חוצה זווית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

פגשנו את חוצה הזווית בקצרה. עכשיו ניתן לו יחידה משלו — כי ממנו נובעות שתי טענות יפות, ושתיהן מוכחות בשורה אחת של חשבון.

ההגדרה

חוצה זווית הוא קרן שיוצאת מהקודקוד ומחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות

שתי מילים חשובות: קרן — היא יוצאת מהקודקוד, לא חותכת אותו מהצד; ושוות — לא «בערך באמצע», אלא שווה בדיוק.

80:2=4080 : 2 = 40

מהזווית אל החלק — מחלקים ב-2.

40⋅2=8040 \cdot 2 = 80

ומהחלק אל הזווית — כופלים ב-2.

הכיוון השני הוא זה שמפספסים: כששואלים «חוצה זווית יוצר זווית של 24°24° — מהי הזווית כולה?», התשובה היא 48°48°, ולא 12°12°.

ואפשר לייצר חוצה זווית בלי שום כלי: מקפלים את הדף כך ששוק אחת תיפול בדיוק על השנייה. קו הקיפול הוא החוצה — והוא מדויק, כי הקיפול מבטיח חפיפה.

טענה 1: חוצי זוויות צמודות מאונכים זה לזה

ניקח שתי זוויות צמודות — שתיים שיושבות יחד על ישר, ולכן סכומן 180°180°. נעביר חוצה זווית לכל אחת. מסתבר ששני החוצים תמיד מאונכים, בלי קשר לזוויות עצמן.

נסו עם זוג אחר: 160°160° ו-20°20°. מה יצא בין החוצים?

להציג את התשובה והפתרון

90°90° שוב: 80+10=9080 + 10 = 90. וזה לא צירוף מקרים — זה מה שהחשבון למעלה הוכיח לכל זוג אפשרי.

טענה 2: חוצה אחת מהזוויות הקודקודיות חוצה גם את השנייה

שני ישרים נחתכים ויוצרים שני זוגות של זוויות קודקודיות. נעביר חוצה זווית לאחת מהן, ונאריך אותו מעבר לקודקוד. הטענה: ההמשך הזה חוצה בדיוק גם את הזווית שמולה.

וחוצה של זווית שטוחה

מקרה אחרון, והוא בעצם הגדרה נוספת לניצבות: זווית שטוחה היא 180°180°, ולכן חוצה שלה יוצר שתי זוויות של 90°90° — כלומר הוא מאונך לשתי הקרניים.

180:2=90°180 : 2 = 90°

חוצה זווית יוצר זווית של 24°24°. מהי הזווית כולה?

להציג את התשובה והפתרון

48°48°. כופלים ב-2, לא מחלקים. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק — המילה «חוצה» מושכת לחלק, גם כשהנתון הוא כבר החצי.

שלוש הטעויות של חוצה הזווית.

24:2=1224 : 2 = 12
24⋅2=4824 \cdot 2 = 48

כשנתון החלק ומבקשים את הזווית — כופלים. לקרוא תמיד מה בדיוק נתון.

חוצה≈באמצע\text{חוצה} \approx \text{באמצע}
חוצה=שווה בדיוק\text{חוצה} = \text{שווה בדיוק}

«בערך באמצע» אינו חוצה. שתי הזוויות חייבות להיות שוות בדיוק.

חוצה חוצה גם את הצלע\text{חוצה חוצה גם את הצלע}
חוצה חוצה את הזווית\text{חוצה חוצה את הזווית}

חוצה זווית מחלק זווית, לא קטע. קטע שחוצה צלע הוא דבר אחר לגמרי, ויילמד בכיתה ח.

עכשיו נתרגל — ובעיקר נשים לב מה נתון ומה מבקשים.

תרגילים

תרגיל 1

??80°

חוצה זווית מחלק זווית של 80°80°. כמה מעלות בכל חלק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

80:2=4080 : 2 = 40

שני חלקים שווים

נתונה הזווית, מבקשים את החלק — ולכן מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

24°?

חוצה זווית יוצר זווית של 24°24°. כמה מעלות בזווית כולה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

24⋅2=4824 \cdot 2 = 48

הזווית היא פעמיים החלק

הכיוון ההפוך של השאלה הקודמת — וזו בדיוק המלכודת של הפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

השלימו

חוצה של זווית בת 120°120° יוצר שתי זוויות של ____ מעלות. ואם חוצה זווית יוצר זווית של 35°35°, הזווית כולה היא ____ מעלות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חוצה של זווית בת 120°120° יוצר שתי זוויות של 60 מעלות. ואם חוצה זווית יוצר זווית של 35°35°, הזווית כולה היא 70 מעלות

הפתרון:

120:2=60120 : 2 = 60

מהזווית אל החלק — מחלקים

35⋅2=7035 \cdot 2 = 70

מהחלק אל הזווית — כופלים

שני הכיוונים באותה שאלה. בחלק השני המלכודת היא לחלק שוב ולקבל 17.517.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

?50°130°

שתי זוויות צמודות, 130°130° ו-50°50°. כמה מעלות בזווית שבין שני חוצי הזוויות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

130:2=65130 : 2 = 65

מחצית הראשונה

50:2=2550 : 2 = 25

מחצית השנייה

65+25=9065 + 25 = 90

יחד

והתשובה 90°90° אינה תלויה בזוויות עצמן — כל זוג צמודות ייתן אותו דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שתי זוויות צמודות, 160°160° ו-20°20°. כמה מעלות בין החוצים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

80+10=9080 + 10 = 90

שתי המחציות

שוב 90 — כי α+β2=1802\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180}{2}, תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

?80°100°

שתי זוויות צמודות הן 100°100° ו-80°80°. מה גודל הזווית שבין שני חוצי הזוויות?

  1. 50°50°
  2. 90°90°
  3. 180°180°
  4. 40°40°
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 90°90°

הפתרון:

100:2=50100 : 2 = 50

מחצית הראשונה

80:2=4080 : 2 = 40

מחצית השנייה

50+40=9050 + 40 = 90

יחד

50°50° ו-40°40° הם רק החצאים. הזווית שבין החוצים בנויה משניהם יחד, ולכן היא תמיד 90°90°.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חוצי שתי זוויות צמודות מאונכים זה לזה, לכל זוג זוויות צמודות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

α2+β2=α+β2\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}

מוציאים חצי

=1802=90= \frac{180}{2} = 90

והתוצאה קבועה

ה-α\alpha נעלם מהחישוב — ולכן זו טענה כללית, לא מקרה פרטי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

??

כמה מעלות יוצר חוצה של זווית שטוחה עם כל אחת מקרניה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

180:2=90180 : 2 = 90

מחצית הזווית השטוחה

ולכן חוצה של זווית שטוחה הוא בדיוק אנך לקרניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ישר שחוצה אחת משתי זוויות קודקודיות חוצה גם את השנייה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

α2\frac{\alpha}{2}

כל מחצית

α2 קודקודית לה\frac{\alpha}{2} \ \text{קודקודית לה}

ומקבלת קודקודית שווה מעבר לקודקוד

שתי המחציות של הזווית שמולה יוצאות שוות — וזו בדיוק ההגדרה של חוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

?150°

זווית של 150°150°. חוצה הזווית שלה יוצר עם הקרן שמעליה זווית. כמה מעלות בה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

150:2=75150 : 2 = 75

מחצית

החוצה יוצר את אותה זווית עם שתי הקרניים — זה מה ש«שווה» אומר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

64°?

זווית צמודה לזווית של 64°64°. חוצה הזווית של הצמודה יוצר עם הישר זווית. כמה מעלות בה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 58

הפתרון:

180−64=116180 - 64 = 116

קודם הזווית הצמודה

116:2=58116 : 2 = 58

ואז מחציתה

שני שלבים, ובסדר הזה. מי שחצה קודם את ה-64 ענה על שאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מהו חוצה זווית?

  1. ישר שחוצה את הצלע שמול הזווית
  2. קרן מהקודקוד שמחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות
  3. קטע שמחבר שני קודקודים
  4. קו שעובר בערך באמצע הזווית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב קרן מהקודקוד שמחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות

הפתרון:

α:2 , α:2\alpha : 2 \ , \ \alpha : 2

שני חלקים שווים בדיוק

שלוש מילים קובעות: קרן, מהקודקוד, ושוות בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

חוצה זווית חילק זווית לשני חלקים. אחד מהם 37°37°. מהו השני?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 37

הפתרון:

3737

שני החלקים שווים

אין כאן חישוב — יש הגדרה. אם שני החלקים לא שווים, זה לא חוצה זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

חוצה זווית יוצר זווית של 30°30°. שורה אחת שגויה

הזווית כולה=60°\text{הזווית כולה} = 60°
החלק השני=30°\text{החלק השני} = 30°
הזווית כולה=15°\text{הזווית כולה} = 15°
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הזווית כולה=15°\text{הזווית כולה} = 15° → הזווית כולה=60°\text{הזווית כולה} = 60°

הפתרון:

30⋅2=6030 \cdot 2 = 60

נתון החלק — ולכן כופלים

30:2=1530 : 2 = 15

והחציה הנוספת היא השורה השגויה

נתון החלק, ולכן כופלים. מי שחילק שוב קיבל רבע מהזווית האמיתית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

130°?ACOBD

הנקודות AA, OO ו-CC על ישר אחד. הקרן OBOB יוצאת מ-OO כך ש-∠AOB=130°\angle AOB = 130°, והקרן ODOD חוצה את ∠BOC\angle BOC. מה גודל ∠AOD\angle AOD, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 155

הפתרון:

∠BOC=180−130=50\begin{aligned}\angle BOC &= 180 - 130 \\ &= 50\end{aligned}

צמודה ל-∠AOB\angle AOB

∠BOD=50:2=25\begin{aligned}\angle BOD &= 50 : 2 \\ &= 25\end{aligned}

ODOD חוצה אותה

∠AOD=130+25=155\begin{aligned}\angle AOD &= 130 + 25 \\ &= 155\end{aligned}

חיבור זוויות מאותו קודקוד

שלושה כללים בשרשרת: צמודות, חוצה, חיבור. הטעות הנפוצה היא לחצות את 130°130° במקום את ∠BOC\angle BOC — לקרוא בדיוק איזו זווית נחצית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

2x+103x-15OABC

הקרן OBOB חוצה את ∠AOC\angle AOC. נתון ∠AOB=2x+10\angle AOB = 2x + 10 ו-∠BOC=3x−15\angle BOC = 3x - 15 (במעלות). מה גודל ∠AOC\angle AOC, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

2x+10=3x−152x + 10 = 3x - 15

חוצה — שני החלקים שווים

x=25x = 25
2⋅25+10=602 \cdot 25 + 10 = 60

כל חלק

∠AOC=2⋅60=120\begin{aligned}\angle AOC &= 2 \cdot 60 \\ &= 120\end{aligned}

הזווית כולה

שלוש עצירות אפשריות, ורק האחרונה היא התשובה: x=25x = 25, חלק אחד 60°60°, והזווית כולה 120°120°.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

70°?ACBDEO

הישרים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה OO, ו-∠AOB=70°\angle AOB = 70°. הקרן OEOE חוצה את ∠AOB\angle AOB. מה גודל ∠EOC\angle EOC, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 145

הפתרון:

∠EOB=70:2=35\begin{aligned}\angle EOB &= 70 : 2 \\ &= 35\end{aligned}

OEOE חוצה את ∠AOB\angle AOB

∠BOC=180−70=110\begin{aligned}\angle BOC &= 180 - 70 \\ &= 110\end{aligned}

צמודה ל-∠AOB\angle AOB

∠EOC=35+110=145\begin{aligned}\angle EOC &= 35 + 110 \\ &= 145\end{aligned}

אפשר גם בצעד אחד: ∠AOC\angle AOC שטוחה, ולכן ∠EOC=180−35=145\angle EOC = 180 - 35 = 145. מי שמקבל 110110 שכח את החצי של 70°70° שבין OEOE ל-OBOB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

מה נכון לכל חוצה זווית, ומה לא?

  • נכון תמיד
  • לא נכון
  • הוא יוצא מקודקוד הזווית
  • חוצה של זווית שטוחה מאונך לישר
  • חוצי שתי זוויות צמודות יוצרים זווית של 180°180°
  • כל חלק גדול פי 2 מהזווית כולה
  • שתי הזוויות שהוא יוצר שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הוא יוצא מקודקוד הזווית — נכון תמיד · שתי הזוויות שהוא יוצר שוות — נכון תמיד · חוצה של זווית שטוחה מאונך לישר — נכון תמיד · כל חלק גדול פי 2 מהזווית כולה — לא נכון · חוצי שתי זוויות צמודות יוצרים זווית של 180°180° — לא נכון

הפתרון:

α:2\alpha : 2

כל חלק הוא חצי מהזווית, לא פי 2

1802=90\frac{180}{2} = 90

וחוצי צמודות יוצרים 90°90°, לא 180°180°

שתי הטעויות הן הכיוון ההפוך של «חוצה»: לכפול במקום לחלק, ולשכוח לחלק את ה-180180.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת