סדרה 2 — בינוני · מבוא לאנליזה של פונקציות · כיתה י׳

עשר שאלות בינוניות שמערבבות את כל הנושאים: שורש במכנה, ספירת שורשים, זוגיות של סכום, הרכבה בשני הכיוונים, והתאמת נוסחה לגרף.

לפני שעונים, שאלו מה המלכודת. כמעט בכל שאלה כאן אחת האפשרויות נכונה בכיוון ההפוך: $f(g)$ במקום $g(f)$ , $f(a)$ במקום $f^{-1}(a)$ , נוגע במקום חוצה.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{6 - 2x}}$ ?

$x > 3$
$x \neq 3$
$x < 3$
$x \leq 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x < 3$

הפתרון:

6 - 2x > 0

שורש במכנה: חיובי ממש

-2x > -6 \Rightarrow x < 3

חלוקה במספר שלילי הופכת את הסימן

התשובה $x < 3$ . $x \leq 3$ שוכחת שהשורש במכנה, ו- $x > 3$ שוכחת להפוך את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בכמה נקודות שונות פוגש הגרף של $f(x) = x^3(x-2)^2(x+5)$ את ציר ה- $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}x^3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}(x-2)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}x + 5 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -5\end{aligned}

שלוש נקודות, גם אם המעלה $6$ . ריבוי גבוה לא מוסיף נקודות — הוא משנה רק את מה שהגרף עושה בהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

אם $f$ ו- $g$ אי-זוגיות ומוגדרות לכל $x$ , אז $f + g$ אי-זוגית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(f+g)(-x) = f(-x) + g(-x)

מציבים

= -f(x) - g(x) = -(f+g)(x)

שתיהן אי-זוגיות

הטענה נכונה. אל תתבלבלו עם הכפל: שם שתי אי-זוגיות נותנות זוגית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון $f(x) = x^2 + 7$ ו- $g(x) = \sqrt{x}$ . חשבו $g(f(3))$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}f(3) &= 9 + 7 \\ &= 16\end{aligned}

קודם $f$

\begin{aligned}g(16) &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

ואז השורש

המלכודת: $f(g(3)) = (\sqrt{3})^2 + 7 = 10$ — הסדר ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון $f(x) = x - 1$ ו- $g(x) = \frac{1}{x}$ . מהי $g(f(x))$ ?

$x - \frac{1}{x}$
$\frac{1}{x} - 1$
$\frac{x-1}{x}$
$\frac{1}{x - 1}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{1}{x - 1}$

הפתרון:

g(f(x)) = g(x - 1)

הפנימית היא $f$

= \frac{1}{x - 1}

מציבים את כל הביטוי במקום $x$

התשובה $\frac{1}{x-1}$ . האפשרות $\frac{1}{x} - 1$ היא $f(g(x))$ — ההרכבה בסדר ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון $f(x) = \frac{x - 3}{4}$ . חשבו $f^{-1}(2)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

\frac{a - 3}{4} = 2

מה הוכנס כדי לקבל $2$ ?

\begin{aligned}a - 3 &= 8 \Rightarrow a \\ &= 11\end{aligned}

בדיקה: $f(11) = \frac{8}{4} = 2$ . התשובה $-\frac{1}{4}$ היא $f(2)$ — כיוון הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

סדרו מהערך הקטן לגדול, כאשר $x = -2$

$x^2$
$x^3$
$x^4$
$x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x^3$ · $x$ · $x^2$ · $x^4$

הפתרון:

\begin{aligned}(-2)^3 &= -8 \\ \ -2 \\ \ (-2)^2 &= 4 \\ \ (-2)^4 &= 16\end{aligned}

מחשבים

במספר שלילי החזקות האי-זוגיות שליליות ומתרחקות מאפס כלפי מטה, והזוגיות חיוביות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

השלימו

הפונקציה $f(x) = x^4 + (a - 3)x^3 + 2$ היא זוגית. לכן $a =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הפונקציה $f(x) = x^4 + (a - 3)x^3 + 2$ היא זוגית. לכן $a =$ 3

הפתרון:

x^3

חזקה אי-זוגית — אסורה בפולינום זוגי

\begin{aligned}a - 3 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

המקדם שלה חייב להתאפס

ה- $2$ לא מפריע: מספר חופשי הוא חזקה זוגית. המלכודת: לחשוב שגם אותו צריך לאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

גרף של פולינום ממעלה 3

איזו נוסחה מתאימה לגרף?

$y = x(x+2)^2$
$y = x(x-2)^2$
$y = x^2(x-2)$
$y = -x(x-2)^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y = x(x-2)^2$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0:\ \text{חוצה} \\ \ x &= 2:\ \text{נוגע}\end{aligned}

ריבוי $1$ ב- $0$ , ריבוי $2$ ב- $2$

x \to \infty:\ y \to \infty

מקדם חיובי

\begin{aligned}y(1) &= 1 \cdot 1 \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה מול הגרף

התשובה $y = x(x-2)^2$ . $x^2(x-2)$ נוגעת ב- $0$ וחוצה ב- $2$ — להפך מהגרף; $x(x+2)^2$ נוגעת ב- $-2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הנקודה $(4,\,1)$ נמצאת על הגרף של פונקציה $f$ שיש לה הפוכה. מהו $f^{-1}(1)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f(4) = 1

מה שהנקודה אומרת

f^{-1}(1) = 4

הופכים את הזוג

על הגרף של $f^{-1}$ נמצאת $(1,\,4)$ — השיקוף ביחס ל- $y = x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev