משולשים ומרובעים במערכת צירים · גאומטריה אנליטית — נקודות, קטעים וישרים · כיתה י׳

משולש נתון על ידי שלושת קודקודיו, ומרובע על ידי ארבעת קודקודיו. ברגע שיש קואורדינטות, כל מה שלמדנו בפרק מתחבר: מרחק נותן אורכי צלעות, אמצע נותן תיכון, שיפוע נותן מקבילות וניצבות. זה הפורמט של שאלת הבגרות: משולש או מרובע בקואורדינטות, ושרשרת קצרה של חישובים.

המשולש

ABC

A(-2,\,1)

B(6,\,1)

C(2,\,7)

. הצלע

AB

אופקית ואורכה

8

AC = BC = \sqrt{16 + 36} = 2\sqrt{13}

: המשולש שווה שוקיים, וזה נקבע בחישוב, לא במבט.

אורכי צלעות וסוג המשולש

מחשבים את שלוש הצלעות בנוסחת המרחק. שתי צלעות שוות: שווה שוקיים. שלוש שוות: שווה צלעות. ישר זווית: או שמשפט פיתגורס ההפוך מתקיים, $a^2 + b^2 = c^2$ , או ששתי צלעות מאונכות, כלומר מכפלת השיפועים שלהן $-1$ . הדרך של השיפועים קצרה יותר, ומראה גם איפה הזווית הישרה.

משולש ישר זווית, בשתי דרכים

נתון $A(1,\,1)$ , $B(5,\,1)$ , $C(5,\,4)$ . הראו שהמשולש ישר זווית.

\begin{aligned}AB &= 4 \\ \quad BC &= 3 \\ \quad AC &= \sqrt{16 + 9} \\ &= 5\end{aligned}

שלוש הצלעות

\begin{aligned}4^2 + 3^2 &= 25 \\ &= 5^2\end{aligned}

משפט פיתגורס ההפוך: הזווית מול $AC$ ישרה, כלומר $\angle B$

\begin{aligned}m_{AB} &= 0 \\ \quad BC \text{ אנכי}\end{aligned}

דרך שנייה: $AB$ אופקי ו- $BC$ אנכי, ולכן $AB \perp BC$

האם המשולש $A(0,\,0)$ , $B(4,\,2)$ , $C(2,\,6)$ ישר זווית? אם כן, באיזה קודקוד?

להציג את התשובה והפתרון

$m_{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , $m_{BC} = \frac{6-2}{2-4} = -2$ , והמכפלה $\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$ . כן, הזווית הישרה ב- $B$ , כי $AB \perp BC$ .

תיכון וגובה: לפי המשוואות שלהם

התיכון מקודקוד $C$ הוא הקטע מ- $C$ אל אמצע הצלע $AB$ . מוצאים את האמצע $M$ , ואז את הישר דרך $C$ ו- $M$ . הגובה מ- $C$ מאונך ל- $AB$ : לוקחים את שיפוע $AB$ , הופכים ומנגדים, ומעבירים ישר בשיפוע הזה דרך $C$ . שני קווים שונים, שתי שיטות שונות: בתיכון משתמשים באמצע, בגובה משתמשים בשיפוע.

תיכון וגובה מאותו קודקוד

נתון $A(0,\,0)$ , $B(6,\,2)$ , $C(2,\,6)$ . מצאו את משוואת התיכון ואת משוואת הגובה מ- $C$ לצלע $AB$ .

\begin{aligned}M &= \left( \frac{0+6}{2},\ \frac{0+2}{2} \right) \\ &= (3,\,1)\end{aligned}

אמצע $AB$

\begin{aligned}m_{CM} &= \frac{1 - 6}{3 - 2} \\ &= -5\end{aligned}

שיפוע התיכון

\begin{aligned}y - 6 &= -5(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -5x + 16\end{aligned}

משוואת התיכון $CM$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -3\end{aligned}

שיפוע הגובה: הופכי ונגדי לשיפוע $AB$

\begin{aligned}y - 6 &= -3(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 12\end{aligned}

משוואת הגובה מ- $C$

התיכון

CM

בכתום מגיע לאמצע

M(3,\,1)

. הגובה

CD

בכחול מגיע ל-

D

, שאינו האמצע. הם שונים כי

CA \neq CB

CA = \sqrt{40}

ו-

CB = \sqrt{32}

מתי התיכון והגובה מאותו קודקוד מתלכדים?

להציג את התשובה והפתרון

כשהמשולש שווה שוקיים ואותו קודקוד הוא הראש: אז $CA = CB$ , והקטע לאמצע $AB$ גם מאונך לו. אם קיבלתם שתי משוואות זהות, זו הסיבה, ואפשר לאמת בחישוב $CA$ ו- $CB$ .

מרובעים: איזו צורה זו?

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ \ m_{AD} &= m_{BC}\end{aligned}

מקבילית: שני זוגות של צלעות מקבילות. בדיקה מהירה: האלכסונים חוצים זה את זה, כלומר ל- $AC$ ול- $BD$ אותו אמצע

m_{AB} \cdot m_{AD} = -1

מלבן: מקבילית שיש בה זווית ישרה

AB = AD

מעוין: מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות

\text{מלבן} + \text{מעוין}

ריבוע

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ \ m_{AD} \neq m_{BC}\end{aligned}

טרפז: זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות

מה הצורה של המרובע?

נתון $A(0,\,0)$ , $B(4,\,0)$ , $C(6,\,3)$ , $D(2,\,3)$ . קבעו איזה מרובע הוא $ABCD$ .

\begin{aligned}m_{AB} &= 0 \\ \quad m_{DC} &= \frac{3 - 3}{6 - 2} \\ &= 0\end{aligned}

$AB \parallel DC$

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{3}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{3 - 0}{6 - 4} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

$AD \parallel BC$ : מקבילית

0 \cdot \frac{3}{2} = 0 \neq -1

אין זווית ישרה: לא מלבן

\begin{aligned}AB &= 4 \\ \quad AD &= \sqrt{4 + 9} \\ &= \sqrt{13}\end{aligned}

צלעות סמוכות שונות: לא מעוין. התשובה: מקבילית

כדי למצוא את הקודקוד הרביעי של מקבילית $ABCD$ , משתמשים באלכסונים: אמצע $AC$ שווה לאמצע $BD$ . ולכן $D = A + C - B$ , בכל קואורדינטה בנפרד. שימו לב לסדר האותיות: $D$ מול $B$ .

איזה מרובע הוא $A(1,\,1)$ , $B(4,\,1)$ , $C(4,\,4)$ , $D(1,\,4)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

ריבוע. $AB$ ו- $DC$ אופקיים, $AD$ ו- $BC$ אנכיים, ולכן מקבילית עם זוויות ישרות: מלבן. וכל הצלעות באורך $3$ : גם מעוין. מלבן שהוא מעוין הוא ריבוע.

שלוש הטעויות של צורות בקואורדינטות.

AB = CD \ \Rightarrow \ \text{מעוין}

AB = AD

במעוין צלעות סמוכות שוות. צלעות נגדיות שוות בכל מקבילית.

m_{CM} = -\frac{1}{m_{AB}}

m_{CM} = \frac{y_M - y_C}{x_M - x_C}

התיכון עובר דרך האמצע ואינו בהכרח מאונך. השיפוע ההופכי והנגדי שייך לגובה.

m_{AB} = m_{CD} \ \Rightarrow \ \text{מקבילית}

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \ \text{וגם} \ m_{AD} \\ &= m_{BC}\end{aligned}

זוג אחד של צלעות מקבילות נותן רק טרפז. למקבילית צריך את שני הזוגות.

תרגילים

תרגיל 1

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1,\,2)$ , $B(5,\,2)$ , $C(2,\,6)$ . חשבו את היקף המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= |5 - (-1)| \\ &= 6\end{aligned}

אותו $y$ : צלע אופקית

\begin{aligned}AC &= \sqrt{(2-(-1))^2 + (6-2)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}BC &= \sqrt{(5-2)^2 + (2-6)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק

6 + 5 + 5 = 16

היקף

שתי שוקיים שוות: המשולש שווה שוקיים. מי שקיבל $AB = 4$ חיסר $5 - 1$ ושכח את המינוס.

אורכי צלעות וסוג המשולש

תיכון וגובה: לפי המשוואות שלהם

מרובעים: איזו צורה זו?

תרגילים

חזרה משולבת — טרפז וקטע אמצעים

חזרה משולבת — מלבן, משולשים דומים וזווית

השיעור הבא מחכה ב-elev