סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות מתקדמות: הוכחה של זוגיות בהרכבה, פרמטר שקובע ריבוי, הפוכה של ענף שלילי, וטענה על נקודות החיתוך של פונקציה עם ההפוכה שלה.

בהוכחה, כל שורה צריכה נימוק, וכל שורה שנשענת על קודמותיה צריכה להפנות אליהן. ובשאלות פרמטר — הציבו את התשובה בחזרה ובדקו.

תרגילים

תרגיל 1

ff פונקציה זוגית ו-gg פונקציה אי-זוגית, שתיהן מוגדרות לכל xx. נגדיר h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)). הוכיחו: hh זוגית.

  • f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) לכל xx
  • g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) לכל xx
  • h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x))

h(−x)=h(x)h(-x) = h(x)

להציג את התשובה והפתרון
  1. h(−x)=f(g(−x))h(-x) = f(g(-x)) — הצבת −x-x בהגדרת hh
  2. g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) — נתון — gg אי-זוגית
  3. h(−x)=f(−g(x))h(-x) = f(-g(x)) — הצבת הנתון על gg
  4. f(−g(x))=f(g(x))f(-g(x)) = f(g(x)) — ff זוגית: f(−u)=f(u)f(-u) = f(u) לכל uu, ובפרט ל-u=g(x)u = g(x)
  5. h(−x)=f(g(x))h(-x) = f(g(x)) — משתי השורות הקודמות
  6. h(−x)=h(x)h(-x) = h(x) — הגדרת hh — כלומר hh זוגית
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x ו-g(x)=x−1g(x) = x - 1. מצאו את הפתרון החיובי של המשוואה f(g(x))=8f(g(x)) = 8.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f(g(x))=(x−1)2+2(x−1)f(g(x)) = (x-1)^2 + 2(x-1)

מציבים

=x2−2x+1+2x−2=x2−1= x^2 - 2x + 1 + 2x - 2 = x^2 - 1

מפשטים

x2−1=8⇒x=±3\begin{aligned}x^2 - 1 &= 8 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}
x=3x = 3

החיובי

הפישוט חוסך עבודה: x2−1x^2 - 1. מי שכתב (x−1)2+2x(x-1)^2 + 2x שכח לכפול את ה-22 בכל הביטוי x−1x - 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} ו-g(x)=x2−9g(x) = x^2 - 9. מהו תחום ההגדרה של f(g(x))f(g(x))?

  1. x≠3x \neq 3
  2. x≠3x \neq 3 וגם x≠−3x \neq -3
  3. x≠0x \neq 0
  4. x>3x > 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x≠3x \neq 3 וגם x≠−3x \neq -3

הפתרון:

f(g(x))=1x2−9f(g(x)) = \frac{1}{x^2 - 9}

מרכיבים

x2−9≠0⇒x≠±3x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3

המכנה

התשובה «x≠3x \neq 3 וגם x≠−3x \neq -3». x≠0x \neq 0 הוא התחום של ff לבדה — אבל לתוך ff נכנס x2−9x^2 - 9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון f(x)=4x−1f(x) = \dfrac{4}{x - 1}. חשבו f−1(2)f^{-1}(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

4a−1=2\frac{4}{a - 1} = 2

מה הוכנס?

a−1=2⇒a=3\begin{aligned}a - 1 &= 2 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}
f(3)=42=2 ✓\begin{aligned}f(3) &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

המלכודת: f(2)=4f(2) = 4. ועוד אחת: f−1(2)=1f(2)=14f^{-1}(2) = \frac{1}{f(2)} = \frac{1}{4} — ה-−1-1 אינו חזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אם ff עולה בכל תחום ההגדרה שלה ויש לה הפוכה, אז כל נקודת חיתוך של הגרפים של ff ושל f−1f^{-1} נמצאת על הישר y=xy = x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(p)=q f−1(p)=q⇒f(q)=p\begin{aligned}f(p) &= q \\ \ f^{-1}(p) &= q \Rightarrow f(q) \\ &= p\end{aligned}

נקודה (p,q)(p, q) על שני הגרפים

p<q⇒f(p)<f(q)⇒q<pp < q \Rightarrow f(p) < f(q) \Rightarrow q < p

סתירה, כי ff עולה

q<p⇒f(q)<f(p)⇒p<qq < p \Rightarrow f(q) < f(p) \Rightarrow p < q

שוב סתירה

p=qp = q

הנקודה על y=xy = x

הטענה נכונה — וזה הנימוק שמאפשר לפתור f(x)=xf(x) = x במקום f(x)=f−1(x)f(x) = f^{-1}(x). בלי «עולה» זה לא נכון: ל-f(x)=−xf(x) = -x ההפוכה היא עצמה, והגרפים מתלכדים לכל אורכם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בכמה נקודות הגרף של f(x)=x3−4x2+4xf(x) = x^3 - 4x^2 + 4x נוגע בציר ה-xx בלי לחצות אותו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f(x)=x(x2−4x+4)f(x) = x(x^2 - 4x + 4)

גורם משותף

=x(x−2)2= x(x - 2)^2

ריבוע של הפרש

x=0: k=1  x=2: k=2\begin{aligned}x &= 0:\ k \\ &= 1 \ \ x \\ &= 2:\ k \\ &= 2\end{aligned}

רק 22 מריבוי זוגי

בלי פירוק אי אפשר לראות את הריבוי. קודם מפרקים, אחר כך קוראים את הגרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מחפשים את ההפוכה של f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 בתחום x≤0x \leq 0. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

y=x2+1y = x^2 + 1
x2=y−1x^2 = y - 1
x=y−1x = \sqrt{y - 1}
f−1(x)=−x−1 x≥1\begin{aligned}f^{-1}(x) &= -\sqrt{x - 1} \\ \ x \geq 1\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=y−1x = \sqrt{y - 1} → x=−y−1x = -\sqrt{y - 1}

הפתרון:

x≤0x \leq 0

בתחום הזה xx שלילי או אפס

x2=y−1⇒x=−y−1\begin{aligned}x^2 &= y - 1 \Rightarrow x \\ &= -\sqrt{y - 1}\end{aligned}

בוחרים את השורש השלילי

f(−2)=5 −5−1=−2 ✓\begin{aligned}f(-2) &= 5 \\ \ -\sqrt{5 - 1} &= -2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

השורה השלישית בחרה את השורש החיובי, אבל בתחום x≤0x \leq 0. השורה הרביעית כבר נכונה — היא סותרת את השלישית, וזה הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לפולינום f(x)=x3−3x+cf(x) = x^3 - 3x + c יש שורש כפול ב-x=1x = 1. מצאו את cc.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f(1)=1−3+c=0\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 + c \\ &= 0\end{aligned}

11 חייב להיות שורש

c=2c = 2
x3−3x+2=(x−1)2(x+2)x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)

בדיקה: הגורם (x−1)(x-1) באמת מופיע פעמיים

הצבה של השורש אומרת רק ש-11 שורש. את הריבוי מוודאים בפירוק. למשל ב-x3−2x+cx^3 - 2x + c ההצבה נותנת c=1c = 1, אבל x3−2x+1=(x−1)(x2+x−1)x^3 - 2x + 1 = (x-1)(x^2 + x - 1) — שם 11 שורש פשוט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לאן הולכים ערכי f(x)=(2−x)3(x+1)2f(x) = (2 - x)^3(x + 1)^2 כאשר x→∞x \to \infty?

  1. f(x)→0f(x) \to 0
  2. f(x)→8f(x) \to 8
  3. f(x)→∞f(x) \to \infty
  4. f(x)→−∞f(x) \to -\infty
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד f(x)→−∞f(x) \to -\infty

הפתרון:

(2−x)3=(−x+2)3(2 - x)^3 = (-x + 2)^3

המקדם של xx הוא −1-1

(−x)3⋅x2=−x5(-x)^3 \cdot x^2 = -x^5

האיבר המוביל

−x5→−∞-x^5 \to -\infty

התשובה f(x)→−∞f(x) \to -\infty. המלכודת: לקרוא (x−2)3(x - 2)^3 במקום (2−x)3(2 - x)^3 — הסדר בתוך הסוגריים מכניס מינוס למקדם המוביל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

השלימו

נתון f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ו-g(x)=x2−ag(x) = x^2 - a. ידוע ש-f(g(3))=2f(g(3)) = 2. לכן a=a = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נתון f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ו-g(x)=x2−ag(x) = x^2 - a. ידוע ש-f(g(3))=2f(g(3)) = 2. לכן a=a = 5

הפתרון:

g(3)=9−ag(3) = 9 - a

הפנימית

9−a=2\sqrt{9 - a} = 2

החיצונית

9−a=4⇒a=5\begin{aligned}9 - a &= 4 \Rightarrow a \\ &= 5\end{aligned}

מעלים בריבוע

בדיקה: g(3)=4g(3) = 4 ו-4=2\sqrt{4} = 2. מי שהציב 33 קודם בשורש קיבל (3)2−a=2(\sqrt{3})^2 - a = 2 — הרכבה הפוכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת