הנדסת המרחב — לספור, לפרוס ולמדוד · Solid geometry — polyhedra, Bar-Ilan — entrance exam for ⁨ז׳⁩ (pupils in ⁨ו׳⁩) — lesson

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלות של גופים במבחן בודקות ארבעה דברים: לספור פאות, מקצועות וקודקודים, לזהות פריסה, לחשב נפח ושטח פנים, ולחשוב על קוביות קטנות בתוך קובייה גדולה. בכולן יש שיטה — וכמעט תמיד אפשר לבדוק את התשובה בדרך שנייה.

כרטיס שיטה: שלוש מילים ושלוש נוסחאות

$\text{F}$
פאה — משטח (בקובייה: $6$ )
$\text{E}$
מקצוע — קו שבו שתי פאות נפגשות (בקובייה: $12$ )
$\text{V}$
קודקוד — נקודה שבה מקצועות נפגשים (בקובייה: $8$ )
$V = a \times b \times c$
נפח של תיבה — כמה קוביות נכנסות בה
$S = 2(ab + bc + ac)$
שטח פנים — שלושה זוגות של פאות נגדיות
$F + V - E = 2$
בדיקה לכל פאון: פאות ועוד קודקודים פחות מקצועות

השלבים: (1) מזהים את הבסיס: משולש, ריבוע, מחומש, משושה. (2) מזהים את סוג הגוף: מנסרה (שני בסיסים) או פירמידה (בסיס אחד וקודקוד למעלה). (3) סופרים לפי קבוצות: בסיסים, ומה שביניהם. (4) בודקים עם $F + V - E = 2$ .

לספור בלי לפספס

גוף מצויר תמיד מסתיר משהו: פאה מאחור, מקצוע מלמטה. לכן לא סופרים מה שרואים — סופרים לפי קבוצות. במנסרה משולשת: $2$ בסיסים ו- $3$ פאות צדדיות; $3$ מקצועות למטה, $3$ למעלה ו- $3$ שמחברים ביניהם; $3$ קודקודים למטה ו- $3$ למעלה.

Interactive activity

מנסרה משולשת — לגעת, לסובב, לספור

מה שנספר נצבע: כחול לבסיסים, כתום למה שביניהם. כדאי לסובב את הגוף ולהסתכל גם מלמטה.

Do the activity on elev Bar-Ilan

$\begin{aligned}F &= n + 2 \\ \; E &= 3n \\ \; V &= 2n\end{aligned}$
מנסרה שבסיסה מצולע בן $n$ צלעות
$\begin{aligned}F &= n + 1 \\ \; E &= 2n \\ \; V &= n + 1\end{aligned}$
פירמידה שבסיסה מצולע בן $n$ צלעות

דוגמה פתורה: מנסרה משושה

כמה פאות, מקצועות וקודקודים יש למנסרה שבסיסה משושה?

n = 6

לבסיס שש צלעות

\begin{aligned}F &= 6 + 2 \\ &= 8\end{aligned}

שני בסיסים ושש פאות צדדיות

\begin{aligned}E &= 3 \times 6 \\ &= 18\end{aligned}

שש למטה, שש למעלה, שש מחברים

\begin{aligned}V &= 2 \times 6 \\ &= 12\end{aligned}

8 + 12 - 18 = 2 \;\checkmark

הבדיקה

שתי טעויות של ספירה.

6 \times 4 = 24

12

מקצועות הקובייה: כל מקצוע שייך לשתי פאות, ולכן חוצים: $24 : 2 = 12$

F = 4

F = 5

בפירמידה ריבועית שוכחים את הבסיס: $4$ משולשים ועוד ריבוע

לפירמידה יש $10$ מקצועות. כמה פאות יש לה?

Show the answer and the solution

$6$ . בפירמידה $E = 2n$ , ולכן $n = 5$ : בסיס מחומש וחמישה משולשים. בדיקה: $6 + 6 - 10 = 2$ .

פריסה: מתקפלת או לא?

פריסה של קובייה היא שישה ריבועים מחוברים. שלושה סימנים לפריסה שלא מתקפלת: ריבוע $2 \times 2$ בתוכה (שתי פאות היו נופלות זו על זו); יותר מארבעה ריבועים בשורה אחת; או ששני ריבועים שבקצוות שורה של ארבעה נמצאים באותו צד שלה.

Interactive activity

מתקפלת או לא?

קודם מנחשים, ואז רואים לאיזה צד של הקובייה נופל כל ריבוע.

Do the activity on elev Bar-Ilan

בקובייה של משחק, סכום כל שתי פאות נגדיות הוא $7$ . איזה מספר נמצא מול הפאה עם $2$ ? ואילו מספרים שכנים לה?

Show the answer and the solution

$5$ נמצא מולה ( $2 + 5 = 7$ ). כל ארבעת האחרים — $1, 3, 4, 6$ — שכנים לה: לכל פאה ארבע שכנות ופאה נגדית אחת.

נפח: כמה קוביות נכנסות

Did your child get it?

On elev Bar-Ilan, every exercise is checked the moment your child answers, and a hint comes right when they get stuck.

Practise on elev Bar-Ilan

נפח של תיבה סופרים בקומות: בקומה אחת $a \times b$ קוביות, ויש $c$ קומות. לכן $V = a \times b \times c$ , ביחידות מעוקבות — סמ״ק או מ״ק. וכדאי לזכור: $1000$ סמ״ק הם ליטר אחד.

Interactive activity

תיבה של $4$ על $3$ על $5$

שורה, קומה, ועוד קומות. כל קבוצה של קוביות היא מספר בחשבון.

Do the activity on elev Bar-Ilan

Interactive activity

מכפילים את כל הממדים

כל לחיצה מכפילה מידה אחת. אחרי שלוש הכפלות — פי כמה גדל הנפח?

Do the activity on elev Bar-Ilan

הגדלה של צלעות אינה הגדלה של נפח.

a \to 2a \Rightarrow V \to 2V

a \to 2a \Rightarrow V \to 8V

כל אחד משלושת הממדים גדל פי $2$ : $2 \times 2 \times 2 = 8$

\sqrt{64} = 8

\sqrt[3]{64} = 4

צלע של קובייה מנפחה: מחפשים מספר שבחזקת שלוש נותן את הנפח

שטח פנים: שלושה זוגות של פאות

שטח הפנים הוא השטח של הפריסה: כל הפאות יחד. לתיבה שלושה זוגות של פאות נגדיות, ובכל זוג שתי פאות שוות. לקובייה שש פאות שוות: $S = 6a^{2}$ .

Interactive activity

פורשים את התיבה $5 \times 2 \times 3$

בכל לחיצה נכנס לחשבון זוג של פאות נגדיות. שלושה זוגות — לכן ה- $2$ בנוסחה.

Do the activity on elev Bar-Ilan

דוגמה פתורה: הדבקה

מדביקים שתי קוביות שצלען $2$ ס״מ, פאה אל פאה. מה שטח הפנים של הגוף החדש?

2 \times 6 \times 4 = 48

שתי קוביות, כל אחת $6$ פאות של $4$ סמ״ר

48 - 2 \times 4 = 40

שתי הפאות המודבקות כבר לא בחוץ

\begin{aligned}S &= 2(4 \times 2 + 2 \times 2 + 4 \times 2) \\ &= 40 \;\checkmark\end{aligned}

בדיקה: זו תיבה $4 \times 2 \times 2$

לשתי תיבות אותו נפח. האם בהכרח יש להן אותו שטח פנים?

Show the answer and the solution

לא. תיבה $1 \times 1 \times 8$ וקובייה $2 \times 2 \times 2$ — לשתיהן נפח $8$ . אבל שטח הפנים: $34$ לתיבה הארוכה, ו- $24$ בלבד לקובייה.

הקובייה הצבועה

קובייה גדולה $n \times n \times n$ נצבעת מבחוץ, ונחתכת לקוביות של $1$ . כמה פאות צבועות יש לכל קובייה קטנה? זה תלוי איפה היא הייתה: בפינה, על מקצוע, באמצע פאה, או בפנים.

Interactive activity

הקובייה הצבועה, קומה אחרי קומה

בוחרים סוג של קובייה קטנה, ונוגעים בקוביות שלו בשלוש הקומות. כל קומה מצוירת מלמעלה.

Do the activity on elev Bar-Ilan

$8$
שלוש פאות צבועות — הפינות, תמיד $8$
$12(n - 2)$
שתיים — על $12$ המקצועות, בלי הפינות
$6(n - 2)^{2}$
אחת — באמצע $6$ הפאות
$(n - 2)^{3}$
אף אחת — הקובייה הפנימית

קובייה $4 \times 4 \times 4$ צבועה ונחתכת. כמה קוביות יש מכל סוג? ומה הבדיקה?

Show the answer and the solution

$8$ עם שלוש, $12 \times 2 = 24$ עם שתיים, $6 \times 4 = 24$ עם אחת, ו- $2^{3} = 8$ בלי צבע. הבדיקה: $8 + 24 + 24 + 8 = 64 = 4^{3}$ .

סיכום השיטה: בסיס וסוג הגוף ← ספירה לפי קבוצות ← בדיקה $F + V - E = 2$ . פריסה ← אין $2 \times 2$ , לא יותר מארבעה בשורה. נפח ← קומות. שטח פנים ← שלושה זוגות. קובייה צבועה ← פינות, מקצועות, פאות, פנים — והסכום הוא $n^{3}$ .

כרטיס שיטה: שלוש מילים ושלוש נוסחאות

לספור בלי לפספס

פריסה: מתקפלת או לא?

נפח: כמה קוביות נכנסות

שטח פנים: שלושה זוגות של פאות

הקובייה הצבועה

Keep practising on elev Bar-Ilan