פותרים יחד · גאומטריה אנליטית — נקודות, קטעים וישרים · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: משולש עם תיכון וגובה, מקבילית והקודקוד הרביעי, ישר מאונך ומרחק מנקודה לישר, ישר והצירים, ואנך אמצעי. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. ובכל שלב שאלו: מרחק, אמצע או שיפוע? בפרק הזה כל שאלה היא שרשרת של שלושת הכלים האלה.

1 — משולש: אמצע, תיכון, גובה ואורך

פעילות אינטראקטיבית

נתון המשולש $ABC$ : $A(-3,\,0)$ , $B(5,\,4)$ , $C(3,\,6)$ . א. מצאו את $M$ , אמצע הצלע $AB$ . ב. מצאו את משוואת התיכון $CM$ . ג. מצאו את משוואת הגובה מ- $C$ לצלע $AB$ . ד. חשבו את אורך הצלע $AB$ .

A(-3,\,0),\quad B(5,\,4),\quad C(3,\,6)

לחצו «להתחיל». התיכון מתחיל מהאמצע, הגובה מתחיל מהשיפוע.

א. אמצע

\begin{aligned}M &= \left( \frac{-3+5}{2},\ \frac{0+4}{2} \right) \\ &= (1,\,2)\end{aligned}

ממוצע בכל ציר.

ב. שיפוע

\begin{aligned}m_{CM} &= \frac{6 - 2}{3 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע דרך $C$ ו- $M$ .

ב. תיכון

\begin{aligned}y - 6 &= 2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x\end{aligned}

שיפוע ונקודה. בדיקה: $M(1,\,2)$ מקיים $2 \cdot 1 = 2$ ✓

ג. שיפוע AB

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4 - 0}{5 - (-3)} \\ &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הגובה מאונך ל- $AB$ , ולכן קודם השיפוע של $AB$ .

ג. גובה

\begin{aligned}m_{\perp} &= -2 \ \Rightarrow \ y - 6 \\ &= -2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 12\end{aligned}

הופכי ונגדי, דרך $C$ .

ד. אורך

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{80} \\ &= 4\sqrt{5}\end{aligned}

נוסחת המרחק, ותשובה מדויקת.

התיכון $y = 2x$ והגובה $y = -2x + 12$ הם ישרים שונים. זה אומר משהו על המשולש, וזו השאלה הבאה.

לעשות את הפעילות ב-elev

התיכון והגובה מ- $C$ יצאו שונים. מה זה אומר על המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

שהוא אינו שווה שוקיים עם הראש ב- $C$ . בדיקה: $CA = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72}$ ו- $CB = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$ , באמת שונים. אילו $CA = CB$ , התיכון היה גם הגובה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מקבילית: הקודקוד הרביעי, ומה הצורה

פעילות אינטראקטיבית

$ABCD$ מקבילית. $A(1,\,1)$ , $B(7,\,3)$ , $C(9,\,7)$ .

$ABCD$ מקבילית, $A(1,\,1)$ , $B(7,\,3)$ , $C(9,\,7)$ . א. מצאו את הקודקוד $D$ . ב. האם $ABCD$ מלבן? נמקו.

$D(3,\,5)$ , ולא מלבן

$D(3,\,5)$ , מלבן

$D(5,\,4)$ , ולא מלבן

$D(15,\,9)$ , מלבן

איך מוצאים את $D$ ?

האלכסונים חוצים זה את זה: אמצע $BD$ שווה לאמצע $AC$

להציג את התשובה והפתרון

תכונת המקבילית, ומכאן $D = A + C - B$ .

$D$ הוא אמצע הקטע $AC$

להציג את התשובה והפתרון

אמצע $AC$ הוא נקודת מפגש האלכסונים, לא קודקוד.

\begin{aligned}M_{AC} &= \left( \frac{1+9}{2},\ \frac{1+7}{2} \right) \\ &= (5,\,4)\end{aligned}

אמצע האלכסון $AC$

מהו $D$ ?

$x_D = 2 \cdot 5 - 7 = 3$ , $y_D = 2 \cdot 4 - 3 = 5$

להציג את התשובה והפתרון

פעמיים האמצע פחות $B$ : הקצה השני של $BD$ .

$x_D = 7 - 5 = 2$ , $y_D = 3 - 4 = -1$

להציג את התשובה והפתרון

זה $B - M$ , לא $2M - B$ . בדיקה: האמצע של $B$ ושל $(2,\,-1)$ אינו $(5,\,4)$ .

D = (3,\,5)

בדיקה: $m_{AB} = \frac{1}{3} = m_{DC}$ ✓

איך בודקים אם זה מלבן?

בודקים אם $AB \perp AD$ : מכפלת השיפועים

להציג את התשובה והפתרון

מלבן הוא מקבילית עם זווית ישרה.

בודקים אם $AB = AD$

להציג את התשובה והפתרון

צלעות סמוכות שוות זה מעוין, לא מלבן.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3-1}{7-1} \\ &= \frac{1}{3} \\ \quad m_{AD} &= \frac{5-1}{3-1} \\ &= 2 \\ \quad \frac{1}{3} \cdot 2 &= \frac{2}{3} \neq -1\end{aligned}

אין זווית ישרה

להציג את התשובה והפתרון

$D(3,\,5)$ , ולא מלבן. דרך נוספת לשלול מלבן: במלבן האלכסונים שווים, וכאן $AC = \sqrt{64+36} = 10$ אבל $BD = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם $ABCD$ מעוין?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $AB = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$ ו- $AD = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ : צלעות סמוכות שונות. נשארת מקבילית רגילה.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — ישר, מאונך אליו, והמרחק מנקודה לישר

פעילות אינטראקטיבית

נתונות הנקודות $A(1,\,2)$ , $B(5,\,10)$ ו- $C(8,\,1)$ . א. מצאו את משוואת הישר $AB$ . ב. מצאו את משוואת הישר העובר דרך $C$ ומאונך ל- $AB$ . ג. מצאו את נקודת החיתוך $D$ של שני הישרים. ד. חשבו את המרחק מ- $C$ לישר $AB$ .

A(1,\,2),\quad B(5,\,10),\quad C(8,\,1)

לחצו «להתחיל». המרחק מנקודה לישר נמדד לאורך האנך: זו הסיבה לסעיפים ב ו-ג.

א. שיפוע

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{10 - 2}{5 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

משתי הנקודות.

א. ישר

\begin{aligned}y - 2 &= 2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x\end{aligned}

בדיקה עם $B$ : $2 \cdot 5 = 10$ ✓

ב. מאונך

\begin{aligned}m_{\perp} &= -\frac{1}{2} \ \Rightarrow \ y - 1 \\ &= -\frac{1}{2}(x - 8) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{1}{2}x + 5\end{aligned}

הופכי ונגדי, דרך $C$ .

ג. חיתוך

\begin{aligned}2x &= -\frac{1}{2}x + 5 \ \Rightarrow \ \frac{5}{2}x \\ &= 5 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ y &= 4\end{aligned}

$D(2,\,4)$ . בדיקה בישר השני: $-1 + 5 = 4$ ✓

ד. מרחק

\begin{aligned}CD &= \sqrt{(8-2)^2 + (1-4)^2} \\ &= \sqrt{36 + 9} \\ &= \sqrt{45} \\ &= 3\sqrt{5}\end{aligned}

המרחק מ- $C$ לישר הוא אורך האנך $CD$ .

ארבעה סעיפים, ארבעה כלים: שיפוע, מאונך, חיתוך, מרחק. כל סעיף משתמש בתוצאה של הקודם.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה המרחק מ- $C$ לישר נמדד דווקא עד $D$ , ולא עד $A$ או עד $B$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי $D$ היא הנקודה הקרובה ביותר ל- $C$ על הישר. כל נקודה אחרת על הישר יוצרת עם $C$ ו- $D$ משולש ישר זווית, שבו $CD$ ניצב והקטע האחר הוא היתר, וגדול יותר. בדיקה: $CA = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} > \sqrt{45}$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — ישר והצירים: חיתוכים, שטח ואורך

פעילות אינטראקטיבית

הישר $3x + 4y - 12 = 0$ והצירים

הישר $3x + 4y - 12 = 0$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . א. מצאו את $A$ ואת $B$ . ב. חשבו את שטח המשולש $AOB$ , כאשר $O$ ראשית הצירים. ג. חשבו את אורך $AB$ . ד. האם הנקודה $(2,\,1.5)$ נמצאת על הישר?

$A(4,\,0)$ , $B(0,\,3)$ , שטח $6$ , $AB = 5$ , כן

$A(0,\,4)$ , $B(3,\,0)$ , שטח $12$ , $AB = 5$ , כן

$A(4,\,0)$ , $B(0,\,3)$ , שטח $12$ , $AB = 7$ , לא

$A(12,\,0)$ , $B(0,\,12)$ , שטח $72$ , $AB = 12\sqrt{2}$ , לא

איך מוצאים את $A$ , החיתוך עם ציר ה- $x$ ?

מציבים $y = 0$

להציג את התשובה והפתרון

כל נקודה על ציר ה- $x$ היא בגובה $0$ .

מציבים $x = 0$

להציג את התשובה והפתרון

זה נותן את החיתוך עם ציר ה- $y$ .

\begin{aligned}3x - 12 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \ \Rightarrow \ A(4,\,0)\end{aligned}

ובאותו אופן $x = 0$ : $4y = 12$ , $B(0,\,3)$

מה שטח המשולש $AOB$ ?

$\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$

להציג את התשובה והפתרון

ניצבים $OA = 4$ ו- $OB = 3$ , זווית ישרה ב- $O$ .

$4 \cdot 3 = 12$

להציג את התשובה והפתרון

זה שטח מלבן. במשולש מחלקים ב- $2$ .

\begin{aligned}S &= \frac{OA \cdot OB}{2} \\ &= \frac{4 \cdot 3}{2} \\ &= 6\end{aligned}

המשולש ישר זווית, כי הצירים מאונכים

מה אורך $AB$ ?

$\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

להציג את התשובה והפתרון

נוסחת המרחק, או פיתגורס על הניצבים.

$4 + 3 = 7$

להציג את התשובה והפתרון

זה סכום הניצבים, לא היתר.

\begin{aligned}AB &= \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} \\ &= 5\end{aligned}

השלשה $3,\,4,\,5$

האם $(2,\,1.5)$ על הישר?

מציבים במשוואה ובודקים אם מתקבל $0$

להציג את התשובה והפתרון

נקודה על הישר מקיימת את משוואתו.

בודקים אם $2 + 1.5 = 12$

להציג את התשובה והפתרון

צריך להציב עם המקדמים: $3 \cdot 2 + 4 \cdot 1.5$ .

\begin{aligned}3 \cdot 2 + 4 \cdot 1.5 - 12 &= 6 + 6 - 12 \\ &= 0\end{aligned}

כן, הנקודה על הישר

להציג את התשובה והפתרון

$A(4,\,0)$ , $B(0,\,3)$ , שטח $6$ , $AB = 5$ , וכן. הטעות הנפוצה בסעיף א היא להחליף בין הצירים: $A$ על ציר ה- $x$ נראה $(4,\,0)$ , עם $y = 0$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

מה מיוחד בנקודה $(2,\,1.5)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

היא אמצע הקטע $AB$ : $\frac{4+0}{2} = 2$ ו- $\frac{0+3}{2} = 1.5$ . אמצע של קטע תמיד נמצא על הישר של הקטע, ולכן היה אפשר לענות על סעיף ד בלי הצבה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — האנך האמצעי של קטע

פעילות אינטראקטיבית

נתונות הנקודות $A(-2,\,3)$ ו- $B(4,\,-1)$ . א. מצאו את $M$ , אמצע $AB$ . ב. מצאו את משוואת הישר העובר דרך $M$ ומאונך ל- $AB$ (האנך האמצעי). ג. מצאו את נקודת החיתוך $P$ של ישר זה עם ציר ה- $y$ . ד. הראו ש- $PA = PB$ .

A(-2,\,3),\quad B(4,\,-1)

לחצו «להתחיל». האנך האמצעי צריך שני דברים: נקודה (האמצע) ושיפוע (מאונך).

א. אמצע

\begin{aligned}M &= \left( \frac{-2+4}{2},\ \frac{3+(-1)}{2} \right) \\ &= (1,\,1)\end{aligned}

ממוצע בכל ציר.

ב. שיפוע AB

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-1 - 3}{4 - (-2)} \\ &= \frac{-4}{6} \\ &= -\frac{2}{3}\end{aligned}

השיפוע של הקטע עצמו.

ב. אנך

\begin{aligned}m_{\perp} &= \frac{3}{2} \ \Rightarrow \ y - 1 \\ &= \frac{3}{2}(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\end{aligned}

הופכי ונגדי, דרך $M$ .

ג. ציר y

x = 0 \ \Rightarrow \ P\left(0,\,-\frac{1}{2}\right)

מציבים $x = 0$ .

ד. מרחקים

\begin{aligned}PA^2 &= 2^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 \\ &= \frac{65}{4} \\ \qquad PB^2 &= 4^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= \frac{65}{4}\end{aligned}

שווים, ולכן $PA = PB$ . די להשוות את הריבועים.

$PA = PB$ אינו מקרה: כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים משני קצות הקטע. את המשפט הזה תפגשו שוב בפרק על הקווים המיוחדים במשולש.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם היה אפשר לדעת מראש, בלי חישוב, שהמרחקים בסעיף ד שווים?

להציג את התשובה והפתרון

כן. $P$ נמצאת על האנך האמצעי של $AB$ , וכל נקודה עליו במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ . החישוב בסעיף ד רק מאמת את המשפט על מקרה אחד.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1,\,0)$ , $B(7,\,4)$ , $C(1,\,6)$ . $M$ אמצע $AB$ . מצאו את משוואת התיכון $CM$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -2 $x +$ 8

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \left( \frac{-1+7}{2},\ \frac{0+4}{2} \right) \\ &= (3,\,2)\end{aligned}

אמצע $AB$

\begin{aligned}m_{CM} &= \frac{2 - 6}{3 - 1} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע דרך $C$ ו- $M$

\begin{aligned}y - 6 &= -2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 8\end{aligned}

שיפוע ונקודה

-2 \cdot 3 + 8 = 2

בדיקה עם $M$ ✓

תיכון: אמצע ואז שתי נקודות. השיפוע $\frac{1}{2}$ הוא של הצלע $AB$ עצמה, לא של התיכון. וכאן $CA = CB = \sqrt{40}$ , ולכן $CM$ הוא גם הגובה: $-2 \cdot \frac{1}{2} = -1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$ABCD$ מקבילית. $A(-2,\,1)$ , $B(4,\,3)$ , $C(6,\,7)$ . מצאו את הקודקוד $D$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 0 $,$ 5 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= \left( \frac{-2+6}{2},\ \frac{1+7}{2} \right) \\ &= (2,\,4)\end{aligned}

אמצע האלכסון $AC$

\begin{aligned}x_D &= 2 \cdot 2 - 4 \\ &= 0 \\ \quad y_D &= 2 \cdot 4 - 3 \\ &= 5\end{aligned}

הקצה השני של $BD$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1}{3} \\ &= m_{DC}\end{aligned}

בדיקה: $AB \parallel DC$ ✓

$D = A + C - B$ בכל קואורדינטה. מי שחישב $B + C - A$ קיבל $(12,\,9)$ , קודקוד של מקבילית אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונות הנקודות $A(0,\,2)$ , $B(3,\,5)$ ו- $C(6,\,0)$ . מצאו את נקודת החיתוך של הישר $AB$ עם הישר העובר דרך $C$ ומאונך ל- $AB$ .

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 2 $,$ 4 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{5 - 2}{3 - 0} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ y \\ &= x + 2\end{aligned}

הישר $AB$ : $A$ על ציר ה- $y$ , ולכן $b = 2$

\begin{aligned}m_{\perp} &= -1 \ \Rightarrow \ y - 0 \\ &= -(x - 6) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 6\end{aligned}

המאונך דרך $C$

\begin{aligned}x + 2 &= -x + 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ y &= 4\end{aligned}

חיתוך

המאונך לשיפוע $1$ הוא שיפוע $-1$ : הופכי של $1$ הוא $1$ , ונשאר רק להחליף סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הישר $2x + 5y - 10 = 0$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . חשבו את שטח המשולש $AOB$ , כאשר $O$ ראשית הצירים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= 10 \ \Rightarrow \ A(5,\,0)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ 5y \\ &= 10 \ \Rightarrow \ B(0,\,2)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 2}{2} \\ &= 5\end{aligned}

משולש ישר זווית ב- $O$

הניצבים הם המרחקים מהראשית, $5$ ו- $2$ . שטח משולש מחלקים ב- $2$ : $10$ הוא שטח המלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונות הנקודות $A(1,\,5)$ ו- $B(5,\,1)$ . מצאו את משוואת האנך האמצעי של $AB$ , כלומר הישר העובר דרך אמצע $AB$ ומאונך לו.

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 1 $x +$ 0

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \left( \frac{1+5}{2},\ \frac{5+1}{2} \right) \\ &= (3,\,3)\end{aligned}

אמצע $AB$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1 - 5}{5 - 1} \\ &= -1 \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= 1\end{aligned}

הופכי ונגדי

\begin{aligned}y - 3 &= 1 \cdot (x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= x\end{aligned}

דרך $M$

המשוואה היא $y = x + 0$ : $b = 0$ הוא תשובה לגיטימית. הישר עובר דרך הראשית, כי $O$ נמצאת במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ : $\sqrt{26}$ בשניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — משולש: אמצע, תיכון, גובה ואורך

2 — מקבילית: הקודקוד הרביעי, ומה הצורה

3 — ישר, מאונך אליו, והמרחק מנקודה לישר

4 — ישר והצירים: חיתוכים, שטח ואורך

5 — האנך האמצעי של קטע

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev