סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בנוסח שאלון הבגרות. חלקן באות ברצף, כמו סעיפים של שאלה אחת: פולינום שצריך לפרק לפני שקוראים אותו, זוג פונקציות שמתברר שהן הפוכות, והוכחה שההפוכה של אי-זוגית היא אי-זוגית.

עבדו כמו במבחן: כתבו כל צעד, בדקו כל פתרון של משוואה עם שורש בהצבה, וזכרו שבשאלה «הוכיחו או הפריכו» דוגמה נגדית אחת מספיקה להפרכה, אבל לא להוכחה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=(x2−4)(x−2)f(x) = (x^2 - 4)(x - 2). באיזה ערך של xx הגרף נוגע בציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

מפרקים

f(x)=(x−2)2(x+2)f(x) = (x - 2)^2(x + 2)

מאחדים

x=2: k=2\begin{aligned}x &= 2:\ k \\ &= 2\end{aligned}

ריבוי זוגי — נוגע

בלי פירוק נראה ש-22 «מופיע פעם אחת בכל סוגריים». אחרי הפירוק רואים שהוא שורש כפול, ו-−2-2 הוא שורש פשוט שבו הגרף חוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

לאותה f(x)=(x2−4)(x−2)f(x) = (x^2 - 4)(x - 2): לאן הולכים ערכי ff כאשר x→−∞x \to -\infty?

  1. f(x)→8f(x) \to 8
  2. f(x)→0f(x) \to 0
  3. f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  4. f(x)→∞f(x) \to \infty
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג f(x)→−∞f(x) \to -\infty

הפתרון:

x2⋅x=x3x^2 \cdot x = x^3

האיבר המוביל

x→−∞: x3→−∞x \to -\infty:\ x^3 \to -\infty

חזקה אי-זוגית

התשובה −∞-\infty. המספר 88 הוא f(0)=(−4)(−2)f(0) = (-4)(-2) — החיתוך עם ציר ה-yy, לא התנהגות באינסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הפונקציה f(x)=x4−1x2f(x) = \dfrac{x^4 - 1}{x^2} היא זוגית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x≠0x \neq 0

התחום — סימטרי

f(−x)=(−x)4−1(−x)2=x4−1x2=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \frac{(-x)^4 - 1}{(-x)^2} \\ &= \frac{x^4 - 1}{x^2} \\ &= f(x)\end{aligned}

מציבים

הטענה נכונה. גם הנקודה החסרה x=0x = 0 סימטרית לעצמה, ולכן היא לא שוברת את הסימטריה של התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונות f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1} ו-g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1. חשבו g(f(10))g(f(10)).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

f(10)=9=3\begin{aligned}f(10) &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

הפנימית

g(3)=9+1=10\begin{aligned}g(3) &= 9 + 1 \\ &= 10\end{aligned}

החיצונית

יצא בדיוק 1010 — המספר שהכנסנו. זה לא מקרה, והשאלה הבאה מסבירה למה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הפונקציות f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1} (בתחום x≥1x \geq 1) ו-g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1 (בתחום x≥0x \geq 0) הפוכות זו לזו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

g(f(x))=(x−1)2+1=x x≥1\begin{aligned}g(f(x)) &= (\sqrt{x-1})^2 + 1 \\ &= x \\ \ x \geq 1\end{aligned}

מבטלת

f(g(x))=x2=∣x∣=x x≥0\begin{aligned}f(g(x)) &= \sqrt{x^2} \\ &= |x| \\ &= x \\ \ x \geq 0\end{aligned}

וגם בכיוון השני

ערכי f: y≥0=תחום g\text{ערכי } f:\ y \geq 0 = \text{תחום } g

והתחומים מתאימים

הטענה נכונה, אבל רק בזכות התחומים. בלי x≥0x \geq 0 היינו מקבלים f(g(−3))=3≠−3f(g(-3)) = 3 \neq -3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הפונקציה f(x)=x+6f(x) = \sqrt{x + 6} עולה. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרף שלה עם הגרף של f−1f^{-1}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f עולה⇒f(x)=xf \ \text{עולה} \Rightarrow f(x) = x

החיתוך על הישר y=xy = x

x+6=x2⇒x=3 או x=−2\begin{aligned}x + 6 &= x^2 \Rightarrow x \\ &= 3 \ \text{או}\ x \\ &= -2\end{aligned}

מעלים בריבוע

9=3 ✓4=2≠−2\begin{aligned}\sqrt{9} &= 3 \ \checkmark \\ \quad \sqrt{4} &= 2 \neq -2\end{aligned}

בדיקה בהצבה

x=3x = 3

x=−2x = -2 נוצר מההעלאה בריבוע. כל פתרון של משוואה עם שורש חייב בדיקה בהצבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

איזו טענה נכונה לגבי h(x)=x2−6x+9h(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 9}?

  1. h(x)=x−3h(x) = x - 3 לכל xx
  2. hh אינה מוגדרת עבור x<3x < 3
  3. h(x)=3−xh(x) = 3 - x לכל xx
  4. h(x)=∣x−3∣h(x) = |x - 3| לכל xx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד h(x)=∣x−3∣h(x) = |x - 3| לכל xx

הפתרון:

x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

ריבוע של הפרש

(x−3)2=∣x−3∣\sqrt{(x-3)^2} = |x - 3|

הכלל

h(0)=9=3=∣0−3∣\begin{aligned}h(0) &= \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= |0 - 3|\end{aligned}

בדיקה: x−3x - 3 היה נותן −3-3

התשובה ∣x−3∣|x - 3|. הטענה «אינה מוגדרת עבור x<3x < 3» מתבלבלת בין (x−3)2\sqrt{(x-3)^2} לבין x−3\sqrt{x - 3}: כאן מתחת לשורש ריבוע, תמיד אי-שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ff פונקציה אי-זוגית שיש לה פונקציה הפוכה f−1f^{-1}. יהי aa מספר בתחום ההגדרה של f−1f^{-1}, ונסמן b=f−1(a)b = f^{-1}(a). הוכיחו: f−1(−a)=−f−1(a)f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a).

  • f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) לכל xx בתחום
  • b=f−1(a)b = f^{-1}(a)

f−1(−a)=−f−1(a)f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a)

להציג את התשובה והפתרון
  1. f(b)=af(b) = a — הגדרת הפונקציה ההפוכה: f−1(a)=bf^{-1}(a) = b
  2. f(−b)=−f(b)f(-b) = -f(b) — נתון — ff אי-זוגית
  3. f(−b)=−af(-b) = -a — הצבת f(b)=af(b) = a
  4. f−1(−a)=−bf^{-1}(-a) = -b — הגדרת הפונקציה ההפוכה, בכיוון ההפוך
  5. f−1(−a)=−f−1(a)f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a) — הצבת b=f−1(a)b = f^{-1}(a) — ההפוכה של אי-זוגית היא אי-זוגית
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הפולינום f(x)=x4+bx2+cf(x) = x^4 + bx^2 + c הוא ממעלה 44, ו-x=1x = 1 הוא שורש כפול שלו. מצאו את bb.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f(−x)=f(x)⇒x=−1\begin{aligned}f(-x) &= f(x) \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

ff זוגית, ולכן x=−1x=-1 גם הוא שורש כפול: הגרף סימטרי לציר ה-yy

f(x)=(x−1)2(x+1)2f(x) = (x - 1)^2(x + 1)^2

ריבוי 2+2=42 + 2 = 4 — כל המעלה

=(x2−1)2=x4−2x2+1= (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1

פותחים

b=−2 c=1\begin{aligned}b &= -2 \\ \ c &= 1\end{aligned}

משווים מקדמים

הדרך הקצרה היא הזוגיות: שורש כפול ב-11 גורר שורש כפול ב-−1-1. אפשר גם בלעדיה: שורש כפול נותן שתי משוואות, f(1)=0f(1) = 0 ו-f′(1)=0f'(1) = 0, כלומר 1+b+c=01 + b + c = 0 ו-4+2b=04 + 2b = 0. מי שמציב רק f(1)=0f(1) = 0 מקבל משוואה אחת בשני נעלמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כמה פתרונות יש למשוואה x3=1xx^3 = \dfrac{1}{x}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x≠0x \neq 0

תחום

x4=1x^4 = 1

כופלים ב-xx, מותר כי x≠0x \neq 0

x=1 x=−1\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= -1\end{aligned}

חזקה זוגית: שני פתרונות

הגרף של x3x^3 והגרף של 1x\frac{1}{x} נמצאים שניהם ברביעים הראשון והשלישי, ולכן נפגשים פעם בכל רביע. המלכודת: לענות רק x=1x = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת