בעיות קיצון — פונקציית שורש · בעיות קיצון · כיתה י׳

שורש נכנס לבעיית קיצון כמעט תמיד דרך פיתגורס: גובה של מלבן בתוך חצי מעגל, מרחק בין שני גופים שנעים, אורך של מסלול אלכסוני. חמשת השלבים לא משתנים — רק הביטוי כבד יותר.

תמונה: המלבן בחצי המעגל

נסמן ב- $x$ את חצי הבסיס. מהו הבסיס, מהו הגובה, ומהו התחום?

להציג את התשובה והפתרון

הבסיס $2x$ , הגובה $\sqrt{25 - x^2}$ (הרדיוס מהמרכז אל הקודקוד הוא היתר), והתחום $0 < x < 5$ . השטח: $S(x) = 2x\sqrt{25 - x^2}$ .

הטריק: ממקסמים את הריבוע

לגזור את $S(x) = 2x\sqrt{25 - x^2}$ פירושו כלל מכפלה וכלל שרשרת עם שורש. אבל $S \ge 0$ , ועל מספרים אי-שליליים העלאה בריבוע שומרת על הסדר: אם $S_1 > S_2 \ge 0$ אז $S_1^2 > S_2^2$ . לכן $S$ ו- $S^2$ מקבלות מקסימום באותו $x$ .

\begin{aligned}S^2 &= 4x^2(25 - x^2) \\ &= 100x^2 - 4x^4\end{aligned}

פולינום — נגזרת בלי שורשים ובלי שברים

השטח המקסימלי בעזרת $S^2$

מחפשים את המקסימום של $S^2$ בתחום $0 < x < 5$ , ובסוף מוציאים שורש.

\begin{aligned}(S^2)' &= 200x - 16x^3 \\ &= 8x(25 - 2x^2)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

\begin{aligned}x^2 &= 12.5 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{12.5} \approx 3.54\end{aligned}

$x = 0$ אינו בתחום

\begin{aligned}S^2 &= 100 \cdot 12.5 - 4 \cdot 12.5^2 \\ &= 625\end{aligned}

משמאל הנגזרת חיובית, מימין שלילית: מקסימום

\begin{aligned}S_{max} &= \sqrt{625} \\ &= 25\end{aligned}

לא לשכוח להוציא שורש — שאלו על $S$

האם מותר להשתמש בטריק גם כשהגודל יכול להיות שלילי?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $(-5)^2 > 3^2$ אף ש- $-5 < 3$ : על מספרים שליליים הריבוע הופך את הסדר. אורך, שטח ומרחק תמיד אי-שליליים — ולכן שם הטריק בטוח.

פיזיקה: מתי שני רכבים הכי קרובים?

פעילות אינטראקטיבית

רכב $A$ נמצא $10$ ק״מ צפונית לצומת ונוסע דרומה אליו במהירות $60$ קמ״ש. באותו רגע רכב $B$ יוצא מהצומת מזרחה במהירות $80$ קמ״ש. מהו המרחק הקטן ביותר ביניהם?

A: \ 10 - 60t, \qquad B: \ 80t

לחצו «להתחיל». $t$ נמדד בשעות מרגע היציאה.

סימון

\begin{aligned}OA &= 10 - 60t \\ \quad OB &= 80t\end{aligned}

המרחקים מהצומת אחרי $t$ שעות. הכבישים מאונכים.

הבעה

d^2 = (10 - 60t)^2 + (80t)^2

פיתגורס במשולש $AOB$ .

פתיחה

d^2 = 10000t^2 - 1200t + 100

ממזערים את $d^2$ — בלי שורש.

גזירה

\begin{aligned}(d^2)' &= 20000t - 1200 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 0.06\end{aligned}

$0.06$ שעות הן $3.6$ דקות. הנגזרת עוברת מ- $-$ ל- $+$ : מינימום.

תשובה

\begin{aligned}d^2 &= 36 - 72 + 100 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ d \\ &= 8\end{aligned}

המרחק הקטן ביותר: $8$ ק״מ.

ב- $t = 0.06$ רכב $A$ עדיין לא הגיע לצומת: $OA = 6.4$ ו- $OB = 4.8$ . בדקו: $6.4^2 + 4.8^2 = 64$ ✓.

לעשות את הפעילות ב-elev

מרחק, אורך אלכסון, יתר — כולם שורש של סכום ריבועים. ממזערים את מה שמתחת לשורש, ורק בסוף מוציאים שורש מהערך.

שלוש טעויות של בעיות שורש.

d_{min} = 64

\begin{aligned}d^2_{min} &= 64 \ \Rightarrow \ d_{min} \\ &= 8\end{aligned}

$d^2$ נותן את הרגע הנכון, אבל הערך שלו הוא ריבוע המרחק. חייבים להוציא שורש.

\sqrt{25 - x^2} = 5 - x

\sqrt{25 - x^2} \ne 5 - x

שורש של הפרש אינו הפרש של שורשים. ב- $x = 3$ : $\sqrt{16} = 4$ , אבל $5 - 3 = 2$ .

S = x\sqrt{25 - x^2}

S = 2x\sqrt{25 - x^2}

כש- $x$ הוא חצי הבסיס, הבסיס הוא $2x$ .

תרגילים

תרגיל 1

מלבן בחצי מעגל שרדיוסו 5

בחצי מעגל שרדיוסו $5$ ס״מ חסום מלבן שבסיסו על הקוטר, כמו בשרטוט. נסמן ב- $x$ את חצי אורך הבסיס. מהו הביטוי לגובה המלבן?

$h = \sqrt{25 - x^2}$
$h = \sqrt{5 - x^2}$
$h = \sqrt{25 + x^2}$
$h = 5 - x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $h = \sqrt{25 - x^2}$

הפתרון:

x^2 + h^2 = 5^2

הרדיוס מהמרכז אל הקודקוד $P$ הוא יתר

h = \sqrt{25 - x^2}

הנכונה: $h = \sqrt{25 - x^2}$ . $\sqrt{5 - x^2}$ שוכח לרבע את הרדיוס, $\sqrt{25 + x^2}$ מחבר במקום לחסר (הגובה קטן מהרדיוס!), ו- $5 - x$ «מוציא שורש» מכל איבר לחוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מלבן בחצי מעגל שרדיוסו 5

בחצי מעגל שרדיוסו $5$ ס״מ חסום מלבן שבסיסו על הקוטר, כמו בשרטוט. חשבו את השטח המקסימלי של המלבן (בסמ״ר).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= 2x\sqrt{25 - x^2} \\ \quad 0 < x < 5\end{aligned}

השטח והתחום

S^2 = 100x^2 - 4x^4

ממקסמים את הריבוע

\begin{aligned}(S^2)' &= 8x(25 - 2x^2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 12.5\end{aligned}

\begin{aligned}S^2 &= 625 \ \Rightarrow \ S \\ &= 25\end{aligned}

שתי מלכודות: הבסיס הוא $2x$ ולא $x$ , ובסוף מוציאים שורש מ- $625$ . התשובה $25$ — בדיוק ריבוע הרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x) = x\sqrt{16 - x^2}$ בתחום $0 < x < 4$ . מצאו את $x$ שבו היא מקסימלית (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.83

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{16 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \\ &= \frac{16 - 2x^2}{\sqrt{16 - x^2}}\end{aligned}

כלל המכפלה, ומכנה משותף

\begin{aligned}16 - 2x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\sqrt{2} \approx 2.83\end{aligned}

המונה מתאפס; המכנה חיובי בתחום

f'(2) > 0, \quad f'(3) < 0

מקסימום

המכנה חיובי בכל התחום, ולכן הסימן של $f'$ הוא סימן המונה. $x = -2\sqrt{2}$ נפסל — הוא לא בתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מחפשים את המקסימום של $f(x) = x\sqrt{16 - x^2}$ בתחום $0 < x < 4$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}f^2 &= x^2(16 - x^2) \\ &= 16x^2 - x^4\end{aligned}

\begin{aligned}(f^2)' &= 32x - 4x^3 \\ &= 4x(8 - x^2)\end{aligned}

x = 2\sqrt{2}

\begin{aligned}f_{max} &= f^2(2\sqrt{2}) \\ &= 64\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f_{max} = f^2(2\sqrt{2}) = 64$ → $f_{max} = \sqrt{64} = 8$

הפתרון:

\begin{aligned}f^2(2\sqrt{2}) &= 8 \cdot 8 \\ &= 64\end{aligned}

זה ערך הריבוע

\begin{aligned}f_{max} &= \sqrt{64} \\ &= 8\end{aligned}

הטריק נותן את המקום של המקסימום. הערך $64$ הוא של $f^2$ , ולכן המקסימום של $f$ הוא $8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מצאו את הערך הקטן ביותר של $f(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 13}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x^2 - 6x + 13 = (x - 3)^2 + 4 \ge 4

הביטוי שמתחת לשורש

\begin{aligned}g(x) &= x^2 - 6x + 13 \\ \quad g'(x) &= 2x - 6 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

המינימום של הביטוי הפנימי

\begin{aligned}f(3) &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

השורש הוא פונקציה עולה, ולכן המינימום שלו באותו $x$ כמו של הביטוי הפנימי. מי שעונה $4$ שכח להוציא שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אם $g(x) \ge 0$ בכל התחום, אז $\sqrt{g(x)}$ מקבלת מקסימום באותו $x$ שבו $g$ מקבלת מקסימום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{g(x)} \\ \quad f'(x) &= \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\end{aligned}

כלל השרשרת

f'(x) > 0 \iff g'(x) > 0

המכנה חיובי כש- $g > 0$

g_1 > g_2 \ge 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{g_1} > \sqrt{g_2}

או בלי גזירה: השורש שומר סדר

נכון — בתנאי ש- $g$ אי-שלילית. זה מה שמצדיק למזער $d^2$ במקום $d$ : חוסכים שורש בכל הנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

A נוסעת דרומה אל הצומת O, ו-B יוצאת מ-O מזרחה. הקטע המקווקו הוא המרחק ביניהן.

רכב $A$ נמצא $10$ ק״מ צפונית לצומת $O$ ונוסע דרומה אליו במהירות $60$ קמ״ש. באותו רגע רכב $B$ יוצא מהצומת מזרחה במהירות $80$ קמ״ש, כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין הרכבים (בק״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}d^2 &= (10 - 60t)^2 + (80t)^2 \\ &= 10000t^2 - 1200t + 100\end{aligned}

פיתגורס

\begin{aligned}(d^2)' &= 20000t - 1200 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 0.06\end{aligned}

מינימום: מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}d^2 &= 64 \ \Rightarrow \ d \\ &= 8\end{aligned}

מזערו את $d^2$ , אבל ענו על $d$ : $\sqrt{64} = 8$ . והמרחק ההתחלתי ( $10$ ) אינו המינימום — הרכבים מתקרבים לפני שהם מתרחקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

A נוסעת דרומה אל הצומת O, ו-B יוצאת מ-O מזרחה. הקטע המקווקו הוא המרחק ביניהן.

באותה שאלה (רכב $A$ ב- $10$ ק״מ צפונית לצומת, $60$ קמ״ש דרומה; רכב $B$ יוצא מהצומת מזרחה ב- $80$ קמ״ש): אחרי כמה דקות המרחק ביניהם הקטן ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.6

הפתרון:

\begin{aligned}(d^2)' &= 20000t - 1200 \\ &= 0\end{aligned}

t = 0.06

בשעות, כי המהירות בקמ״ש

0.06 \cdot 60 = 3.6

בדקות

הזמן יוצא בשעות, כי המהירויות בקמ״ש. מי שעונה $0.06$ לא המיר לדקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

PQ = 3, QB = 8, QC = x. חותרים מ-P אל C, והולכים מ-C אל B.

סירה נמצאת בנקודה $P$ בים, $3$ ק״מ מהחוף הישר. $Q$ היא הנקודה על החוף הקרובה ל- $P$ , ועיירה $B$ נמצאת על החוף $8$ ק״מ מ- $Q$ , כמו בשרטוט. חותרים ב- $3$ קמ״ש אל נקודה $C$ על החוף, והולכים ב- $5$ קמ״ש מ- $C$ אל $B$ . מצאו את $QC$ (בק״מ) שנותן את זמן ההגעה הקצר ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.25

הפתרון:

\begin{aligned}T(x) &= \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3} + \frac{8 - x}{5} \\ \quad 0 \le x \le 8\end{aligned}

זמן = דרך חלקי מהירות; $x = QC$

\begin{aligned}T'(x) &= \frac{x}{3\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5} \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}5x &= 3\sqrt{x^2 + 9} \ \Rightarrow \ 16x^2 \\ &= 81 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2.25\end{aligned}

מעלים בריבוע; $x \ge 0$

\begin{aligned}T(0) &= 2.6 \\ \quad T(2.25) &= 2.4 \\ \quad T(8) \approx 2.85\end{aligned}

קטע סגור: משווים גם לקצוות

אחרי העלאה בריבוע חייבים לבדוק את הפתרון: $x = -2.25$ נפסל. והקטע סגור — חתירה ישר אל $B$ ( $x = 8$ ) היא אפשרות, ולכן משווים גם אליה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

PQ = 3, QB = 8, QC = x. חותרים מ-P אל C, והולכים מ-C אל B.

באותו מצב (סירה $3$ ק״מ מהחוף, עיירה $8$ ק״מ לאורך החוף, חתירה ב- $3$ קמ״ש והליכה ב- $5$ קמ״ש): מהו זמן ההגעה הקצר ביותר (בשעות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.4

הפתרון:

x = 2.25

הנקודה מהשאלה הקודמת

\begin{aligned}\sqrt{2.25^2 + 9} &= \sqrt{14.0625} \\ &= 3.75\end{aligned}

אורך החתירה

\begin{aligned}T &= \frac{3.75}{3} + \frac{5.75}{5} \\ &= 1.25 + 1.15 \\ &= 2.4\end{aligned}

את הזמן מחשבים ב- $T$ , לא ב- $T'$ . ובדיקה מול הקצוות: $2.6$ ו- $2.85$ — שניהם גדולים מ- $2.4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תמונה: המלבן בחצי המעגל

הטריק: ממקסמים את הריבוע

פיזיקה: מתי שני רכבים הכי קרובים?

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev