בעיות קיצון — פולינום · בעיות קיצון · כיתה י׳

בחקירת פונקציה נותנים לכם את $f(x)$ . בבעיית קיצון אתם בונים אותה: מתוך שרטוט, מתוך סיפור, מתוך נתון קבוע. הגזירה היא החלק הקל. השורה הראשונה — לבטא את הגודל באמצעות משתנה אחד — היא החלק שעליו נאבקים.

קודם מסתכלים: מלבן שחי בתוך משולש

במשולש ישר-זווית שניצביו $10$ ו- $8$ חסום מלבן: קודקוד אחד בזווית הישרה, והקודקוד שממולו על היתר. הזיזו את $x$ ועקבו אחרי השטח. מלבן צר מאוד — שטח קטן. מלבן רחב מאוד — נמוך מאוד, ושוב שטח קטן. איפשהו באמצע יש שיא.

לפני כל חישוב: לפי המעבדה, בערך באיזה $x$ השטח הגדול ביותר, ומה קורה לשטח כש- $x$ מתקרב ל- $0$ או ל- $10$ ?

להציג את התשובה והפתרון

השיא סביב $x = 5$ . בשני הקצוות השטח שואף ל- $0$ : ב- $x \to 0$ המלבן נעשה קו אנכי, וב- $x \to 10$ הגובה נעלם. שני קצוות שבהם אין מלבן — ולכן התחום פתוח: $0 < x < 10$ .

חמישה שלבים, תמיד באותו סדר

1

סימון. בוחרים משתנה $x$ וכותבים במילים מה הוא: « $x$ — אורך הצלע המונחת על הניצב הגדול».

2

הבעה. כותבים את הגודל שרוצים למקסם או למזער באמצעות $x$ בלבד. אם נשאר משתנה שני — מחפשים את הקשר (דמיון, פיתגורס, נתון קבוע) שמסלק אותו.

3

תחום. אילו ערכי $x$ נותנים צורה אמיתית? אורך חיובי, צלע שלא יוצאת מהמסגרת. תחום פתוח כשבקצה הצורה נעלמת, סגור כשגם הקצה הוא מצב אפשרי.

4

גזירה. גוזרים, משווים לאפס, ומשאירים רק פתרונות בתוך התחום.

5

סיווג ותשובה. טבלת סימנים מראה שזה באמת מקסימום או מינימום. אחר כך עונים על מה שנשאל — ה- $x$ , השטח, או ממדי הצורה.

המלבן שבמעבדה, בחמישה שלבים

במשולש ישר-זווית שניצביו $10$ ס״מ ו- $8$ ס״מ חסום מלבן כמו במעבדה. מהו השטח המקסימלי?

x = CD

שלב 1 — הצלע על הניצב שאורכו $10$

\begin{aligned}\frac{h}{8} &= \frac{10 - x}{10} \ \Rightarrow \ h \\ &= 0.8(10 - x)\end{aligned}

שלב 2 — המשולש הקטן שמעל המלבן דומה למשולש הגדול

\begin{aligned}S(x) &= x \cdot 0.8(10 - x) \\ &= 8x - 0.8x^2\end{aligned}

השטח, באמצעות $x$ בלבד

0 < x < 10

שלב 3 — בקצוות אין מלבן

\begin{aligned}S'(x) &= 8 - 1.6x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

שלב 4 — ו- $5$ בתוך התחום

\begin{aligned}S(5) &= 5 \cdot 4 \\ &= 20\end{aligned}

שלב 5 — אחרי הסיווג בטבלה שלמטה: שטח מקסימלי $20$ סמ״ר

התיבה הפתוחה: כשהמשוואה נותנת יותר מדי

מגיליון $12 \times 12$ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ומקפלים את הדפנות. הבסיס מתקצר ב- $x$ משני הצדדים, ולכן צלעו $12 - 2x$ , והגובה הוא $x$ . הנפח: $V(x) = x(12 - 2x)^2$ . את התיבה אפשר לבנות במעבדה שבסוף היחידה.

מהו התחום של $x$ בתיבה הזאת?

להציג את התשובה והפתרון

$0 < x < 6$ . ב- $x = 6$ הבסיס $12 - 2x$ מתאפס, ומעבר לו הוא «שלילי» — אין תיבה.

$V'(x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$ מתאפסת ב- $x = 2$ וב- $x = 6$ . איזה מהם עונה על השאלה, ולמה?

להציג את התשובה והפתרון

$x = 2$ , והנפח $V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128$ סמ״ק. $x = 6$ אינו בתחום: שם הנפח $0$ — זו התיבה שנעלמה, לא התיבה הגדולה.

בדיקת שפיות אחרי כל תשובה: הציבו ערך אחר מהתחום וודאו שהוא נותן פחות. $S(4) = 19.2 < 20$ ✓ ו- $V(1) = 100 < 128$ ✓. זה לא מחליף טבלת סימנים, אבל תופס טעויות חשבון.

שלוש טעויות שעולות הכי הרבה נקודות.

V(x) = x(12 - x)^2

V(x) = x(12 - 2x)^2

מכל צלע של הגיליון נגזרות שתי פינות, ולכן יורדים $2x$ .

\begin{aligned}V'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 6 \notin (0, 6) \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

פתרון של $V'(x) = 0$ שאינו בתחום אינו פתרון של הבעיה. תמיד חוזרים לתחום.

x = 5

\begin{aligned}S_{max} &= S(5) \\ &= 20\end{aligned}

נשאלתם על השטח. מי שעוצר ב- $x$ עונה על שאלה אחרת.

תרגילים

תרגיל 1

CB = 10, CA = 8, CD = x. הקודקוד E על היתר.

במשולש ישר-זווית $ABC$ שניצביו $CB = 10$ ס״מ ו- $CA = 8$ ס״מ חסום מלבן $CDEF$ , כמו בשרטוט. $CD = x$ . מהו הביטוי לגובה המלבן $DE$ ?

$DE = 1.25(8 - x)$
$DE = 8 - x$
$DE = 0.8x$
$DE = 0.8(10 - x)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $DE = 0.8(10 - x)$

הפתרון:

\triangle EDB \sim \triangle ACB

זווית $B$ משותפת, ושתיהן ישרות

\begin{aligned}\frac{DE}{CA} &= \frac{DB}{CB} \\ &= \frac{10 - x}{10}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}DE &= 8 \cdot \frac{10 - x}{10} \\ &= 0.8(10 - x)\end{aligned}

הנכונה: $DE = 0.8(10 - x)$ . $0.8x$ גדל עם $x$ — אבל ככל שהמלבן רחב יותר הוא נמוך יותר. $8 - x$ מחסר אורכים משני ניצבים שונים, ו- $1.25(8 - x)$ הופך את היחס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

CB = 10, CA = 8, CD = x. הקודקוד E על היתר.

במשולש ישר-זווית $ABC$ שניצביו $CB = 10$ ס״מ ו- $CA = 8$ ס״מ חסום מלבן $CDEF$ , כמו בשרטוט. מהו השטח המקסימלי של המלבן (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= x \cdot 0.8(10 - x) \\ &= 8x - 0.8x^2\end{aligned}

השטח באמצעות $x = CD$

0 < x < 10

התחום

\begin{aligned}S'(x) &= 8 - 1.6x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

S' > 0 \ (x < 5), \quad S' < 0 \ (x > 5)

מקסימום

\begin{aligned}S(5) &= 5 \cdot 4 \\ &= 20\end{aligned}

התשובה היא השטח $20$ , לא $x = 5$ . ושימו לב: המלבן המקסימלי תופס בדיוק חצי משטח המשולש ( $40$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

גיליון 12 על 12, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

מגיליון קרטון ריבועי שצלעו $12$ ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הביטוי לנפח התיבה?

$V(x) = x^2(12 - 2x)$
$V(x) = x(12 - 2x)^2$
$V(x) = 2x(12 - 2x)^2$
$V(x) = x(12 - x)^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $V(x) = x(12 - 2x)^2$

הפתרון:

12 - 2x

צלע הבסיס: שתי פינות יורדות מכל צלע

x

הגובה: הדופן המקופלת

V = (12 - 2x)^2 \cdot x

שטח בסיס כפול גובה

הנכונה: $V(x) = x(12 - 2x)^2$ . $x(12 - x)^2$ שוכח שנגזרות שתי פינות מכל צלע, ו- $x^2(12 - 2x)$ מחליף בין הבסיס לגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

גיליון 12 על 12, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

מגיליון קרטון ריבועי שצלעו $12$ ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מצאו את $x$ שעבורו נפח התיבה מקסימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}V(x) &= x(12 - 2x)^2 \\ \quad 0 < x < 6\end{aligned}

הנפח והתחום

\begin{aligned}V'(x) &= (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) \\ &= (12 - 2x)(12 - 6x)\end{aligned}

כלל המכפלה, ומוציאים גורם משותף

\begin{aligned}x &= 6 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

שני אפסים

x = 2

$x = 6$ אינו בתחום; משמאל ל- $2$ הנגזרת חיובית ומימין שלילית

זו המלכודת של התיבה: המשוואה נותנת שני פתרונות, והתחום פוסל אחד מהם. ב- $x = 6$ הנפח $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הקטע המודגש AD הוא הקיר, ואותו לא גודרים.

חקלאי גודר חלקה מלבנית הצמודה לקיר ארוך, כמו בשרטוט. את הצד שלאורך הקיר ( $AD$ ) לא גודרים. לרשותו $60$ מ׳ גדר לשלושת הצדדים האחרים. מהו השטח המקסימלי של החלקה (במ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 450

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= CD \\ &= x \\ \quad BC &= 60 - 2x\end{aligned}

סימון והבעה

\begin{aligned}S(x) &= x(60 - 2x) \\ &= 60x - 2x^2 \\ \quad 0 < x < 30\end{aligned}

השטח והתחום

\begin{aligned}S'(x) &= 60 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 15\end{aligned}

מקסימום: הנגזרת עוברת מ- $+$ ל- $-$

\begin{aligned}S(15) &= 15 \cdot 30 \\ &= 450\end{aligned}

יש שני צדדים בניצב לקיר ורק אחד מקביל לו. מי שכותב $BC = 60 - x$ סופר רק צד ניצב אחד, ומקבל תשובה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

סכום שני מספרים חיוביים הוא $20$ . מהי המכפלה המקסימלית שלהם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

\begin{aligned}x + y &= 20 \ \Rightarrow \ y \\ &= 20 - x\end{aligned}

מסלקים משתנה

\begin{aligned}P(x) &= x(20 - x) \\ \quad 0 < x < 20\end{aligned}

\begin{aligned}P'(x) &= 20 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}P(10) &= 10 \cdot 10 \\ &= 100\end{aligned}

המכפלה מקסימלית כששני המספרים שווים. מי שמסיים ב- $x = 10$ לא ענה: נשאלתם על המכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$x$ ו- $y$ מספרים חיוביים שסכומם $12$ . מצאו את הערך המקסימלי של $x \cdot y^2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 256

הפתרון:

\begin{aligned}P(x) &= x(12 - x)^2 \\ \quad 0 < x < 12\end{aligned}

$x$ — המספר הראשון

\begin{aligned}P'(x) &= (12 - x)^2 - 2x(12 - x) \\ &= (12 - x)(12 - 3x)\end{aligned}

x = 4 \quad (x = 12 \notin (0, 12))

משמאל ל- $4$ חיובית, מימין שלילית

\begin{aligned}P(4) &= 4 \cdot 8^2 \\ &= 256\end{aligned}

כאן המספרים אינם שווים במקסימום: $4$ ו- $8$ . הכלל «שווים» נכון רק למכפלה פשוטה $xy$ — לא לכל ביטוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סדרו את שלבי הפתרון של בעיית קיצון

גזירה והשוואה לאפס
הבעה: הגודל המבוקש באמצעות משתנה אחד
סיווג בטבלת סימנים ותשובה לשאלה
סימון: בוחרים משתנה וכותבים מה הוא
תחום: אילו ערכים אפשריים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: סימון: בוחרים משתנה וכותבים מה הוא · הבעה: הגודל המבוקש באמצעות משתנה אחד · תחום: אילו ערכים אפשריים · גזירה והשוואה לאפס · סיווג בטבלת סימנים ותשובה לשאלה

הפתרון:

1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5

התחום נקבע לפני הגזירה

התחום בא לפני הגזירה, כי הוא זה שמחליט אילו פתרונות של $f'(x) = 0$ נשארים. מי שקובע אותו בסוף נוטה «להתאים» אותו לתשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

גיליון 18 על 18, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

מגיליון $18 \times 18$ בונים תיבה פתוחה כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה.

V(x) = x(18 - 2x)^2

0 < x < 18

V'(x) = (18 - 2x)(18 - 6x)

\begin{aligned}x &= 3 \ \Rightarrow \ V(3) \\ &= 432\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $0 < x < 18$ → $0 < x < 9$

הפתרון:

18 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 9

צלע הבסיס חייבת להיות חיובית

x = 9 \notin (0, 9)

ולכן נשאר רק $x = 3$

התחום נקבע לפי צלע הבסיס $18 - 2x$ , לא לפי אורך הגיליון. עם התחום השגוי $0 < x < 18$ , גם $x = 9$ נראה «חוקי».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

אם $f'(x_0) = 0$ , אז בהכרח יש ל- $f$ ב- $x_0$ מקסימום או מינימום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= x^3 \\ \quad f'(0) &= 0\end{aligned}

דוגמה נגדית

f'(x) = 3x^2 \ge 0

הנגזרת לא מחליפה סימן

x < 0: f < 0, \quad x > 0: f > 0

הפונקציה עולה דרך $0$ — אין קיצון

לא נכון. $f'(x_0) = 0$ רק הופך את $x_0$ לנקודה חשודה. רק החלפת סימן של הנגזרת סביבה מוכיחה קיצון — ולכן שלב הסיווג אינו קישוט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

קודם מסתכלים: מלבן שחי בתוך משולש

חמישה שלבים, תמיד באותו סדר

התיבה הפתוחה: כשהמשוואה נותנת יותר מדי

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev