הנדסת המרחב — לספור, לפרוס ולמדוד · Géométrie dans l'espace — polyèdres, Bar-Ilan — examen d’entrée en ⁨ז׳⁩ (élèves de ⁨ו׳⁩) — leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלות של גופים במבחן בודקות ארבעה דברים: לספור פאות, מקצועות וקודקודים, לזהות פריסה, לחשב נפח ושטח פנים, ולחשוב על קוביות קטנות בתוך קובייה גדולה. בכולן יש שיטה — וכמעט תמיד אפשר לבדוק את התשובה בדרך שנייה.

כרטיס שיטה: שלוש מילים ושלוש נוסחאות

$\text{F}$
פאה — משטח (בקובייה: $6$ )
$\text{E}$
מקצוע — קו שבו שתי פאות נפגשות (בקובייה: $12$ )
$\text{V}$
קודקוד — נקודה שבה מקצועות נפגשים (בקובייה: $8$ )
$V = a \times b \times c$
נפח של תיבה — כמה קוביות נכנסות בה
$S = 2(ab + bc + ac)$
שטח פנים — שלושה זוגות של פאות נגדיות
$F + V - E = 2$
בדיקה לכל פאון: פאות ועוד קודקודים פחות מקצועות

השלבים: (1) מזהים את הבסיס: משולש, ריבוע, מחומש, משושה. (2) מזהים את סוג הגוף: מנסרה (שני בסיסים) או פירמידה (בסיס אחד וקודקוד למעלה). (3) סופרים לפי קבוצות: בסיסים, ומה שביניהם. (4) בודקים עם $F + V - E = 2$ .

לספור בלי לפספס

גוף מצויר תמיד מסתיר משהו: פאה מאחור, מקצוע מלמטה. לכן לא סופרים מה שרואים — סופרים לפי קבוצות. במנסרה משולשת: $2$ בסיסים ו- $3$ פאות צדדיות; $3$ מקצועות למטה, $3$ למעלה ו- $3$ שמחברים ביניהם; $3$ קודקודים למטה ו- $3$ למעלה.

Activité interactive

מנסרה משולשת — לגעת, לסובב, לספור

מה שנספר נצבע: כחול לבסיסים, כתום למה שביניהם. כדאי לסובב את הגוף ולהסתכל גם מלמטה.

Faire l'activité sur elev Bar-Ilan

$\begin{aligned}F &= n + 2 \\ \; E &= 3n \\ \; V &= 2n\end{aligned}$
מנסרה שבסיסה מצולע בן $n$ צלעות
$\begin{aligned}F &= n + 1 \\ \; E &= 2n \\ \; V &= n + 1\end{aligned}$
פירמידה שבסיסה מצולע בן $n$ צלעות

דוגמה פתורה: מנסרה משושה

כמה פאות, מקצועות וקודקודים יש למנסרה שבסיסה משושה?

n = 6

לבסיס שש צלעות

\begin{aligned}F &= 6 + 2 \\ &= 8\end{aligned}

שני בסיסים ושש פאות צדדיות

\begin{aligned}E &= 3 \times 6 \\ &= 18\end{aligned}

שש למטה, שש למעלה, שש מחברים

\begin{aligned}V &= 2 \times 6 \\ &= 12\end{aligned}

8 + 12 - 18 = 2 \;\checkmark

הבדיקה

שתי טעויות של ספירה.

6 \times 4 = 24

12

מקצועות הקובייה: כל מקצוע שייך לשתי פאות, ולכן חוצים: $24 : 2 = 12$

F = 4

F = 5

בפירמידה ריבועית שוכחים את הבסיס: $4$ משולשים ועוד ריבוע

לפירמידה יש $10$ מקצועות. כמה פאות יש לה?

Voir la réponse et le corrigé

$6$ . בפירמידה $E = 2n$ , ולכן $n = 5$ : בסיס מחומש וחמישה משולשים. בדיקה: $6 + 6 - 10 = 2$ .

פריסה: מתקפלת או לא?

פריסה של קובייה היא שישה ריבועים מחוברים. שלושה סימנים לפריסה שלא מתקפלת: ריבוע $2 \times 2$ בתוכה (שתי פאות היו נופלות זו על זו); יותר מארבעה ריבועים בשורה אחת; או ששני ריבועים שבקצוות שורה של ארבעה נמצאים באותו צד שלה.

Activité interactive

מתקפלת או לא?

קודם מנחשים, ואז רואים לאיזה צד של הקובייה נופל כל ריבוע.

Faire l'activité sur elev Bar-Ilan

בקובייה של משחק, סכום כל שתי פאות נגדיות הוא $7$ . איזה מספר נמצא מול הפאה עם $2$ ? ואילו מספרים שכנים לה?

Voir la réponse et le corrigé

$5$ נמצא מולה ( $2 + 5 = 7$ ). כל ארבעת האחרים — $1, 3, 4, 6$ — שכנים לה: לכל פאה ארבע שכנות ופאה נגדית אחת.

נפח: כמה קוביות נכנסות

Votre enfant a-t-il compris ?

Sur elev Bar-Ilan, chaque exercice est corrigé dès qu'il répond, et un indice arrive au moment où il bloque.

Pratiquer sur elev Bar-Ilan

נפח של תיבה סופרים בקומות: בקומה אחת $a \times b$ קוביות, ויש $c$ קומות. לכן $V = a \times b \times c$ , ביחידות מעוקבות — סמ״ק או מ״ק. וכדאי לזכור: $1000$ סמ״ק הם ליטר אחד.

Activité interactive

תיבה של $4$ על $3$ על $5$

שורה, קומה, ועוד קומות. כל קבוצה של קוביות היא מספר בחשבון.

Faire l'activité sur elev Bar-Ilan

Activité interactive

מכפילים את כל הממדים

כל לחיצה מכפילה מידה אחת. אחרי שלוש הכפלות — פי כמה גדל הנפח?

Faire l'activité sur elev Bar-Ilan

הגדלה של צלעות אינה הגדלה של נפח.

a \to 2a \Rightarrow V \to 2V

a \to 2a \Rightarrow V \to 8V

כל אחד משלושת הממדים גדל פי $2$ : $2 \times 2 \times 2 = 8$

\sqrt{64} = 8

\sqrt[3]{64} = 4

צלע של קובייה מנפחה: מחפשים מספר שבחזקת שלוש נותן את הנפח

שטח פנים: שלושה זוגות של פאות

שטח הפנים הוא השטח של הפריסה: כל הפאות יחד. לתיבה שלושה זוגות של פאות נגדיות, ובכל זוג שתי פאות שוות. לקובייה שש פאות שוות: $S = 6a^{2}$ .

Activité interactive

פורשים את התיבה $5 \times 2 \times 3$

בכל לחיצה נכנס לחשבון זוג של פאות נגדיות. שלושה זוגות — לכן ה- $2$ בנוסחה.

Faire l'activité sur elev Bar-Ilan

דוגמה פתורה: הדבקה

מדביקים שתי קוביות שצלען $2$ ס״מ, פאה אל פאה. מה שטח הפנים של הגוף החדש?

2 \times 6 \times 4 = 48

שתי קוביות, כל אחת $6$ פאות של $4$ סמ״ר

48 - 2 \times 4 = 40

שתי הפאות המודבקות כבר לא בחוץ

\begin{aligned}S &= 2(4 \times 2 + 2 \times 2 + 4 \times 2) \\ &= 40 \;\checkmark\end{aligned}

בדיקה: זו תיבה $4 \times 2 \times 2$

לשתי תיבות אותו נפח. האם בהכרח יש להן אותו שטח פנים?

Voir la réponse et le corrigé

לא. תיבה $1 \times 1 \times 8$ וקובייה $2 \times 2 \times 2$ — לשתיהן נפח $8$ . אבל שטח הפנים: $34$ לתיבה הארוכה, ו- $24$ בלבד לקובייה.

הקובייה הצבועה

קובייה גדולה $n \times n \times n$ נצבעת מבחוץ, ונחתכת לקוביות של $1$ . כמה פאות צבועות יש לכל קובייה קטנה? זה תלוי איפה היא הייתה: בפינה, על מקצוע, באמצע פאה, או בפנים.

Activité interactive

הקובייה הצבועה, קומה אחרי קומה

בוחרים סוג של קובייה קטנה, ונוגעים בקוביות שלו בשלוש הקומות. כל קומה מצוירת מלמעלה.

Faire l'activité sur elev Bar-Ilan

$8$
שלוש פאות צבועות — הפינות, תמיד $8$
$12(n - 2)$
שתיים — על $12$ המקצועות, בלי הפינות
$6(n - 2)^{2}$
אחת — באמצע $6$ הפאות
$(n - 2)^{3}$
אף אחת — הקובייה הפנימית

קובייה $4 \times 4 \times 4$ צבועה ונחתכת. כמה קוביות יש מכל סוג? ומה הבדיקה?

Voir la réponse et le corrigé

$8$ עם שלוש, $12 \times 2 = 24$ עם שתיים, $6 \times 4 = 24$ עם אחת, ו- $2^{3} = 8$ בלי צבע. הבדיקה: $8 + 24 + 24 + 8 = 64 = 4^{3}$ .

סיכום השיטה: בסיס וסוג הגוף ← ספירה לפי קבוצות ← בדיקה $F + V - E = 2$ . פריסה ← אין $2 \times 2$ , לא יותר מארבעה בשורה. נפח ← קומות. שטח פנים ← שלושה זוגות. קובייה צבועה ← פינות, מקצועות, פאות, פנים — והסכום הוא $n^{3}$ .

כרטיס שיטה: שלוש מילים ושלוש נוסחאות

לספור בלי לפספס

פריסה: מתקפלת או לא?

נפח: כמה קוביות נכנסות

שטח פנים: שלושה זוגות של פאות

הקובייה הצבועה

La suite se pratique sur elev Bar-Ilan