בעיות קיצון — פונקציה רציונלית · בעיות קיצון · כיתה י׳

בבעיות האלה יש שני משתנים — צלע וגובה, אורך ורוחב — ונתון קבוע שקושר ביניהם: נפח, שטח. הנתון הקבוע הוא המפתח: ממנו מבטאים משתנה אחד באמצעות השני, ומשם נולד השבר $\frac{k}{x}$ .

קודם נזכרים: ענף, אסימפטוטה, והתנהגות בקצוות

בתיבה שנפחה $32$ סמ״ק ובסיסה ריבוע שצלעו $x$ : מה קורה לגובה כש- $x$ קטן מאוד, ומה קורה לשטח הדפנות?

להציג את התשובה והפתרון

הגובה $h = \frac{32}{x^2}$ מתפוצץ: תיבה צרה וגבוהה מאוד, עם דפנות עצומות. וכש- $x$ גדול מאוד — בסיס עצום. בשני הקצוות צריך הרבה פח, ולכן יש מינימום באמצע.

האילוץ מסלק משתנה

\begin{aligned}x^2 h &= 32 \ \Longrightarrow \ h \\ &= \frac{32}{x^2}\end{aligned}

משתנה אחד במקום שניים — זה כל התפקיד של הנתון הקבוע

תיבה פתוחה בנפח 32, בשטח פח מינימלי

תיבה פתוחה מלמעלה, בסיס ריבועי שצלעו $x$ , גובה $h$ , נפח $32$ סמ״ק. כמה פח דרוש לכל הפחות?

h = \frac{32}{x^2}

האילוץ

S = x^2 + 4xh

בסיס אחד וארבע דפנות — אין מכסה

\begin{aligned}S(x) &= x^2 + \frac{128}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

מציבים — ונשאר משתנה אחד. התחום פתוח

\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{128}{x^2} \\ &= \frac{2(x^3 - 64)}{x^2}\end{aligned}

מכנה משותף

\begin{aligned}x^3 &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \quad S(4) &= 16 + 32 \\ &= 48\end{aligned}

שטח פח מינימלי: $48$ סמ״ר

מדוע בתיבה פתוחה השטח הוא $x^2 + 4xh$ ולא $2x^2 + 4xh$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי אין מכסה: בסיס אחד בלבד. בתיבה סגורה היו שני בסיסים — $2x^2$ . סמנו בשרטוט מה פתוח ומה סגור לפני שכותבים את השטח.

פותרים יחד: הכרזה עם שוליים

פעילות אינטראקטיבית

כרזה בשטח הדפסה קבוע

על כרזה מלבנית מדפיסים אזור מלבני בשטח $96$ סמ״ר. משמאל ומימין לאזור נשארים שוליים של $2$ ס״מ, ולמעלה ולמטה $3$ ס״מ. מהו השטח הקטן ביותר של הכרזה כולה?

נסמן ב- $x$ את רוחב אזור ההדפסה. מהו גובהו?

$96 - x$

להציג את התשובה והפתרון

זה היה נכון אילו ההיקף היה נתון. נתון השטח — ולכן מחלקים.

$\frac{96}{x}$

להציג את התשובה והפתרון

כן. רוחב כפול גובה שווה $96$ .

$\frac{x}{96}$

להציג את התשובה והפתרון

הפוך: $x \cdot \frac{x}{96}$ אינו $96$ .

y = \frac{96}{x}

האילוץ.

מהם ממדי הכרזה כולה?

$(x + 2)$ על $(y + 3)$

להציג את התשובה והפתרון

יש שוליים משני הצדדים: $2 + 2$ ברוחב ו- $3 + 3$ בגובה.

$(x + 4)$ על $(y + 6)$

להציג את התשובה והפתרון

כן. שוליים משני הצדדים.

\begin{aligned}A(x) &= (x + 4)\left(\frac{96}{x} + 6\right) \\ &= 120 + 6x + \frac{384}{x}\end{aligned}

פותחים סוגריים. התחום: $x > 0$ .

איפה $A'(x) = 0$ ?

$6 + \frac{384}{x^2} = 0$

להציג את התשובה והפתרון

הנגזרת של $\frac{384}{x}$ היא $-\frac{384}{x^2}$ — עם מינוס.

$6 - \frac{384}{x^2} = 0$

להציג את התשובה והפתרון

כן. ומכאן $x^2 = 64$ .

\begin{aligned}x^2 &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8 \\ \quad y &= 12\end{aligned}

משמאל ל- $8$ הנגזרת שלילית, מימין חיובית: מינימום.

להציג את התשובה והפתרון

הכרזה $12$ על $18$ , ושטחה $216$ סמ״ר. בדיקה: $A(8) = 120 + 48 + 48 = 216$ ✓.

לעשות את הפעילות ב-elev

הפתרון של $x^2 = 64$ הוא גם $x = -8$ . למה לא כותבים אותו?

להציג את התשובה והפתרון

בגלל התחום: $x$ הוא רוחב, ולכן $x > 0$ . הפתרון השלילי נפסל בגלל משמעות הבעיה, לא בגלל החשבון.

שבר כמו $\frac{128}{x}$ נגזר הכי בקלות אחרי שכותבים אותו $128x^{-1}$ : הנגזרת $-128x^{-2}$ . בלי כלל המנה, ובלי לאבד את המינוס. ובמינימום של $ax + \frac{b}{x}$ שני המחוברים שווים — בדיקה מהירה לתשובה.

שלוש טעויות של בעיות עם אילוץ.

S = 2x^2 + 4xh

S = x^2 + 4xh

תיבה פתוחה: בסיס אחד. קראו את השאלה פעמיים.

\left(\frac{128}{x}\right)' = \frac{128}{x^2}

\left(\frac{128}{x}\right)' = -\frac{128}{x^2}

בלי המינוס המשוואה $2x + \frac{128}{x^2} = 0$ אין לה פתרון חיובי — וזה סימן שטעיתם.

\begin{aligned}x^2 &= 64 \Rightarrow x \\ &= \pm 8\end{aligned}

x > 0 \Rightarrow x = 8

אורך חיובי. התחום פוסל את $-8$ .

תרגילים

תרגיל 1

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו $x$ , כמו בשרטוט. נפח התיבה $32$ סמ״ק. מהו הביטוי לגובה התיבה?

$h = 32 - x^2$
$h = \frac{x^2}{32}$
$h = \frac{32}{x}$
$h = \frac{32}{x^2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $h = \frac{32}{x^2}$

הפתרון:

x^2 \cdot h = 32

נפח = שטח בסיס כפול גובה

h = \frac{32}{x^2}

הנכונה: $h = \frac{32}{x^2}$ . $\frac{32}{x}$ שוכח שהבסיס הוא $x^2$ , ו- $32 - x^2$ מחסר במקום לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו $x$ , כמו בשרטוט. נפח התיבה $32$ סמ״ק. מהו הביטוי לשטח הפח הדרוש?

$S(x) = x^2 + \frac{32}{x}$
$S(x) = x^2 + \frac{128}{x^2}$
$S(x) = x^2 + \frac{128}{x}$
$S(x) = 2x^2 + \frac{128}{x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $S(x) = x^2 + \frac{128}{x}$

הפתרון:

S = x^2 + 4xh

בסיס אחד וארבע דפנות

\begin{aligned}S &= x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} \\ &= x^2 + \frac{128}{x}\end{aligned}

הנכונה: $S(x) = x^2 + \frac{128}{x}$ . $2x^2$ מוסיף מכסה שאין, $\frac{32}{x}$ סופר דופן אחת במקום ארבע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו $x$ , כמו בשרטוט. נפח התיבה $32$ סמ״ק. מצאו את $x$ שעבורו שטח הפח מינימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= x^2 + \frac{128}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{128}{x^2} \\ &= 0\end{aligned}

$\frac{128}{x} = 128x^{-1}$

\begin{aligned}2x^3 &= 128 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מכפילים ב- $x^2 > 0$

S'(2) < 0, \quad S'(5) > 0

מינימום

מי ששוכח את המינוס בנגזרת של $\frac{128}{x}$ מקבל $2x^3 = -128$ — ואין פתרון חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו $x$ , כמו בשרטוט. נפח התיבה $32$ סמ״ק. חשבו את שטח הפח המינימלי (בסמ״ר).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

x = 4

נקודת המינימום

\begin{aligned}S(4) &= 16 + \frac{128}{4} \\ &= 16 + 32 \\ &= 48\end{aligned}

מציבים ב- $S$

\begin{aligned}h &= \frac{32}{16} \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: הגובה חצי מהצלע

נשאל השטח, לא $x$ . ובסיס $4 \times 4$ עם גובה $2$ נותן באמת נפח $32$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x) = x + \frac{9}{x}$ בתחום $x > 0$ . מצאו את $x$ שבו $f$ מינימלית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{9}{x^2} \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

רק החיובי בתחום

f'(1) < 0, \quad f'(4) > 0

מינימום

$x = -3$ נפסל בגלל התחום. ובמינימום שני המחוברים שווים: $3 = \frac{9}{3}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו הערך הקטן ביותר של $f(x) = x + \frac{16}{x}$ בתחום $x > 0$ ?

$17$
$-8$
$8$
$4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $8$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{16}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}f(4) &= 4 + 4 \\ &= 8\end{aligned}

הנכונה: $8$ . $4$ הוא המקום ( $x$ ), לא הערך. $17$ הוא $f(1)$ — סתם נקודה. $-8$ מתקבל ב- $x = -4$ , מחוץ לתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הקטע המודגש AD הוא הקיר. שטח החלקה 200 מ״ר.

חלקה מלבנית בשטח $200$ מ״ר צמודה לקיר, כמו בשרטוט. גודרים את שלושת הצדדים שאינם על הקיר. מהו אורך הגדר הקצר ביותר (במ׳)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= CD \\ &= x \\ \quad BC &= \frac{200}{x}\end{aligned}

האילוץ: השטח

\begin{aligned}L(x) &= 2x + \frac{200}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

אורך הגדר

\begin{aligned}L'(x) &= 2 - \frac{200}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

מינימום: מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}L(10) &= 20 + 20 \\ &= 40\end{aligned}

הגדר אינה היקף מלא: הקיר חוסך צד אחד. מי שכותב $2x + \frac{400}{x}$ גודר גם את הקיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

EFGH — אזור ההדפסה. שוליים של 2 ס״מ מימין ומשמאל, ו-3 ס״מ למעלה ולמטה.

על כרזה מלבנית מדפיסים אזור מלבני בשטח $96$ סמ״ר. משמאל ומימין נשארים שוליים של $2$ ס״מ, ולמעלה ולמטה $3$ ס״מ, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של הכרזה (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 216

הפתרון:

\begin{aligned}EF &= x \\ \quad FG &= \frac{96}{x}\end{aligned}

אזור ההדפסה

\begin{aligned}A(x) &= (x + 4)\left(\frac{96}{x} + 6\right) \\ &= 120 + 6x + \frac{384}{x}\end{aligned}

הכרזה כולה

\begin{aligned}A'(x) &= 6 - \frac{384}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

\begin{aligned}A(8) &= 12 \cdot 18 \\ &= 216\end{aligned}

השוליים נמצאים משני צדי האזור: $x + 4$ ולא $x + 2$ . ובתשובה — שטח הכרזה, לא שטח ההדפסה ( $96$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל פונקציה (בתחום $x > 0$ ) את הנקודה שבה היא מינימלית

$x + \frac{4}{x}$
$x + \frac{25}{x}$
$4x + \frac{1}{x}$
$x^2 + \frac{54}{x}$

$x = \frac{1}{2}$
$x = 2$
$x = 3$
$x = 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x + \frac{4}{x}$ — $x = 2$ · $x + \frac{25}{x}$ — $x = 5$ · $4x + \frac{1}{x}$ — $x = \frac{1}{2}$ · $x^2 + \frac{54}{x}$ — $x = 3$

הפתרון:

\begin{aligned}\left(x + \frac{k}{x}\right)' &= 1 - \frac{k}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{k}\end{aligned}

\begin{aligned}4 - \frac{1}{x^2} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}2x - \frac{54}{x^2} &= 0 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 27 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

הכלל $x = \sqrt{k}$ נכון רק ל- $x + \frac{k}{x}$ . כשיש מקדם ( $4x$ ) או חזקה ( $x^2$ ) — גוזרים מחדש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בבעיית קיצון עם פונקציה רציונלית אין צורך לקבוע תחום, כי מספיק לדעת איפה המכנה מתאפס.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

S(x) = x^2 + \frac{128}{x}

המכנה מתאפס רק ב- $x = 0$

x > 0

אבל $x$ הוא אורך צלע

\begin{aligned}x &= -4 \ \Rightarrow \ S(-4) \\ &= -16\end{aligned}

ערך «שטח» שלילי — חסר משמעות

לא נכון. בפונקציה רציונלית יש שני מקורות לתחום: איסור ההצבה, וגם משמעות הגודל בבעיה. אורך חייב להיות חיובי גם כשהמכנה מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

קודם נזכרים: ענף, אסימפטוטה, והתנהגות בקצוות

האילוץ מסלק משתנה

פותרים יחד: הכרזה עם שוליים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev