קשרים גרפיים — הפונקציה ונגזרתה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בבגרות שואלים את זה בשני הכיוונים: נתון גרף של ff — זהו את הגרף של f′f'; או נתון גרף של f′f' — מה אפשר לומר על ff. זה אותו קשר, וכדאי לראות אותו קודם על ציור אחד.

בווידג'ט: באילו ערכי xx הנקודה התחתונה נמצאת בדיוק על ציר ה-xx? ומה קורה באותם ערכים בגרף העליון?

להציג את התשובה והפתרון

ב-x=−1x=-1 וב-x=1x=1, כי x2−1=0x^2-1=0 שם. בדיוק מעליהן הגרף העליון מגיע לפסגה (x=−1x=-1) ולשפל (x=1x=1). הגובה של הגרף התחתון הוא השיפוע של הגרף העליון.

הקשר כולו מסתכם בשורה אחת: f′(x)f'(x) הוא הגובה של גרף הנגזרת, והוא שיפוע המשיק בגרף הפונקציה.

שלוש השורות שצריך לדעת

f′>0f' > 0

הגרף התחתון מעל הציר ← ff עולה.

f′<0f' < 0

הגרף התחתון מתחת לציר ← ff יורדת.

f′=0f' = 0

הגרף התחתון חותך את הציר ← ל-ff יש שם נקודת קיצון.

המילה החשובה בשורה השלישית היא חותך, לא «נוגע». אם גרף f′f' נוגע בציר ולא עובר לצד השני, הסימן לא התחלף — ואין שם קיצון, רק משיק אופקי. זו בדיוק ההבחנה שנבדקת.

מגרף הנגזרת אל גרף הפונקציה

גרף הנגזרת: פרבולה שחותכת את ציר x ב־1− וב־3
x=−1x=3-2-101234-5-4-3-2-11234567xy
זה גרף של הנגזרת, לא של הפונקציה. מה שחשוב בו: איפה הוא מעל הציר, איפה מתחת, ואיפה הוא חוצה.

זה הכיוון שמפחיד, והוא דווקא הקל יותר — אין מה לחשב, רק לקרוא סימנים. מחפשים איפה הגרף חוצה את הציר, ורושמים טבלה.

קריאה מגרף הנגזרת

בציור: גרף f′f', פרבולה פתוחה כלפי מעלה החותכת את ציר ה-xx ב-−1-1 וב-33. מה אפשר לומר על ff?

x<−1 : f′>0x < -1 \ : \ f' > 0

הפרבולה מעל הציר — ff עולה

x=−1 : +→−x = -1 \ : \ + \to -

מעבר מפלוס למינוס — מקסימום של ff

−1<x<3 : f′<0-1 < x < 3 \ : \ f' < 0

מתחת לציר — ff יורדת

x=3 : −→+x = 3 \ : \ - \to +

מעבר ממינוס לפלוס — מינימום של ff

x>3 : f′>0x > 3 \ : \ f' > 0

ff עולה שוב

לא חישבנו את ff עצמה, ובכל זאת אנחנו יודעים איך היא נראית. גרף הנגזרת מספר את כל הסיפור של הפונקציה — חוץ מהגובה. את הגובה נמצא בהמשך הפרק, בעזרת נקודה אחת ופונקציה קדומה.

ובכיוון ההפוך: מגרף הפונקציה אל גרף הנגזרת

גרף הפונקציה f
x=−1x=1-2-1012-3-2-1123xy
גרף הנגזרת f′ — מערכת צירים נפרדת
x=−1x=1-2-1012-4-2246810xy
אותו ציר x, אבל ציר y אחר: הגובה בגרף העליון נמדד ביחידות של f, והגובה בגרף התחתון ביחידות של שיפוע.

שני הגרפים מצוירים במערכות צירים נפרדות, זו מעל זו. הסיבה: ערך של ff וערך של f′f' הם גדלים שונים — גובה מול שיפוע — ואין טעם להשוות ביניהם על אותו ציר yy. מה שמשותף הוא ציר ה-xx, ולכן הקווים המקווקווים עוברים בשני הגרפים באותם מקומות.

↗\nearrow

קטע שבו ff עולה ← שם f′f' נמצאת מעל הציר.

פסגה\text{פסגה}

מקסימום או מינימום של ff ← שם f′f' חוצה את הציר.

תלול\text{תלול}

ככל שהעלייה תלולה יותר, כך f′f' גבוהה יותר.

בגרף העליון, איפה ff תלולה יותר: ב-x=0x=0 או ב-x=2x=2? בדקו את תשובתכם בגרף התחתון.

להציג את התשובה והפתרון

ב-x=2x=2. שם הגרף העליון עולה בחדות, ובגרף התחתון f′(2)=9f'(2)=9. ב-x=0x=0 הפונקציה יורדת בעדינות: f′(0)=−3f'(0)=-3. תלול יותר = רחוק יותר מהציר בגרף הנגזרת.

הדרגה יורדת באחד: אם ff היא פרבולה, הנגזרת שלה היא ישר. אם ff ממעלה שלישית, הנגזרת היא פרבולה. זו בדיקה מהירה כשמוצעים לכם כמה גרפים לבחירה.

שתי הטעויות של הקריאה הגרפית.

f′>0⇒f>0f' > 0 \Rightarrow f > 0
f′>0⇒f עולהf' > 0 \Rightarrow f \ \text{עולה}

הנגזרת מדברת על הכיוון, לא על הגובה. פונקציה יכולה להיות שלילית ולעלות.

max⁡f′⇒max⁡f\max f' \Rightarrow \max f
f′(x0)=0⇒max⁡f / min⁡ff'(x_0) = 0 \Rightarrow \max f \ / \ \min f

לא «מקסימום של f′f' נותן מקסימום של ff», אלא «אפס של f′f' נותן קיצון של ff». מה שמעניין בגרף התחתון הוא החיתוך עם הציר, לא הפסגה שלו.

בגרף הנגזרת f′f' חותכת את ציר ה-xx ועוברת ממינוס לפלוס. מה קורה ב-ff?

להציג את התשובה והפתרון

מינימום. ff ירדה ואז עלתה. מעבר מפלוס למינוס — מקסימום. גרף f′f' מספר על ff, לא על עצמו: הפסגה של f′f' עצמה לא מעניינת כאן.

תרגילים

תרגיל 1

בקטע מסוים f′(x)<0f'(x) < 0. מה קורה ל-ff?

  1. שלילית
  2. קבועה
  3. עולה
  4. יורדת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יורדת

הפתרון:

f′(x)<0f'(x) < 0

שיפוע המשיק שלילי בכל נקודה של הקטע

⇒f יורדת\Rightarrow f \ \text{יורדת}

שיפוע שלילי = הגרף הולך למטה

התשובה: יורדת. «שלילית» היא מלכודת: הנגזרת מדברת על הכיוון, לא על הגובה — פונקציה יכולה להיות חיובית ולרדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גרף f′f' חוצה את ציר ה-xx מפלוס למינוס בנקודה x=2x = 2. מה יש ל-ff שם?

  1. מקסימום
  2. נקודת חיתוך עם הציר
  3. מינימום
  4. כלום מיוחד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מקסימום

הפתרון:

+→−+ \rightarrow -

משמאל ל-22 הנגזרת חיובית, מימין שלילית

↗ ואז ↘\nearrow \ \text{ואז} \ \searrow

ff עלתה ואז ירדה

התשובה: מקסימום. «נקודת חיתוך עם הציר» מבלבלת בין הגרפים: f′f' חותכת את הציר, לא ff — וערך f(2)f(2) אינו ידוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ff היא פונקציה ממעלה שלישית. מה צורת גרף הנגזרת שלה?

  1. ישר
  2. גם ממעלה שלישית
  3. פרבולה
  4. קבוע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג פרבולה

הפתרון:

(ax3+bx2+cx+d)′=3ax2+2bx+c(ax^3+bx^2+cx+d)' = 3ax^2+2bx+c

הדרגה יורדת באחד

a≠0⇒פרבולהa \neq 0 \Rightarrow \text{פרבולה}

מקדם x2x^2 בנגזרת הוא 3a≠03a \neq 0

התשובה: פרבולה. מי שבחר «גם ממעלה שלישית» שכח שהגזירה מורידה את החזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

גרף f′f' נוגע בציר ה-xx בנקודה אחת ואינו חוצה אותו. מה ב-ff?

  1. מקסימום
  2. שתי נקודות קיצון
  3. אין שם קיצון
  4. מינימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אין שם קיצון

הפתרון:

f′(a)=0f'(a) = 0

המשיק ל-ff אופקי בנקודה

f′≥0f' \ge 0

משני הצדדים: נגיעה בלי מעבר — הסימן לא התחלף

התשובה: אין שם קיצון. y=x3y=x^3 בנקודה 00 היא הדוגמה: משיק אופקי, והפונקציה ממשיכה לעלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ff עולה בכל תחום ההגדרה. מה נכון על f′f'?

  1. f′f' עולה
  2. f′>0f' > 0 בהכרח בכל נקודה
  3. f′≥0f' \geq 0 בכל התחום
  4. f′f' קבועה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג f′≥0f' \geq 0 בכל התחום

הפתרון:

x3 עולה (x3)′=3x2\begin{aligned}x^3 \ \text{עולה} \\ \ (x^3)' &= 3x^2\end{aligned}

דוגמה

3⋅02=03 \cdot 0^2 = 0

הנגזרת מתאפסת בנקודה בודדת

התשובה: f′≥0f' \geq 0 בכל התחום. «f′>0f' > 0 בהכרח בכל נקודה» נופל ב-y=x3y=x^3 ב-00; «f′f' עולה» מבלבל בין הפונקציה לנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

גרף הנגזרת f′
-3-2-1012-5-4-3-2-1123xy

בציור גרף הנגזרת f′f' של פונקציה ff. באיזה ערך של xx יש ל-ff נקודת מקסימום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′(x)=0  ⟺  x=−2 או x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= -2 \ \text{או} \ x \\ &= 1\end{aligned}

קוראים מהגרף את נקודות החיתוך עם הציר

x=−2: −→+x=-2: \ - \to +

משמאל ל-−2-2 הגרף מתחת לציר, מימין מעליו — מינימום

x=1: +→−x=1: \ + \to -

משמאל ל-11 מעל הציר, מימין מתחת — מקסימום

המקסימום של ff ב-x=1x=1. הפסגה של הפרבולה עצמה (ב-x=−0.5x=-0.5) היא מלכודת: שם ff עולה בקצב הגדול ביותר, אבל אין לה קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גרף הנגזרת f′
-1012345-5-4-3-2-1123456xy

בציור גרף הנגזרת f′f' של פונקציה ff. באיזה תחום ff עולה?

  1. 0<x<40<x<4
  2. x<2x<2
  3. x<0x<0 או x>4x>4
  4. x>2x>2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x<0x<0 או x>4x>4

הפתרון:

f′(x)=0  ⟺  x=0 x=4\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

החיתוכים עם הציר

f′>0  ⟺  x<0 או x>4f'>0 \iff x<0 \ \text{או} \ x>4

שם הגרף מעל הציר

התשובה: x<0x<0 או x>4x>4. «0<x<40<x<4» הוא תחום הירידה. «x>2x>2» נובע מקריאה שגויה — שם הנגזרת עולה, אבל עדיין שלילית עד x=4x=4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

גרף הנגזרת f′
-3-2-1012-16-14-12-10-8-6-4-2246810xy

בציור גרף הנגזרת f′f' של פונקציה ff. הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=−2x=-2 ונוגע בו ב-x=1x=1. כמה נקודות קיצון יש ל-ff?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x=−2: −→+x=-2: \ - \to +

הגרף חוצה את הציר — מינימום של ff

x=1: +→+x=1: \ + \to +

הגרף נוגע וחוזר למעלה — אין החלפת סימן

11

נקודת קיצון אחת

יש אחת בלבד. מי שספר 22 ספר כל נקודה שבה f′=0f'=0 — אבל נגיעה בלי מעבר אינה קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

גרף הפונקציה f
-2-1012-3-2-1123xy

בציור גרף של הפונקציה ff, ממעלה שלישית. יש לה מקסימום ב-x=−1x=-1 ומינימום ב-x=1x=1. איזה תיאור מתאים לגרף הנגזרת f′f'?

  1. פרבולה פתוחה כלפי מטה, שחותכת את ציר xx ב-−1-1 וב-11
  2. פרבולה פתוחה כלפי מעלה, שחותכת את ציר xx ב-−1-1 וב-11
  3. עקומה שחותכת את ציר xx בשלוש הנקודות שבהן ff חותכת אותו
  4. ישר עולה שעובר דרך הראשית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב פרבולה פתוחה כלפי מעלה, שחותכת את ציר xx ב-−1-1 וב-11

הפתרון:

x<−1: f↗⇒f′>0x<-1: \ f \nearrow \Rightarrow f'>0

לפני המקסימום הנגזרת חיובית

−1<x<1: f↘⇒f′<0-1<x<1: \ f \searrow \Rightarrow f'<0

בין הקיצונים — שלילית

x>1: f↗⇒f′>0x>1: \ f \nearrow \Rightarrow f'>0

חיובית, מתחת-מעל: פרבולה פתוחה כלפי מעלה

התשובה: פרבולה פתוחה כלפי מעלה, שחותכת ב-−1-1 וב-11. «שחותכת בנקודות החיתוך של ff» מעתיקה את השורשים של ff במקום את הקיצונים שלה; פרבולה כלפי מטה הופכת עלייה לירידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גרף הנגזרת f′
-2-10123-3-2-11234xy

בציור גרף הנגזרת f′f', פרבולה החותכת את ציר xx ב-−1-1 וב-22. מיינו כל טענה על ff.

  • נכון בהכרח
  • לא נכון בהכרח
  • f(−1)=0f(-1)=0
  • f(2)<f(0)f(2)<f(0)
  • ff יורדת בתחום 0<x<10<x<1
  • ff עולה בתחום x>2x>2
  • ל-ff יש מינימום ב-x=−1x=-1
  • ל-ff יש מקסימום ב-x=−1x=-1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ff עולה בתחום x>2x>2 — נכון בהכרח · ל-ff יש מקסימום ב-x=−1x=-1 — נכון בהכרח · ff יורדת בתחום 0<x<10<x<1 — נכון בהכרח · f(2)<f(0)f(2)<f(0) — נכון בהכרח · ל-ff יש מינימום ב-x=−1x=-1 — לא נכון בהכרח · f(−1)=0f(-1)=0 — לא נכון בהכרח

הפתרון:

x<−1:f′>0,  −1<x<2:f′<0,  x>2:f′>0x<-1: f'>0,\ \ -1<x<2: f'<0,\ \ x>2: f'>0

קוראים את הסימנים מהגרף

0<2 ובקטע f יורדת⇒f(2)<f(0)0<2 \ \text{ובקטע} \ f \ \text{יורדת} \Rightarrow f(2)<f(0)

פונקציה יורדת: xx גדול יותר, ערך קטן יותר

המלכודת היא f(−1)=0f(-1)=0: הגרף מראה ש-f′(−1)=0f'(-1)=0, ועל הגובה של ff הוא לא אומר דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת