Parallel, perpendicular, midpoint and distance · Introduction to analytic geometry · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שני ישרים במישור יכולים להיות מקבילים, מאונכים, או סתם נחתכים. בגאומטריה בודקים את זה בזוויות; בהנדסה אנליטית מספיק להסתכל על השיפועים. באותה דרך נמדוד גם אורך של קטע ונמצא את אמצעו — רק מתוך שיעורי הקצוות.

ישרים מקבילים ומאונכים — מה רואים בשיפוע

ישרים מקבילים עולים באותו קצב — ולכן השיפועים שלהם שווים. ישרים מאונכים: אם מסובבים את משולש השיפוע של ישר אחד ברבע סיבוב, הצעד « $1$ ימינה, $m$ למעלה» הופך ל« $m$ שמאלה, $1$ למעלה». השיפוע החדש הוא $\frac{1}{-m}$ — ההופכי, בסימן הפוך.

m_1 = m_2

הישרים מקבילים (או מתלכדים, כאשר גם נקודת החיתוך עם ציר $y$ זהה).

m_1 \cdot m_2 = -1

הישרים מאונכים. למשל $2$ ו- $-\frac{1}{2}$ , או $-\frac{3}{4}$ ו- $\frac{4}{3}$ .

\begin{aligned}x &= k \ \perp \ y \\ &= c\end{aligned}

מקרה מיוחד: ישר אנכי מאונך לישר אופקי, אף שלאנכי אין שיפוע.

שיפוע ישר הוא $-\frac{2}{5}$ . מהו שיפוע ישר מקביל לו, ומהו שיפוע ישר מאונך לו?

Show the answer and the solution

מקביל — אותו שיפוע, $-\frac{2}{5}$ . מאונך — הופכי בסימן הפוך, $\frac{5}{2}$ . בדיקה: $-\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = -1$ .

אמצע קטע

אמצע הקטע נמצא באמצע הדרך בכל ציר בנפרד: שיעור ה- $x$ שלו הוא הממוצע של שני שיעורי ה- $x$ , ושיעור ה- $y$ — הממוצע של שני שיעורי ה- $y$ .

M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \ \frac{y_1 + y_2}{2} \right)

אמצע הקטע שקצותיו $(x_1,y_1)$ ו- $(x_2,y_2)$

המרחק בין שתי נקודות

משרטטים משולש שהקטע $AB$ הוא היתר שלו: ניצב אופקי באורך $|x_2-x_1|$ וניצב אנכי באורך $|y_2-y_1|$ . משפט פיתגורס נותן את האורך:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

מהו המרחק בין $A(1,-2)$ ל- $B(-5,6)$ ?

Show the answer and the solution

$\sqrt{(-5-1)^2 + (6-(-2))^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ . הריבוע מבטל את הסימן, אבל רק אחרי שמחסרים נכון: $6-(-2)=8$ .

הכול יחד: האנך האמצעי

האנך האמצעי של קטע עובר דרך אמצעו ומאונך לו. כל נקודה עליו נמצאת במרחק שווה משני קצות הקטע — ולכן הוא מופיע בשאלות על מרכז מעגל ועל משולש שווה שוקיים.

Interactive activity

האנך האמצעי של הקטע AB

A(-2,-1), \quad B(4,3)

לחצו «להתחיל». נשתמש בשלושת הכלים של היחידה: אמצע, שיפוע מאונך, משוואת ישר.

אמצע

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) \\ &= (1,1)\end{aligned}

האנך האמצעי עובר דרך האמצע של $AB$ .

שיפוע הקטע

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3-(-1)}{4-(-2)} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

שיפוע הקטע עצמו — עוד לא התשובה.

שיפוע מאונך

m = -\frac{3}{2}

הופכי בסימן הפוך, כי האנך מאונך לקטע.

משוואה

\begin{aligned}y - 1 &= -\frac{3}{2}(x - 1) \Rightarrow y \\ &= -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}\end{aligned}

ישר לפי שיפוע ונקודה.

בדיקה

\begin{aligned}P\left(0, \tfrac{5}{2}\right): \ PA^2 &= 4 + \tfrac{49}{4} \\ &= \tfrac{65}{4} \\ &= PB^2\end{aligned}

הנקודה $P$ על האנך רחוקה באותה מידה מ- $A$ ומ- $B$ .

שלושה כלים, שאלה אחת. מי ששוכח להפוך את השיפוע מקבל ישר שעובר באמצע — אבל לא מאונך.

Do the activity on elev

האם הזווית ישרה?

נתונות הנקודות $A(-1,2)$ , $B(2,3)$ ו- $C(1,6)$ . הראו ש- $AB \perp BC$ .

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3-2}{2-(-1)} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע $AB$

\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{6-3}{1-2} \\ &= -3\end{aligned}

שיפוע $BC$

\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1

מכפלת השיפועים $-1$ , ולכן הקטעים מאונכים

שלוש טעויות שחוזרות בכל מבחן.

\begin{aligned}m_1 &= 3 \Rightarrow m_2 \\ &= -3\end{aligned}

m_2 = -\frac{1}{3}

מאונך פירושו גם הופכי וגם סימן הפוך — שני שינויים.

M = \left(\frac{x_2 - x_1}{2}, \frac{y_2 - y_1}{2}\right)

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

באמצע מחברים; בשיפוע ובמרחק מחסרים.

(-2-4)^2 = -36

(-2-4)^2 = 36

ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי — מרחק לעולם אינו שלילי.

Exercises

Exercise 1

איזה מהישרים הבאים מקביל לישר $6x-3y+4=0$ ?

$y=2x-5$
$y=-\frac{1}{2}x+3$
$y=6x+1$
$y=-2x+4$

Show the answer and the solution

Answer: A $y=2x-5$

Worked solution:

\begin{aligned}-3y &= -6x - 4 \Rightarrow y \\ &= 2x + \frac{4}{3}\end{aligned}

מבודדים את $y$

m = 2

למקביל אותו שיפוע, וכל ערך אחר של נקודת החיתוך עם ציר $y$

הבחירה הנכונה: « $y=2x-5$ ». « $y=6x+1$ » — לקח את המקדם של $x$ מהצורה הכללית. « $y=-\frac{1}{2}x+3$ » — ישר מאונך, לא מקביל. « $y=-2x+4$ » — טעות סימן בבידוד $y$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו שיפוע ישר המאונך לישר $y=-\frac{2}{3}x+1$ ? (כתבו כשבר עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

m_1 \cdot m_2 = -1

תנאי המאונכות

\begin{aligned}-\frac{2}{3} \cdot m_2 &= -1 \Rightarrow m_2 \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

הופכי בסימן הפוך

$1.5$ . מי שכתב $\frac{2}{3}$ הפך רק את הסימן; מי שכתב $-\frac{3}{2}$ הפך רק את השבר.

Check the answer on elev

Exercise 3

מצאו את אמצע הקטע שקצותיו $A(-3,5)$ ו- $B(7,-1)$ .

אמצע הקטע הוא הנקודה $M$ ששיעוריה $x=$ ____ ו- $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: אמצע הקטע הוא הנקודה $M$ ששיעוריה $x=$ 2 ו- $y=$ 2

Worked solution:

\begin{aligned}x_M &= \frac{-3+7}{2} \\ &= 2\end{aligned}

ממוצע שיעורי ה- $x$

\begin{aligned}y_M &= \frac{5+(-1)}{2} \\ &= 2\end{aligned}

ממוצע שיעורי ה- $y$

$M(2,2)$ . בנוסחת האמצע מחברים — מי שחיסר קיבל $(5,-3)$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו אורך הקטע $AB$ , כאשר $A(-2,1)$ ו- $B(4,9)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

AB = \sqrt{(4-(-2))^2 + (9-1)^2}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}\sqrt{36 + 64} &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

$10$ . הטעות: $(4-2)^2$ במקום $(4-(-2))^2$ — הסוגריים סביב המספר השלילי חוסכים אותה.

Check the answer on elev

Exercise 5

הישרים $y=2x+3$ ו- $4x-2y+1=0$ מקבילים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}4x - 2y + 1 &= 0 \Rightarrow y \\ &= 2x + \frac{1}{2}\end{aligned}

מבודדים את $y$ בישר השני

\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ &= 2 \\ \ \ 3 \neq \frac{1}{2}\end{aligned}

אותו שיפוע, נקודת חיתוך אחרת עם ציר $y$

נכון. השיפועים שווים והישרים אינם מתלכדים. בלי לבודד את $y$ קל לחשוב שהשיפוע השני הוא $4$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

הנקודה $M(4,3)$ היא אמצע הקטע $AB$ , והנקודה $A$ היא $(1,-2)$ . מצאו את $B$ .

$B=($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $B=($ 7 $,$ 8 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{1 + x_B}{2} &= 4 \Rightarrow x_B \\ &= 7\end{aligned}

משוואה לשיעור ה- $x$

\begin{aligned}\frac{-2 + y_B}{2} &= 3 \Rightarrow y_B \\ &= 8\end{aligned}

משוואה לשיעור ה- $y$

$B(7,8)$ . הטעות הנפוצה: לחשב את האמצע של $A$ ו- $M$ , $(2.5,\,0.5)$ — אבל $M$ היא האמצע, לא קצה.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהי משוואת הישר העובר דרך $(4,1)$ ומאונך לישר $y=2x-1$ ?

$y=\frac{1}{2}x-1$
$y=2x-7$
$y=-2x+9$
$y=-\frac{1}{2}x+3$

Show the answer and the solution

Answer: D $y=-\frac{1}{2}x+3$

Worked solution:

m = -\frac{1}{2}

מאונך ל- $2$ : הופכי בסימן הפוך

\begin{aligned}y - 1 &= -\frac{1}{2}(x - 4) \Rightarrow y \\ &= -\frac{1}{2}x + 3\end{aligned}

ישר לפי שיפוע ונקודה

הבחירה הנכונה: « $y=-\frac{1}{2}x+3$ ». « $y=2x-7$ » — ישר מקביל דרך הנקודה. « $y=-2x+9$ » — הפך רק את הסימן. « $y=\frac{1}{2}x-1$ » — הפך רק את השבר. כל שלושת המסיחים עוברים דרך $(4,1)$ , ולכן הבדיקה בנקודה לא מספיקה.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונות הנקודות $A(1,1)$ , $B(5,3)$ ו- $C(3,7)$ . הוכיחו כי המשולש $ABC$ ישר זווית, והראו באיזה קודקוד הזווית הישרה.

$A(1,1)$ , $B(5,3)$ , $C(3,7)$

$\angle ABC = 90^\circ$

Show the answer and the solution

$m_{AB} = \frac{1}{2}$ — $\frac{3-1}{5-1}=\frac{2}{4}$ — נוסחת השיפוע
$m_{BC} = -2$ — $\frac{7-3}{3-5}=\frac{4}{-2}$ — נוסחת השיפוע
$AB \perp BC$ — מכפלת השיפועים $\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1$
$\angle ABC = 90^\circ$ — ישרים מאונכים יוצרים זווית ישרה

Worked solution:

m_{AB} = \frac{1}{2}

$\frac{3-1}{5-1}=\frac{2}{4}$ — נוסחת השיפוע

m_{BC} = -2

$\frac{7-3}{3-5}=\frac{4}{-2}$ — נוסחת השיפוע

AB \perp BC

מכפלת השיפועים $\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1$

\angle ABC = 90^\circ

ישרים מאונכים יוצרים זווית ישרה

הזווית הישרה ב- $B$ , הקודקוד המשותף לשני הקטעים המאונכים. מי שבודק $AB$ עם $AC$ לא ימצא מכפלה $-1$ ויחשוב בטעות שהמשולש אינו ישר זווית.

Check the answer on elev

Exercise 9

הנקודה $P(a,3)$ נמצאת במרחק $5$ מהנקודה $Q(1,-1)$ , ו- $a>0$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

(a-1)^2 + (3-(-1))^2 = 25

מעלים את נוסחת המרחק בריבוע — אין צורך בשורש

\begin{aligned}(a-1)^2 &= 9 \Rightarrow a - 1 \\ &= \pm 3\end{aligned}

שני פתרונות

\begin{aligned}a &= 4 \ \text{או} \ a \\ &= -2\end{aligned}

רק $a=4$ חיובי

$a=4$ . הטעות: לכתוב $a-1=3$ בלבד ולשכוח ש- $(-3)^2=9$ — כאן ה- $\pm$ חשוב, והתנאי $a>0$ הוא שבוחר.

Check the answer on elev

Exercise 10

חישבו את המרחק בין $A(3,-2)$ ל- $B(-3,6)$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

d = \sqrt{(-3-3)^2 + (6-(-2))^2}

= \sqrt{-36 + 64}

= \sqrt{28}

Show the answer and the solution

Answer: $= \sqrt{-36 + 64}$ → $= \sqrt{36 + 64} = 10$

Worked solution:

\begin{aligned}(-3-3)^2 &= (-6)^2 \\ &= 36\end{aligned}

ריבוע של מספר שלילי חיובי

\begin{aligned}d &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

$(-6)^2 = 36$ , לא $-36$ . מרחק הוא סכום של שני ריבועים — שניהם אי-שליליים.

Check the answer on elev

ישרים מקבילים ומאונכים — מה רואים בשיפוע

אמצע קטע

המרחק בין שתי נקודות

הכול יחד: האנך האמצעי

Exercises

Keep practising on elev