סימן הנגזרת — עלייה, ירידה ונקודות קיצון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

דמיינו מטייל שהולך על הגרף משמאל לימין. בכל צעד הוא מרגיש את שיפוע השביל מתחת לרגליו: לפעמים הוא מטפס, לפעמים יורד, ולרגע קצר הוא עומד על מקום שטוח. השיפוע הזה הוא בדיוק שיפוע המשיק — כלומר f′(x)f'(x).

ב-x=1x=1 המשיק לגרף של f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2 נוטה כלפי מטה. מה הסימן של f′(1)f'(1), ומה עושה הפונקציה סביב x=1x=1?

להציג את התשובה והפתרון

f′(x)=3x2−6xf'(x)=3x^2-6x, ולכן f′(1)=3−6=−3f'(1)=3-6=-3 — שלילי. שיפוע שלילי פירושו שהפונקציה יורדת סביב x=1x=1. שימו לב: לא שאלנו אם f(1)f(1) חיובי — רק לאן הגרף הולך.

מהסימן של f′f' אל העלייה והירידה של ff

f′(x)>0f'(x) > 0

בכל התחום — הפונקציה עולה בתחום (↗).

f′(x)<0f'(x) < 0

בכל התחום — הפונקציה יורדת בתחום (↘).

תחומי עלייה וירידה נכתבים בעזרת xx בלבד: «ff עולה בתחום x<1x<1». את ערכי yy לא כותבים שם. ונקודה בודדת שבה f′=0f'=0 לא «שוברת» עלייה: y=x3y=x^3 עולה לכל xx, אף ש-f′(0)=0f'(0)=0.

נקודות קיצון

נקודת מקסימום מקומי היא נקודה שבה ערך הפונקציה גדול מכל הערכים בסביבתה הקרובה — ראש של גבעה. נקודת מינימום מקומי היא תחתית של עמק. בשתיהן, בפולינום, המשיק אופקי: f′(x)=0f'(x)=0. לכן נקודה שבה f′(x)=0f'(x)=0 נקראת נקודה חשודה לקיצון.

+ → −+ \ \to \ -

הפונקציה עלתה ואז ירדה — מקסימום.

− → +- \ \to \ +

הפונקציה ירדה ואז עלתה — מינימום.

+ → +או− → −+ \ \to \ + \quad \text{או} \quad - \ \to \ -

אין החלפת סימן — אין קיצון, רק משיק אופקי.

נתון f′(x)=(x−2)2f'(x)=(x-2)^2. האם יש ל-ff נקודת קיצון ב-x=2x=2?

להציג את התשובה והפתרון

לא. (x−2)2≥0(x-2)^2 \ge 0, ולכן הנגזרת חיובית משני צדי x=2x=2 ומתאפסת רק בנקודה עצמה. אין החלפת סימן — הפונקציה עולה לפני 22 וממשיכה לעלות אחריו.

פולינום ממעלה רביעית: f(x)=x4−8x2f(x)=x^4-8x^2

מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודות הקיצון.

f′(x)=4x3−16xf'(x)=4x^3-16x

גוזרים איבר-איבר

4x(x−2)(x+2)=04x(x-2)(x+2)=0

מוציאים גורם משותף 4x4x, ומפרקים הפרש ריבועים

x=−2  x=0  x=2\begin{aligned}x &= -2 \\ \ \ x &= 0 \\ \ \ x &= 2\end{aligned}

שלוש נקודות חשודות

f′(−3)=−60<0  f′(−1)=12>0  f′(1)=−12<0  f′(3)=60>0\begin{aligned}f'(-3) &= -60<0 \\ \ \ f'(-1) &= 12>0 \\ \ \ f'(1) &= -12<0 \\ \ \ f'(3) &= 60>0\end{aligned}

מציבים נקודה אחת מכל תחום

min⁡ (−2, −16),max⁡ (0, 0),min⁡ (2, −16)\min\ (-2,\,-16),\quad \max\ (0,\,0),\quad \min\ (2,\,-16)

קוראים את מעברי הסימן, ומציבים ב-ff

↗: −2<x<0 או x>2↘: x<−2 או 0<x<2\nearrow:\ -2<x<0 \ \text{או} \ x>2 \qquad \searrow:\ x<-2 \ \text{או} \ 0<x<2

תחומי העלייה והירידה

שתי הטעויות שעולות הכי הרבה נקודות.

ymax⁡=f′(1)=0\begin{aligned}y_{\max} &= f'(1) \\ &= 0\end{aligned}
ymax⁡=f(1)=5\begin{aligned}y_{\max} &= f(1) \\ &= 5\end{aligned}

בנקודה חשודה הנגזרת תמיד אפס — זה מה שהגדיר אותה. את שיעור ה-yy של הקיצון מקבלים מהצבה ב-ff.

3(x−1)(x−3)<0 ⇒ x<1 או x>33(x-1)(x-3)<0 \ \Rightarrow\ x<1 \ \text{או}\ x>3
3(x−1)(x−3)<0 ⇒ 1<x<33(x-1)(x-3)<0 \ \Rightarrow\ 1<x<3

הנגזרת היא פרבולה פתוחה כלפי מעלה, והיא שלילית בין השורשים. כשלא בטוחים — מציבים מספר מהתחום.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=2x3−3x2−12x+5f(x)=2x^3-3x^2-12x+5. מהו שיעור ה-xx של נקודת המינימום של ff?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=6x2−6x−12=6(x−2)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= 6x^2-6x-12 \\ &= 6(x-2)(x+1)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

x=−1  x=2\begin{aligned}x &= -1 \\ \ \ x &= 2\end{aligned}

הנקודות החשודות

f′(0)=−12<0  f′(3)=24>0\begin{aligned}f'(0) &= -12<0 \\ \ \ f'(3) &= 24>0\end{aligned}

סביב x=2x=2 הסימן עובר מ-−- ל-++

המינימום ב-x=2x=2. ב-x=−1x=-1 יש מקסימום — שתי הנקודות החשודות אינן מאותו סוג, והטבלה היא שמבדילה ביניהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=2x3−3x2−12x+5f(x)=2x^3-3x^2-12x+5. באיזה תחום ff יורדת?

  1. −2<x<1-2<x<1
  2. x<2x<2
  3. x<−1x<-1 או x>2x>2
  4. −1<x<2-1<x<2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −1<x<2-1<x<2

הפתרון:

f′(x)=6(x−2)(x+1)f'(x)=6(x-2)(x+1)

פרבולה פתוחה כלפי מעלה

f′(x)<0  ⟺  −1<x<2f'(x)<0 \iff -1<x<2

שלילית בין השורשים

התשובה: −1<x<2-1<x<2. «x<−1x<-1 או x>2x>2» הם תחומי העלייה, ו-«−2<x<1-2<x<1» בא משורשים עם סימן הפוך: x+1=0x+1=0 נותן x=−1x=-1, לא x=1x=1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=2x3−3x2−12x+5f(x)=2x^3-3x^2-12x+5. מהו ערך המקסימום המקומי של ff (שיעור ה-yy)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

f′(−2)=24>0  f′(0)=−12<0\begin{aligned}f'(-2) &= 24>0 \\ \ \ f'(0) &= -12<0\end{aligned}

סביב x=−1x=-1 המעבר מ-++ ל-−- — מקסימום

f(−1)=2(−1)3−3(−1)2−12(−1)+5f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+5

מציבים ב-ff

=−2−3+12+5=12=-2-3+12+5=12

בזהירות עם הסימנים

ערך המקסימום הוא 1212. הטעות הנפוצה: (−1)2=1(-1)^2=1, ולכן −3(−1)2=−3-3(-1)^2=-3 ולא +3+3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

אם f′(3)=0f'(3)=0, אז בהכרח יש ל-ff נקודת קיצון ב-x=3x=3.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=(x−3)3f(x)=(x-3)^3

דוגמה נגדית

f′(x)=3(x−3)2≥0f'(x)=3(x-3)^2 \ge 0

הנגזרת מתאפסת ב-33 אך אינה מחליפה סימן

לא נכון. f′(3)=0f'(3)=0 הוא תנאי הכרחי לקיצון בפולינום, אבל לא מספיק. רק החלפת סימן של הנגזרת מבטיחה קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לכל פונקציה נתונה הנגזרת שלה ונקודה שבה הנגזרת מתאפסת. מיינו: האם יש שם נקודת קיצון?

  • יש קיצון
  • אין קיצון
  • f′(x)=(x−1)2f'(x)=(x-1)^2, בנקודה x=1x=1
  • f′(x)=(x−2)2(x+1)f'(x)=(x-2)^2(x+1), בנקודה x=−1x=-1
  • f′(x)=(x−2)2(x+1)f'(x)=(x-2)^2(x+1), בנקודה x=2x=2
  • f′(x)=(x+3)3f'(x)=(x+3)^3, בנקודה x=−3x=-3
  • f′(x)=x(x−4)f'(x)=x(x-4), בנקודה x=4x=4
  • f′(x)=x4f'(x)=x^4, בנקודה x=0x=0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′(x)=x(x−4)f'(x)=x(x-4), בנקודה x=4x=4 — יש קיצון · f′(x)=(x−1)2f'(x)=(x-1)^2, בנקודה x=1x=1 — אין קיצון · f′(x)=(x+3)3f'(x)=(x+3)^3, בנקודה x=−3x=-3 — יש קיצון · f′(x)=(x−2)2(x+1)f'(x)=(x-2)^2(x+1), בנקודה x=2x=2 — אין קיצון · f′(x)=(x−2)2(x+1)f'(x)=(x-2)^2(x+1), בנקודה x=−1x=-1 — יש קיצון · f′(x)=x4f'(x)=x^4, בנקודה x=0x=0 — אין קיצון

הפתרון:

f′(x)=(x−1)2 ⇒ f′(0)=1>0 f′(2)=1>0\begin{aligned}f'(x) &= (x-1)^2 \ \Rightarrow\ f'(0) \\ &= 1>0 \\ \ f'(2) &= 1>0\end{aligned}

גורם בריבוע: אותו סימן משני הצדדים — אין קיצון

f′(x)=(x+3)3 ⇒ f′(−4)=−1<0 f′(−2)=1>0\begin{aligned}f'(x) &= (x+3)^3 \ \Rightarrow\ f'(-4) \\ &= -1<0 \\ \ f'(-2) &= 1>0\end{aligned}

גורם בחזקה שלישית: הסימן מתחלף — יש קיצון

הכלל: גורם בחזקה זוגית לא מחליף סימן, ולכן אין קיצון; גורם בחזקה אי-זוגית מחליף סימן. בספק — מציבים נקודה משני הצדדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה f(x)=x3+3xf(x)=x^3+3x?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

f′(x)=3x2+3f'(x)=3x^2+3

גוזרים

3x2+3=0 ⇒ x2=−1\begin{aligned}3x^2+3 &= 0 \ \Rightarrow\ x^2 \\ &= -1\end{aligned}

אין פתרון

f′(x)≥3>0f'(x)\ge 3>0

הנגזרת חיובית לכל xx

אין אף נקודה חשודה, ולכן אפס נקודות קיצון — ff עולה לכל xx. הטעות היא «לפתור בכוח» ולכתוב x=±1x=\pm 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה f(x)=−x4+2x2f(x)=-x^4+2x^2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=−4x3+4x=−4x(x−1)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= -4x^3+4x \\ &= -4x(x-1)(x+1)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

x=−1 0 1\begin{aligned}x &= -1 \\ \ 0 \\ \ 1\end{aligned}

שלוש חשודות, כל אחת בחזקה 11

+ → − → + → −+\ \to\ -\ \to\ +\ \to\ -

הסימן מתחלף בכל אחת

שלוש: מקסימום ב-x=±1x=\pm1 ומינימום ב-x=0x=0. המקדם השלילי הופך את סדר הסימנים — לכן כדאי להציב נקודה ולא לנחש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סדרו את שלבי מציאת נקודות הקיצון של פולינום

  • בונים טבלת סימנים של f′f'
  • גוזרים את ff
  • מציבים ב-ff ומוצאים את שיעור ה-yy
  • משווים את f′(x)f'(x) לאפס ופותרים
  • קובעים לפי החלפת הסימן אם זה מקסימום או מינימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: גוזרים את ff · משווים את f′(x)f'(x) לאפס ופותרים · בונים טבלת סימנים של f′f' · קובעים לפי החלפת הסימן אם זה מקסימום או מינימום · מציבים ב-ff ומוצאים את שיעור ה-yy

הפתרון:

f′→f′=0→טבלה→סוג→f(x0)f' \to f'=0 \to \text{טבלה} \to \text{סוג} \to f(x_0)

חמשת השלבים

הטבלה באה לפני קביעת הסוג: בלעדיה נקודה חשודה נשארת חשודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהי נקודת המקסימום של f(x)=−x3+3x+2f(x)=-x^3+3x+2?

  1. (−1, 0)(-1,\ 0)
  2. (1, 4)(1,\ 4)
  3. (1, 0)(1,\ 0)
  4. (−1, 4)(-1,\ 4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב (1, 4)(1,\ 4)

הפתרון:

f′(x)=−3x2+3=−3(x−1)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= -3x^2+3 \\ &= -3(x-1)(x+1)\end{aligned}

פרבולה פתוחה כלפי מטה

f′(0)=3>0  f′(2)=−9<0\begin{aligned}f'(0) &= 3>0 \\ \ \ f'(2) &= -9<0\end{aligned}

סביב x=1x=1: מ-++ ל-−-

f(1)=−1+3+2=4\begin{aligned}f(1) &= -1+3+2 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים ב-ff

המקסימום ב-(1, 4)(1,\ 4). (−1, 0)(-1,\ 0) היא נקודת המינימום — מי שהניח «כמו תמיד, השמאלית היא המקסימום» שכח שהמקדם של x3x^3 שלילי. ו-(1, 0)(1,\ 0) לקחה את ערך הנגזרת במקום את ערך הפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x3+x−5f(x)=x^3+x-5. הוכיחו כי ff עולה לכל xx.

  • f(x)=x3+x−5f(x)=x^3+x-5

ff עולה לכל xx

להציג את התשובה והפתרון
  1. f′(x)=3x2+1f'(x)=3x^2+1 — גזירה איבר-איבר
  2. 3x2≥03x^2 \ge 0 לכל xx — ריבוע של מספר אינו שלילי
  3. f′(x)≥1>0f'(x) \ge 1 > 0 לכל xx — מוסיפים 11 לשני האגפים
  4. ff עולה לכל xx — נגזרת חיובית בכל תחום — הפונקציה עולה בו
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת