סדרה 3 — מאתגר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות שבכל אחת מסתתר צעד שקל לדלג עליו: שני ערכים פסולים במקום אחד, u2=∣u∣\sqrt{u^2} = |u|, פרמטר עם שני פתרונות, או הפוכה שקיימת רק בענף אחד.

בשאלות «נכון או לא נכון» — חפשו דוגמה נגדית לפני שמאשרים. ובכל שאלה על הפוכה: f−1(a)f^{-1}(a) היא שאלה על ff, ואפשר לענות בלי למצוא נוסחה.

תרגילים

תרגיל 1

כמה מספרים שלמים בין −3-3 ל-33 (כולל) נמצאים בתחום ההגדרה של f(x)=x+3x2−4f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - 4}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x+3≥0⇒x≥−3x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3

השורש במונה — −3-3 מותר

x2−4≠0⇒x≠±2x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2

המכנה

−3, −1, 0, 1, 3-3 ,\ -1 ,\ 0 ,\ 1 ,\ 3

חמישה שלמים

שני הפסולים הם 22 ו-(−2)(-2). מי שפסל רק את 22 שכח ש-x2=4x^2 = 4 נותן שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הפונקציה f(x)=x2x−1f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1} היא זוגית, כי (−x)2=x2(-x)^2 = x^2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x≠1x \neq 1

התחום

x=−1 בתחום, x=1 לא\begin{aligned}x &= -1 \ \text{בתחום, } x \\ &= 1 \ \text{לא}\end{aligned}

התחום אינו סימטרי

f(−2)=4−3≠41=f(2)\begin{aligned}f(-2) &= \frac{4}{-3} \neq \frac{4}{1} \\ &= f(2)\end{aligned}

וגם הצבה מפריכה

הטענה שגויה. הריבוע במונה מטעה; המכנה x−1x - 1 שובר גם את התחום וגם את הסימטריה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

עבור איזה ערך חיובי של kk הפונקציה f(x)=x3+(k2−4)x2+2xf(x) = x^3 + (k^2 - 4)x^2 + 2x היא אי-זוגית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2x^2

חזקה זוגית — אסורה בפונקציה אי-זוגית

k2−4=0k^2 - 4 = 0

המקדם חייב להתאפס

k=±2⇒k=2\begin{aligned}k &= \pm 2 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

והחיובי

גם k=−2k = -2 הופך את ff לאי-זוגית — השאלה ביקשה את החיובי. במבחן, «מצאו את כל ערכי kk» היה מחייב את שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון f(x)=(x−1)2f(x) = (x - 1)^2 ו-g(x)=xg(x) = \sqrt{x}. מהי g(f(x))g(f(x))?

  1. (x−1)2(\sqrt{x} - 1)^2
  2. ∣x−1∣|x - 1|
  3. 1−x1 - x
  4. x−1x - 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ∣x−1∣|x - 1|

הפתרון:

g(f(x))=(x−1)2g(f(x)) = \sqrt{(x-1)^2}

מציבים

u2=∣u∣\sqrt{u^2} = |u|

הכלל

=∣x−1∣= |x - 1|
x=0: 1=1=∣0−1∣\begin{aligned}x &= 0:\ \sqrt{1} \\ &= 1 \\ &= |0 - 1|\end{aligned}

בדיקה: x−1x - 1 היה נותן −1-1

התשובה ∣x−1∣|x - 1|. (x−1)2(\sqrt{x} - 1)^2 היא f(g(x))f(g(x)), ו-x−1x - 1 נכונה רק ל-x≥1x \geq 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1. פתרו את המשוואה f(f(x))=13f(f(x)) = 13. כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

f(f(x))=2(2x+1)+1=4x+3\begin{aligned}f(f(x)) &= 2(2x + 1) + 1 \\ &= 4x + 3\end{aligned}

מרכיבים

4x+3=134x + 3 = 13
x=2.5x = 2.5

בדיקה: f(2.5)=6f(2.5) = 6, f(6)=13f(6) = 13. המלכודת: לכתוב f(f(x))=(2x+1)2f(f(x)) = (2x+1)^2 — הרכבה אינה ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

איזה פולינום נוגע בציר ה-xx ב-x=−2x = -2, חוצה אותו ב-x=1x = 1, ומקיים f(x)→−∞f(x) \to -\infty כאשר x→∞x \to \infty?

  1. y=(x−2)2(1−x)y = (x-2)^2(1-x)
  2. y=−(x+2)2(x−1)y = -(x+2)^2(x-1)
  3. y=−(x+2)(x−1)2y = -(x+2)(x-1)^2
  4. y=(x+2)2(x−1)y = (x+2)^2(x-1)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=−(x+2)2(x−1)y = -(x+2)^2(x-1)

הפתרון:

(x+2)2(x+2)^2

נגיעה ב-−2-2

(x−1)(x-1)

חציה ב-11

−x3→−∞-x^3 \to -\infty

מקדם מוביל שלילי

התשובה −(x+2)2(x−1)-(x+2)^2(x-1). המלכודת היא (x−2)2(1−x)(x-2)^2(1-x): הקצה נכון, אבל היא נוגעת ב-x=2x = 2 ולא ב-x=−2x = -2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון f(x)=x+5f(x) = \sqrt{x + 5}. חשבו f−1(3)f^{-1}(3).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

a+5=3\sqrt{a + 5} = 3

מה הוכנס?

a+5=9⇒a=4\begin{aligned}a + 5 &= 9 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

מעלים בריבוע

9=3 ✓\sqrt{9} = 3 \ \checkmark

בדיקה

אין צורך בנוסחה של f−1f^{-1}. f−1(3)f^{-1}(3) היא פשוט שאלה על ff: איזה xx נותן 33?

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לפונקציה f(x)=x2−6xf(x) = x^2 - 6x, כשהיא מוגדרת רק בתחום x≥3x \geq 3, יש פונקציה הפוכה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x2−6x=(x−3)2−9x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9

קדקוד ב-x=3x = 3

x≥3x \geq 3

הפונקציה עולה: ענף אחד של הפרבולה

⇒\Rightarrow

כל ערך מתקבל פעם אחת, ולכן יש הפוכה

הטענה נכונה. על כל הישר אין הפוכה (f(0)=f(6)=0f(0) = f(6) = 0), אבל צמצום לענף אחד מתקן זאת — בדיוק כמו x2x^2 ו-x\sqrt{x}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו: למי יש פונקציה הפוכה בכל תחום ההגדרה שלה?

  • יש הפוכה
  • אין הפוכה
  • 1x\frac{1}{x}
  • x\sqrt{x}
  • ∣x∣|x|
  • 2x−12x - 1
  • x2x^2
  • x3x^3
  • x4−1x^4 - 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x3x^3 — יש הפוכה · 2x−12x - 1 — יש הפוכה · 1x\frac{1}{x} — יש הפוכה · x\sqrt{x} — יש הפוכה · x2x^2 — אין הפוכה · ∣x∣|x| — אין הפוכה · x4−1x^4 - 1 — אין הפוכה

הפתרון:

(−2)2=22 ∣−3∣=∣3∣ (−1)4−1=14−1\begin{aligned}(-2)^2 &= 2^2 \\ \ |-3| &= |3| \\ \ (-1)^4 - 1 &= 1^4 - 1\end{aligned}

ערך אחד מתקבל פעמיים

1x: 1a=1b⇒a=b\begin{aligned}\frac{1}{x}:\ \frac{1}{a} &= \frac{1}{b} \Rightarrow a \\ &= b\end{aligned}

כל ערך פעם אחת

המלכודת: 1x\frac{1}{x} אינה עולה ובכל זאת יש לה הפוכה (היא עצמה). התנאי הוא «כל ערך פעם אחת», לא «עולה».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בכמה נקודות נחתכים הגרפים של y=x3y = x^3 ושל y=4xy = 4x?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x3−4x=0x^3 - 4x = 0

מעבירים אגף

x(x−2)(x+2)=0x(x - 2)(x + 2) = 0

מפרקים

x=0 2 −2\begin{aligned}x &= 0 \\ \ 2 \\ \ -2\end{aligned}

שלוש נקודות

חלוקה ב-xx הייתה מאבדת את נקודת הראשית. מוציאים גורם משותף, לא מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת