היקף מעגל ושטח עיגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מעגל אינו מצולע: אי אפשר לחתוך אותו למשולשים ולקבל נוסחת שטח. לכן הוא דורש מספר משלו — π\pi.

מאיפה בא פאי

π\pi הוא היחס בין ההיקף לקוטר. הוא זהה בכל מעגל בעולם, קטן או ענק. מסמנים PP להיקף ו-dd לקוטר:

π=Pd≈3.14\pi = \frac{P}{d} \approx 3.14

שתי הנוסחאות

P=2πrP = 2\pi r

היקף — הקו מסביב. נמדד ביחידות אורך.

S=πr2S = \pi r^2

שטח — הפנים המלאים. נמדד ביחידות רבועות.

איך לא להתבלבל: בשטח יש ריבוע — ולכן היחידות בריבוע. בהיקף אין ריבוע ואין יחידות רבועות. שתי החזקות הולכות יחד, תמיד.

רדיוס וקוטר

הרדיוס הולך מהמרכז אל הקצה. הקוטר עובר דרך המרכז, מקצה לקצה, והוא פי שניים מהרדיוס.

d=2rd = 2r

רוב הטעויות בפרק הן בלבול בין רדיוס לקוטר. לפני כל חישוב שאלו: מה נתון — רדיוס או קוטר?

שתי הטעויות של המעגל.

S=π⋅(2⋅5)2S = \pi \cdot (2 \cdot 5)^2
S=π⋅52S = \pi \cdot 5^2

בנוסחת השטח מציבים רדיוס, לא קוטר. אם נתון קוטר — קודם מחלקים ב-2.

S=(3.14⋅5)2S = (3.14 \cdot 5)^2
S=3.14⋅52S = 3.14 \cdot 5^2

החזקה חלה רק על הרדיוס, לא על כל המכפלה. סדר פעולות: קודם חזקה, אחר כך כפל.

חצי עיגול, רבע עיגול, טבעת

בחלק של עיגול, השטח הוא אותו חלק מהשטח המלא. חצי עיגול — חצי מ-πr2\pi r^2.

ההיקף הוא לא רק חלק מהקשת. מוסיפים לו את הקטעים הישרים שסוגרים את הצורה.

לצורה שאין לה נוסחה — משלימים ומחסרים, בדיוק כמו במצולעים.

מה היקף רבע עיגול שרדיוסו 4? (השאירו את π\pi בתשובה)

להציג את התשובה והפתרון

2π+82\pi + 8: הקשת היא רבע מההיקף המלא 8π8\pi, כלומר 2π2\pi, ועוד שני רדיוסים — 4 ו-4 — שסוגרים את הצורה.

מהו שטח מעגל שרדיוסו 4? (עם פאי)

להציג את התשובה והפתרון

16π16\pi — הרדיוס בריבוע כפול פאי. לא הקוטר!

היקף מעגל הוא 10π10\pi. מהו הרדיוס?

להציג את התשובה והפתרון

5. ההיקף 2πr2\pi r — מחלקים ב-2π2\pi.

תרגילים

תרגיל 1

מהו היקף מעגל שרדיוסו 5? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 31.4

הפתרון:

P=2⋅3.14⋅5P = 2 \cdot 3.14 \cdot 5

מציבים

=31.4= 31.4

מחשבים

ביחידות אורך — אין ריבוע בנוסחה, אין ריבוע ביחידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו שטח עיגול שרדיוסו 5? (עם π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 78.5

הפתרון:

S=3.14⋅52S = 3.14 \cdot 5^2

קודם החזקה

=3.14⋅25=78.5= 3.14 \cdot 25 = 78.5

ואז הכפל

ביחידות רבועות — יש ריבוע בנוסחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

קוטר מעגל הוא 12. מהו הרדיוס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

r=122=6\begin{aligned}r &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

הקוטר הוא פי שניים מהרדיוס

בכל נוסחת מעגל מציבים רדיוס — ולכן ההמרה הזאת קודמת לכול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

10

מהו שטח עיגול שקוטרו 10? (עם π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 78.5

הפתרון:

r=10:2=5\begin{aligned}r &= 10 : 2 \\ &= 5\end{aligned}

קודם מהקוטר לרדיוס

S=3.14⋅25=78.5\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 25 \\ &= 78.5\end{aligned}

ואז הנוסחה

הצבת הקוטר במקום הרדיוס מכפילה את התשובה פי ארבע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

30

הקוטר של פיצה הוא 30 ס״מ. מה שטחה, בסמ״ר? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 706.5

הפתרון:

r=30:2=15\begin{aligned}r &= 30 : 2 \\ &= 15\end{aligned}

קודם הרדיוס: חצי מהקוטר

S=3.14⋅152=3.14⋅225=706.5\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 15^2 \\ &= 3.14 \cdot 225 \\ &= 706.5\end{aligned}

קודם החזקה, אחר כך הכפל

עם הקוטר במקום הרדיוס יוצא 3.14⋅900=28263.14 \cdot 900 = 2826 — פי ארבעה יותר מדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

8

הקטע המודגש עובר דרך המרכז, ואורכו 8 ס״מ. מה היקף המעגל?

  1. 16π16\pi ס״מ
  2. 64π64\pi ס״מ
  3. 8π8\pi ס״מ
  4. 16π16\pi סמ״ר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 8π8\pi ס״מ

הפתרון:

r=8:2=4\begin{aligned}r &= 8 : 2 \\ &= 4\end{aligned}

הקטע הוא קוטר

P=2π⋅4=8π\begin{aligned}P &= 2\pi \cdot 4 \\ &= 8\pi\end{aligned}

נוסחת ההיקף

16π16\pi יוצא כשמציבים את הקוטר במקום הרדיוס. וסמ״ר הן יחידות של שטח, לא של היקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו π\pi?

  1. היחס בין הרדיוס לקוטר
  2. היחס בין השטח לרדיוס
  3. מספר שרירותי
  4. היחס בין ההיקף לקוטר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד היחס בין ההיקף לקוטר

הפתרון:

π=Pd\pi = \frac{P}{d}

ההגדרה

והוא זהה בכל מעגל בעולם — קטן או ענק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מעגל שרדיוסו 6. מהו שטחו? (כתבו בלי פאי)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

r2=36r^2 = 36

השטח 36π36\pi

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מעגל שקוטרו 10. מהו היקפו? (בלי פאי)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

P=dπ=10π\begin{aligned}P &= d\pi \\ &= 10\pi\end{aligned}

ההיקף הוא הקוטר כפול פאי — או פעמיים הרדיוס כפול פאי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

?

שטח מעגל 49π49\pi. מהו הרדיוס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

r2=49  r=7\begin{aligned}r^2 &= 49 \ \\ \ r &= 7\end{aligned}

מחלקים בפאי כדי לבודד את r2r^2, ורק אחר כך מוציאים שורש. שני שלבים, בסדר הזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

4

חצי מעגל שרדיוסו 4 — מהו שטחו? (בלי פאי)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

16π2=8π\frac{16\pi}{2} = 8\pi

מחשבים את העיגול השלם ואז חוצים. שימו לב שהתשובה נשארת עם פאי — לא כל שאלה דורשת מספר עשרוני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

r3r

פי כמה גדל שטח מעגל כשמכפילים את הרדיוס פי 3?

  1. פי 9
  2. פי 3
  3. פי 27
  4. פי 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א פי 9

הפתרון:

(3r)2=9r2(3r)^2 = 9r^2

השטח תלוי בריבוע הרדיוס — הכפלה פי 3 מרובעת לפי 9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מה מחשבים בכל מקרה — את ההיקף או את השטח?

  • היקף
  • שטח
  • כמה בצק צריך לפיצה עגולה
  • כמה דשא צריך כדי לכסות גינה עגולה
  • כמה מטרים רץ מי שמקיף מזרקה עגולה פעם אחת
  • כמה מטרים של גדר צריך מסביב לגינה עגולה
  • כמה סרט צריך כדי להקיף עוגה עגולה
  • כמה צבע צריך כדי לצבוע שולחן עגול
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כמה מטרים של גדר צריך מסביב לגינה עגולה — היקף · כמה דשא צריך כדי לכסות גינה עגולה — שטח · כמה סרט צריך כדי להקיף עוגה עגולה — היקף · כמה צבע צריך כדי לצבוע שולחן עגול — שטח · כמה מטרים רץ מי שמקיף מזרקה עגולה פעם אחת — היקף · כמה בצק צריך לפיצה עגולה — שטח

הפתרון:

P=2πrP = 2\pi r

הקו מסביב — גדר, סרט, ריצה. יחידות אורך.

S=πr2S = \pi r^2

הפנים המלאים — דשא, צבע, בצק. יחידות רבועות.

שאלו: האם הולכים לאורך הקצה, או מכסים את כל הפנים? רק השני הוא שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

אם מכפילים את הרדיוס של עיגול פי 2, גם השטח שלו גדל פי 2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

r=3:S=9π\begin{aligned}r &= 3: \quad S \\ &= 9\pi\end{aligned}

עיגול קטן

r=6:S=36π\begin{aligned}r &= 6: \quad S \\ &= 36\pi\end{aligned}

רדיוס כפול

36π:9π=436\pi : 9\pi = 4

השטח גדל פי 4

ברדיוס כפול, ההיקף גדל פי 2, אבל השטח גדל פי 4: הרדיוס בנוסחה בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

3

לעיגול שרדיוסו 3 ס״מ: התאימו לכל גודל את הערך שלו (עם π=3.14\pi = 3.14)

  • הרדיוס rr
  • הקוטר dd
  • ההיקף PP
  • השטח SS
  • 18.84 ס״מ
  • 28.26 סמ״ר
  • 3 ס״מ
  • 6 ס״מ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הרדיוס rr — 3 ס״מ · הקוטר dd — 6 ס״מ · ההיקף PP — 18.84 ס״מ · השטח SS — 28.26 סמ״ר

הפתרון:

d=2⋅3=6\begin{aligned}d &= 2 \cdot 3 \\ &= 6\end{aligned}

הקוטר: פי שניים מהרדיוס

P=2⋅3.14⋅3=18.84\begin{aligned}P &= 2 \cdot 3.14 \cdot 3 \\ &= 18.84\end{aligned}

ההיקף: ביחידות אורך

S=3.14⋅32=3.14⋅9=28.26\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 3^2 \\ &= 3.14 \cdot 9 \\ &= 28.26\end{aligned}

השטח: קודם החזקה, ויחידות רבועות

רק לשטח יש יחידות רבועות. מי שמחשב 3.14⋅623.14 \cdot 6^2 הציב קוטר במקום רדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

10

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

S=3.14⋅52S = 3.14 \cdot 5^2
S=π⋅(2⋅5)2S = \pi \cdot (2 \cdot 5)^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: S=π⋅(2⋅5)2S = \pi \cdot (2 \cdot 5)^2 → S=π⋅52S = \pi \cdot 5^2

הפתרון:

בנוסחת השטח מציבים רדיוס, לא קוטר. אם נתון קוטר — קודם מחלקים ב-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

10

רבע עיגול שרדיוסו 10 ס״מ. מה שטחו, בסמ״ר? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 78.5

הפתרון:

S=3.14⋅102=314\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 10^2 \\ &= 314\end{aligned}

העיגול השלם

314:4=78.5314 : 4 = 78.5

רבע ממנו

חלק של עיגול מקבל את אותו חלק מהשטח: רבע עיגול — רבע מ-πr2\pi r^2. הרדיוס נשאר 10; לא מחלקים אותו ב-4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

5

מה היקף חצי עיגול שרדיוסו 5 ס״מ — כולל הקוטר שסוגר אותו? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25.7

הפתרון:

2⋅3.14⋅5=31.42 \cdot 3.14 \cdot 5 = 31.4

היקף המעגל השלם

31.4:2=15.731.4 : 2 = 15.7

חצי — זו הקשת

15.7+10=25.715.7 + 10 = 25.7

ועוד הקוטר, 10

הקשת היא רק חצי מההיקף. בלי הקוטר הצורה לא סגורה — ו-15.7 היא הטעות הנפוצה ביותר בחצי עיגול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

53

טבעת נוצרת בין שני מעגלים בעלי אותו מרכז: רדיוס הגדול 5 ס״מ, ורדיוס הקטן 3 ס״מ. שטח הטבעת הוא מספר כפול π\pi (בסמ״ר). מהו המספר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

π⋅52=25π\pi \cdot 5^2 = 25\pi

העיגול הגדול

π⋅32=9π\pi \cdot 3^2 = 9\pi

החור

25π−9π=16π25\pi - 9\pi = 16\pi

מחסרים שטחים

מחסרים שטחים, לא רדיוסים. π⋅(5−3)2=4π\pi \cdot (5 - 3)^2 = 4\pi היא הטעות: עיגול שרדיוסו 2 קטן בהרבה מהטבעת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

30

פיצה עגולה שקוטרה 30 ס״מ נחתכת ל-8 משולשים שווים מהמרכז. מה שטח משולש אחד, בסמ״ר? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14, ועגלו לעשירית)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 88.3

הפתרון:

r=30:2=15\begin{aligned}r &= 30 : 2 \\ &= 15\end{aligned}

קודם הרדיוס

S=3.14⋅152=706.5\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 15^2 \\ &= 706.5\end{aligned}

הפיצה כולה

706.5:8≈88.3706.5 : 8 \approx 88.3

משולש אחד

ה«משולש» של הפיצה הוא בעצם גזרה — שמינית מהעיגול. הטעות הנפוצה: להציב את הקוטר, 30, ולקבל פי 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

10060

מסלול ריצה בנוי משני קטעים ישרים באורך 100 מ׳ כל אחד, ומשני חצאי מעגל בקצוות שקוטרם 60 מ׳. מה אורך הקפה אחת של המסלול, במטרים? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 388.4

הפתרון:

100+100=200100 + 100 = 200

שני הישרים

3.14⋅60=188.43.14 \cdot 60 = 188.4

שני חצאי מעגל = מעגל שלם אחד

200+188.4=388.4200 + 188.4 = 388.4

שני חצאי המעגל יחד הם מעגל שלם — היקפו πd\pi d. שוכחים לפעמים את אחד הישרים, או סופרים רק חצי מעגל אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

402020

מה נותן יותר פיצה: פיצה אחת שקוטרה 40 ס״מ, או שתי פיצות שקוטר כל אחת מהן 20 ס״מ?

  1. שתי הקטנות — יש שתיים
  2. בדיוק אותו דבר
  3. הפיצה הגדולה — פי 4 משתי הקטנות יחד
  4. הפיצה הגדולה — פי 2 משתי הקטנות יחד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הפיצה הגדולה — פי 2 משתי הקטנות יחד

הפתרון:

π⋅202=400π\pi \cdot 20^2 = 400\pi

הגדולה, רדיוס 20

2⋅π⋅102=200π2 \cdot \pi \cdot 10^2 = 200\pi

שתי הקטנות, רדיוס 10

400π:200π=2400\pi : 200\pi = 2

קוטר כפול — שטח פי 4. לכן הגדולה שווה לארבע קטנות, ושתי קטנות הן רק חצי ממנה. «בדיוק אותו דבר» חושב שהשטח גדל כמו הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

1010

בריבוע שצלעו 10 ס״מ מצויר רבע עיגול: מרכזו בקודקוד של הריבוע, ורדיוסו כצלע הריבוע. מה שטח החלק האפור — הריבוע פחות רבע העיגול, בסמ״ר? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21.5

הפתרון:

10⋅10=10010 \cdot 10 = 100

הריבוע

3.14⋅1024=78.5\frac{3.14 \cdot 10^2}{4} = 78.5

רבע העיגול

100−78.5=21.5100 - 78.5 = 21.5

מחסרים

הצורה האפורה אין לה נוסחה — משלימים לריבוע ומחסרים את רבע העיגול. השאלה לבדוק: האם רבע העיגול באמת נכנס כולו בתוך הריבוע? כן, כי הרדיוס שווה לצלע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

8

מעגל שקוטרו 8. מחשבים את ההיקף ואת השטח — שורה אחת שגויה, מצאו אותה

d=8 ⇒ r=4\begin{aligned}d &= 8 \ \Rightarrow \ r \\ &= 4\end{aligned}
P=2πr=2π⋅4=8π\begin{aligned}P &= 2\pi r \\ &= 2\pi \cdot 4 \\ &= 8\pi\end{aligned}
S=πr2=π⋅82=64π\begin{aligned}S &= \pi r^2 \\ &= \pi \cdot 8^2 \\ &= 64\pi\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: S=πr2=π⋅82=64πS = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi → S=π⋅42=16πS = \pi \cdot 4^2 = 16\pi

הפתרון:

S=π⋅42=16π\begin{aligned}S &= \pi \cdot 4^2 \\ &= 16\pi\end{aligned}

מציבים את הרדיוס, 4

בשורה השלישית הוצב הקוטר במקום הרדיוס — והתשובה יצאה פי 4. את הרדיוס כבר חישבו בשורה הראשונה; צריך רק להשתמש בו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

?

היקף שולחן עגול הוא 314 ס״מ. מהו קוטר השולחן, בס״מ? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

P=π⋅dP = \pi \cdot d

ההיקף הוא הקוטר כפול פאי

d=314:3.14=100\begin{aligned}d &= 314 : 3.14 \\ &= 100\end{aligned}

הולכים אחורה

מחלקים ב-π\pi ומקבלים את הקוטר. מי שמחלק ב-2π2\pi מקבל 50 — שזה הרדיוס, לא הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

36

כשמכפילים את הרדיוס של מעגל פי 2, גם ההיקף שלו גדל פי 2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2π⋅3=6π2\pi \cdot 3 = 6\pi

רדיוס 3

2π⋅6=12π2\pi \cdot 6 = 12\pi

רדיוס 6 — פי 2

ההיקף תלוי ברדיוס עצמו, בלי ריבוע — ולכן גדל פי 2. השטח, לעומתו, גדל פי 4: π⋅62=36π\pi \cdot 6^2 = 36\pi לעומת 9π9\pi.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת