכתב f(9)=730f(9) = 730 חישב בכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון f(x)=x+4f(x) = \sqrt{x + 4}. מהי f−1f^{-1}?

  1. f−1(x)=x2−4f^{-1}(x) = x^2 - 4, לכל xx
  2. f−1(x)=x2+4f^{-1}(x) = x^2 + 4, בתחום x≥0x \geq 0
  3. f−1(x)=1x+4f^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 4}}
  4. f−1(x)=x2−4f^{-1}(x) = x^2 - 4, בתחום x≥0x \geq 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד f−1(x)=x2−4f^{-1}(x) = x^2 - 4, בתחום x≥0x \geq 0

הפתרון:

y=x+4⇒y2=x+4\begin{aligned}y &= \sqrt{x+4} \Rightarrow y^2 \\ &= x + 4\end{aligned}

מעלים בריבוע

x=y2−4x = y^2 - 4

מבודדים

f(x)=x+4≥0⇒f−1: x≥0f(x) = \sqrt{x+4} \geq 0 \Rightarrow f^{-1}:\ x \geq 0

קבוצת הערכים של ff היא התחום של f−1f^{-1}

התשובה «x2−4x^2 - 4, בתחום x≥0x \geq 0». אותה נוסחה בלי התחום היא תשובה שגויה: פרבולה שלמה אינה השיקוף של חצי ענף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון f(x)=1x−2f(x) = \frac{1}{x - 2}. חשבו f−1(4)f^{-1}(4). כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.25

הפתרון:

1a−2=4\frac{1}{a - 2} = 4

מחפשים את aa ש-f(a)=4f(a) = 4

a−2=14a - 2 = \frac{1}{4}

הופכים את שני האגפים

a=2.25a = 2.25

בדיקה: f(2.25)=10.25=4f(2.25) = \frac{1}{0.25} = 4. המלכודת היא f(4)=12f(4) = \frac{1}{2} — החישוב בכיוון הלא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הפונקציה f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} היא הפונקציה ההפוכה של עצמה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(f(x))=11/x=x\begin{aligned}f(f(x)) &= \frac{1}{1/x} \\ &= x\end{aligned}

הפעלה פעמיים מחזירה את xx

y=1x  ⟺  x=1y\begin{aligned}y &= \frac{1}{x} \iff x \\ &= \frac{1}{y}\end{aligned}

אותה נוסחה בשני הכיוונים

הטענה נכונה, ולכן הגרף שלה סימטרי לישר y=xy = x. אל תתבלבלו: ה-−1-1 שב-f−1f^{-1} אינו «אחד חלקי».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הגרף של f(x)=ax+bf(x) = ax + b עובר בנקודה (1, 5)(1,\,5), והגרף של f−1f^{-1} עובר בנקודה (2, 0)(2,\,0). מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f−1(2)=0⇒f(0)=2\begin{aligned}f^{-1}(2) &= 0 \Rightarrow f(0) \\ &= 2\end{aligned}

הופכים את הנקודה של ההפוכה

b=2b = 2

מציבים x=0x = 0

f(1)=a+2=5⇒a=3\begin{aligned}f(1) &= a + 2 \\ &= 5 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

והנקודה השנייה

המלכודת: להציב את (2,0)(2,0) ישר בנוסחה של ff ולקבל 2a+b=02a + b = 0. נקודה של f−1f^{-1} היא נקודה הפוכה של ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת