קטע סגור וקטע פתוח

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עד עכשיו חיפשנו נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת. אבל כשהבעיה מוגבלת לקטע סגור — זמן מ-00 עד 55 שניות, נקודה שחייבת להישאר בין שני קצוות — הערך הגדול ביותר יכול לשבת בקצה, במקום שבו הנגזרת בכלל לא מתאפסת.

תמונה: מקסימום מקומי שמפסיד לקצה

זה הגרף של f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 בקטע [0,5][0, 5]. ב-BB יש מקסימום מקומי: f(1)=5f(1) = 5. אבל בקצה הימני DD הגרף ממשיך לטפס עד f(5)=21f(5) = 21. הערך הגדול ביותר בקטע — המקסימום המוחלט — נמצא ב-DD.

לפי הגרף: היכן מתקבל הערך הקטן ביותר של ff בקטע?

להציג את התשובה והפתרון

בשתי נקודות: בקצה AA (f(0)=1f(0) = 1) ובמינימום המקומי CC (f(3)=1f(3) = 1). ערך קיצון מוחלט יכול להתקבל ביותר מנקודה אחת.

הכלל: רשימת מועמדים

[a,b][a, b]

קטע סגור. המועמדים: הנקודות שבהן f′(x)=0f'(x) = 0 בתוך הקטע, ושני הקצוות aa ו-bb. מציבים את כולם ב-ff ובוחרים את הגדול והקטן.

(a,b)(a, b)

קטע פתוח. הקצוות אינם שייכים לקטע. אם יש בו נקודת קיצון מקומית אחת בלבד — היא גם הקיצון המוחלט. אם אין — ייתכן שאין מקסימום בכלל.

ואם הקטע היה פתוח, (−1,3)(-1, 3) — האם היה ל-ff מקסימום?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הערכים מתקרבים ל-1111 כש-xx מתקרב ל-−1-1, אבל −1-1 אינו בקטע, וכל ערך שנבחר קרוב ממנו נותן ערך קטן מ-1111. יש מינימום (−16-16), אין מקסימום.

פיזיקה: גובה ומהירות

בבעיות תנועה s(t)s(t) הוא המיקום, v(t)=s′(t)v(t) = s'(t) המהירות. מקום מקסימלי מחפשים ב-s′(t)=0s'(t) = 0. מהירות מקסימלית היא קיצון של vv עצמה — ולכן גוזרים את vv.

כדור שנזרק כלפי מעלה

גובה הכדור (במטרים) אחרי tt שניות הוא h(t)=20t−5t2h(t) = 20t - 5t^2, עבור 0≤t≤40 \le t \le 4. מהו הגובה המקסימלי?

h′(t)=20−10t=0 ⇒ t=2\begin{aligned}h'(t) &= 20 - 10t \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

נקודה חשודה, בתוך הקטע

h(0)=0h(2)=20h(4)=0\begin{aligned}h(0) &= 0 \\ \quad h(2) &= 20 \\ \quad h(4) &= 0\end{aligned}

המועמדים: t=2t = 2 ושני הקצוות

hmax=20h_{max} = 20

אחרי 22 שניות, בגובה 2020 מ׳

כתבו את רשימת המועמדים בטבלה קטנה — עמודה ל-xx ועמודה ל-f(x)f(x). הבודק רואה מיד שבדקתם את הקצוות, ואתם רואים מיד מי הגדול.

הטעויות שחוזרות בקטע סגור.

fmax=f(1)=5\begin{aligned}f_{max} &= f(1) \\ &= 5\end{aligned}
fmax=f(5)=21\begin{aligned}f_{max} &= f(5) \\ &= 21\end{aligned}

מקסימום מקומי אינו בהכרח הערך הגדול ביותר בקטע. בלי להציב את הקצוות — התשובה לא מלאה.

vmax: s′(t)=0v_{max} : \ s'(t) = 0
vmax: v′(t)=0v_{max} : \ v'(t) = 0

s′(t)=0s'(t) = 0 הוא רגע שבו הגוף עומד. כדי למקסם מהירות גוזרים את המהירות.

x=−2 ⇒ f(−2)=16\begin{aligned}x &= -2 \ \Rightarrow \ f(-2) \\ &= 16\end{aligned}
−2∉[−1,3]-2 \notin [-1, 3]

נקודה חשודה מחוץ לקטע אינה מועמדת, גם אם הערך בה גדול.

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את הערך הגדול ביותר של f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x בקטע [0,2][0, 2].

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=3x2−3=0 ⇒ x=±1\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1\end{aligned}

נקודות חשודות

x=1∈[0,2]x = 1 \in [0, 2]

−1-1 מחוץ לקטע

f(0)=0f(1)=−2f(2)=2\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(1) &= -2 \\ \quad f(2) &= 2\end{aligned}

המועמדים

fmax=2f_{max} = 2

בקצה x=2x = 2

הנקודה החשודה היחידה בקטע היא מינימום. המקסימום יושב בקצה — מי שבודק רק את f′(x)=0f'(x) = 0 עונה −2-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את הערך הקטן ביותר של f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x בקטע [0,2][0, 2].

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f(0)=0f(1)=−2f(2)=2\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(1) &= -2 \\ \quad f(2) &= 2\end{aligned}

אותם מועמדים

fmin=f(1)=−2\begin{aligned}f_{min} &= f(1) \\ &= -2\end{aligned}

את ערך המינימום מקבלים מהצבה ב-ff, לא מ-x=1x = 1. התשובה −2-2, לא 11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו הערך הקטן ביותר של f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 בקטע [3,6][3, 6]?

  1. 77
  2. 33
  3. 44
  4. 1919
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 44

הפתרון:

f′(x)=2x−4=0 ⇒ x=2\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

הקודקוד

2∉[3,6]2 \notin [3, 6]

מחוץ לקטע

f(3)=4f(6)=19\begin{aligned}f(3) &= 4 \\ \quad f(6) &= 19\end{aligned}

נשארו רק הקצוות

fmin=4f_{min} = 4

הנכונה: 44. 33 הוא ערך הקודקוד f(2)f(2) — אבל x=2x = 2 מחוץ לקטע. 1919 הוא המקסימום, ו-77 הוא f(0)f(0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כדור נזרק כלפי מעלה. גובהו (במטרים) אחרי tt שניות הוא h(t)=30t−5t2h(t) = 30t - 5t^2, עבור 0≤t≤60 \le t \le 6. מהו הגובה המקסימלי של הכדור?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

h′(t)=30−10t=0 ⇒ t=3\begin{aligned}h'(t) &= 30 - 10t \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}
h(0)=0h(3)=45h(6)=0\begin{aligned}h(0) &= 0 \\ \quad h(3) &= 45 \\ \quad h(6) &= 0\end{aligned}

המועמדים

hmax=45h_{max} = 45

נשאל הגובה, לא הזמן. t=3t = 3 הוא רק הדרך אל התשובה 4545 מ׳.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

גוף נע על ישר. מיקומו (במטרים) אחרי tt שניות הוא s(t)=−t3+9t2s(t) = -t^3 + 9t^2, עבור 0≤t≤60 \le t \le 6. מהי המהירות המקסימלית של הגוף (במ׳ לשנייה)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

v(t)=s′(t)=−3t2+18t\begin{aligned}v(t) &= s'(t) \\ &= -3t^2 + 18t\end{aligned}

המהירות

v′(t)=−6t+18=0 ⇒ t=3\begin{aligned}v'(t) &= -6t + 18 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}

גוזרים את vv

v(0)=0v(3)=27v(6)=0\begin{aligned}v(0) &= 0 \\ \quad v(3) &= 27 \\ \quad v(6) &= 0\end{aligned}

המועמדים

vmax=27v_{max} = 27

המלכודת: לפתור s′(t)=0s'(t) = 0. זה נותן t=6t = 6 — הרגע שבו הגוף נעצר, והמהירות שם 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בקטע סגור, הערך הגדול ביותר של פונקציה מתקבל תמיד בנקודה שבה הנגזרת שווה 00.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=x[0,1]\begin{aligned}f(x) &= x \\ \quad [0, 1]\end{aligned}

דוגמה נגדית

f′(x)=1≠0f'(x) = 1 \ne 0

הנגזרת לא מתאפסת אף פעם

fmax=f(1)=1\begin{aligned}f_{max} &= f(1) \\ &= 1\end{aligned}

המקסימום בקצה

לא נכון. בקטע סגור המקסימום יכול להתקבל בקצה, שם הנגזרת אינה חייבת להתאפס. לכן מציבים תמיד גם את הקצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הפונקציה f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x בקטע [−1,3][-1, 3]. אילו ערכי xx הם מועמדים לקיצון מוחלט?

  • מועמד
  • לא מועמד
  • x=−1x = -1
  • x=−2x = -2
  • x=0x = 0
  • x=2x = 2
  • x=3x = 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=−1x = -1 — מועמד · x=2x = 2 — מועמד · x=3x = 3 — מועמד · x=−2x = -2 — לא מועמד · x=0x = 0 — לא מועמד

הפתרון:

f′(x)=3x2−12=0 ⇒ x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}
x=2∈[−1,3]x=−2∉[−1,3]\begin{aligned}x &= 2 \in [-1, 3] \\ \quad x &= -2 \notin [-1, 3]\end{aligned}
−1, 2, 3-1, \ 2, \ 3

הנקודה מבפנים ושני הקצוות

x=−2x = -2 מאפס את הנגזרת אבל נמצא מחוץ לקטע. x=0x = 0 הוא סתם נקודה בקטע — הנגזרת בו −12-12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מצאו את הערך הגדול ביותר של f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x בקטע [−1,3][-1, 3].

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

x=2x = 2

הנקודה החשודה היחידה בקטע

f(−1)=11f(2)=−16f(3)=−9\begin{aligned}f(-1) &= 11 \\ \quad f(2) &= -16 \\ \quad f(3) &= -9\end{aligned}

המועמדים

fmax=f(−1)=11\begin{aligned}f_{max} &= f(-1) \\ &= 11\end{aligned}

מי שמציב את x=−2x = -2 מקבל 1616 — אבל −2-2 מחוץ לקטע. ומי ששוכח את הקצוות לא מוצא מקסימום בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הטמפרטורה בחממה (במעלות) tt שעות אחרי הזריחה היא T(t)=t3−9t2+24t+10T(t) = t^3 - 9t^2 + 24t + 10, עבור 0≤t≤50 \le t \le 5. באילו רגעים הטמפרטורה הגבוהה ביותר?

  1. ב-t=2t = 2 בלבד
  2. ב-t=2t = 2 וב-t=5t = 5
  3. ב-t=4t = 4
  4. ב-t=5t = 5 בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ב-t=2t = 2 וב-t=5t = 5

הפתרון:

T′(t)=3t2−18t+24=3(t−2)(t−4)\begin{aligned}T'(t) &= 3t^2 - 18t + 24 \\ &= 3(t - 2)(t - 4)\end{aligned}
T(0)=10 T(2)=30 T(4)=26 T(5)=30\begin{aligned}T(0) &= 10 \\ \ T(2) &= 30 \\ \ T(4) &= 26 \\ \ T(5) &= 30\end{aligned}

ארבעה מועמדים

Tmax=30T_{max} = 30

בשני רגעים

הנכונה: ב-t=2t = 2 וב-t=5t = 5. המקסימום המקומי ב-t=2t = 2 והקצה t=5t = 5 נותנים אותו ערך בדיוק. t=4t = 4 הוא מינימום מקומי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לפונקציה f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x יש ערך גדול ביותר בקטע הפתוח (0,2)(0, 2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x=1: f(1)=−2\begin{aligned}x &= 1: \ f(1) \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה החשודה היחידה היא מינימום

x→2: f(x)→2x \to 2: \ f(x) \to 2

הערכים מתקרבים ל-22

2∉(0,2)2 \notin (0, 2)

אבל אף ערך בקטע אינו מגיע ל-22

לא נכון. בקטע הפתוח הקצה x=2x = 2 אינו שייך לקטע, ולכל ערך שנבחר תמיד יש ערך גדול ממנו קרוב יותר ל-22. בקטע פתוח ייתכן שאין מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת