ישרים: מקבילים, מאונכים וחיתוכים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שני ישרים במישור יכולים להיות מקבילים, נחתכים בנקודה אחת, או מתלכדים, כלומר אותו ישר בדיוק. מקרה מיוחד וחשוב של נחתכים: מאונכים, בזווית ישרה. כל ארבעת המצבים נקראים מהשיפועים. נסו קודם בעצמכם:

ארבעה מצבים, לפי השיפועים

m1=m2 b1≠b2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ \ b_1 \neq b_2\end{aligned}

מקבילים: אותו שיפוע, חיתוך שונה עם ציר ה-yy. אין נקודה משותפת

m1=m2 b1=b2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ \ b_1 &= b_2\end{aligned}

מתלכדים: אותו ישר, כל הנקודות משותפות

m1≠m2m_1 \neq m_2

נחתכים: בדיוק נקודה משותפת אחת

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

מאונכים: נחתכים בזווית ישרה. השיפוע של המאונך הוא הופכי ונגדי

«הופכי ונגדי» פירושו שני שינויים: הופכים את השבר, ומחליפים את הסימן. המאונך ל-m=2m = 2 הוא m=−12m = -\frac{1}{2}, והמאונך ל-m=−34m = -\frac{3}{4} הוא m=43m = \frac{4}{3}. בדיקה תמיד: המכפלה חייבת לצאת −1-1.

מהו המצב ההדדי של הישרים y=2x+1y = 2x + 1 ו-4x−2y+2=04x - 2y + 2 = 0?

להציג את התשובה והפתרון

מבודדים בשני: −2y=−4x−2-2y = -4x - 2, ולכן y=2x+1y = 2x + 1. מתלכדים: זה אותו ישר, כתוב פעמיים. מי שהשווה רק שיפועים ואמר «מקבילים» לא בדק את bb.

משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה

דרך נקודה נתונה, עם שיפוע נתון, עובר ישר אחד בלבד. זו הסיבה ששני נתונים האלה מספיקים למשוואה. מציבים בנוסחה:

y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)

הישר בשיפוע mm דרך הנקודה (x1, y1)(x_1,\,y_1)

ישר לפי שיפוע ונקודה

מצאו את משוואת הישר בשיפוע 33 העובר דרך (2, −1)(2,\,-1).

y−(−1)=3(x−2)y - (-1) = 3(x - 2)

מציבים בנוסחה, בזהירות עם הסימן של −1-1

y+1=3x−6y + 1 = 3x - 6

פותחים סוגריים

y=3x−7y = 3x - 7

הצורה המפורשת

3⋅2−7=−13 \cdot 2 - 7 = -1

בדיקה: הנקודה (2, −1)(2,\,-1) על הישר ✓

ישר דרך שתי נקודות

דרך שתי נקודות שונות עובר ישר אחד בלבד, וזו אקסיומה של הגאומטריה. כדי למצוא את משוואתו: קודם השיפוע משתי הנקודות, ואז הנוסחה של שיפוע ונקודה, עם אחת מהן. לא משנה איזו: שתיהן על אותו ישר.

ישר דרך שתי נקודות

מצאו את משוואת הישר העובר דרך A(1, 2)A(1,\,2) ו-B(4, 8)B(4,\,8).

m=8−24−1=63=2\begin{aligned}m &= \frac{8 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

y−2=2(x−1)y - 2 = 2(x - 1)

שיפוע ונקודה, עם AA

y=2xy = 2x

הצורה המפורשת

2⋅4=82 \cdot 4 = 8

בדיקה עם BB: הנקודה שלא השתמשנו בה ✓

מהי משוואת הישר העובר דרך (0, 3)(0,\,3) ו-(2, 7)(2,\,7)?

להציג את התשובה והפתרון

m=7−32−0=2m = \frac{7-3}{2-0} = 2, והנקודה (0, 3)(0,\,3) היא בדיוק החיתוך עם ציר ה-yy, ולכן b=3b = 3: y=2x+3y = 2x + 3. בדיקה: 2⋅2+3=72 \cdot 2 + 3 = 7 ✓.

חיתוך עם הצירים

הישר y=−2x+4y = -2x + 4 חותך את ציר ה-yy ב-A(0, 4)A(0,\,4): שם x=0x = 0. הוא חותך את ציר ה-xx ב-B(2, 0)B(2,\,0): שם y=0y = 0, ופותרים −2x+4=0-2x + 4 = 0.
x=0x = 0

חיתוך עם ציר ה-yy: מציבים x=0x = 0. בצורה המפורשת זה (0, b)(0,\,b)

y=0y = 0

חיתוך עם ציר ה-xx: מציבים y=0y = 0 ופותרים משוואה ב-xx

חיתוך בין שני ישרים

נקודת החיתוך נמצאת על שני הישרים, ולכן שיעוריה מקיימים את שתי המשוואות. כששתיהן בצורה המפורשת, משווים את שני האגפים ופותרים משוואה ב-xx, ואז מציבים כדי לקבל yy.

חיתוך של שני ישרים

מצאו את נקודת החיתוך של y=2x−1y = 2x - 1 ו-y=−x+5y = -x + 5.

2x−1=−x+52x - 1 = -x + 5

משווים: אותו yy בשני הישרים

3x=6 ⇒ x=2\begin{aligned}3x &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

פותרים

y=2⋅2−1=3\begin{aligned}y &= 2 \cdot 2 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים בישר הראשון

−2+5=3-2 + 5 = 3

בדיקה בישר השני ✓

מהי נקודת החיתוך של y=x+1y = x + 1 ו-y=3x−3y = 3x - 3?

להציג את התשובה והפתרון

x+1=3x−3x + 1 = 3x - 3, ולכן 2x=42x = 4, x=2x = 2, ו-y=3y = 3: (2, 3)(2,\,3). בדיקה: 3⋅2−3=33 \cdot 2 - 3 = 3 ✓. נקודת חיתוך היא תמיד זוג: xx לבד אינו תשובה.

בכל ישר שמצאתם, הציבו את הנקודה שלא השתמשתם בה. אם היא לא מקיימת את המשוואה, יש טעות. הבדיקה הזו עולה שורה אחת ותופסת את רוב הטעויות.

שלוש הטעויות של ישרים.

m1=2 ⇒ m⊥=−2\begin{aligned}m_1 &= 2 \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -2\end{aligned}
m⊥=−12m_{\perp} = -\frac{1}{2}

מאונך פירושו הופכי וגם נגדי. רק המינוס לא מספיק: 2⋅(−2)=−4≠−12 \cdot (-2) = -4 \neq -1.

y−1=3(x−2) ⇒ y=3x−2\begin{aligned}y - 1 &= 3(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x - 2\end{aligned}
y=3x−5y = 3x - 5

פותחים סוגריים: 3x−63x - 6, ואז מעבירים את ה-11. שני צעדים, לא אחד.

y=2x−6 ⇒ ציר x:(0, −6)y = 2x - 6 \ \Rightarrow \ \text{ציר } x: (0,\,-6)
(3, 0)(3,\,0)

חיתוך עם ציר ה-xx הוא כש-y=0y = 0. הנקודה (0, −6)(0,\,-6) היא החיתוך עם ציר ה-yy.

תרגילים

תרגיל 1

שיפוע ישר הוא 2. מהו שיפוע הישר המאונך לו?

  1. 22
  2. 12\frac{1}{2}
  3. −2-2
  4. −12-\frac{1}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −12-\frac{1}{2}

הפתרון:

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

התנאי

m2=−12m_2 = -\frac{1}{2}

הופכי וסימן הפוך

שני שינויים, לא אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שני ישרים מקבילים — אם ורק אם השיפועים שלהם שווים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

m1=m2m_1 = m_2

ההגדרה האנליטית של מקבילות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ישר אחד בעל שיפוע 3. מהו שיפוע ישר המאונך לו?

  1. −13-\frac{1}{3}
  2. 3
  3. 13\frac{1}{3}
  4. −3-3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −13-\frac{1}{3}

הפתרון:

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

מכפלת שיפועים מאונכים

הופכי ונגדי: מי ששוכח את המינוס מקבל ישר מקביל-בערך, לא מאונך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהי משוואת הישר בשיפוע −2-2 העובר דרך הנקודה (1, 5)(1,\,5)?

  1. y=−2x+3y = -2x + 3
  2. y=−2x+5y = -2x + 5
  3. y=2x+3y = 2x + 3
  4. y=−2x+7y = -2x + 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד y=−2x+7y = -2x + 7

הפתרון:

y−5=−2(x−1)y - 5 = -2(x - 1)

שיפוע ונקודה

y=−2x+2+5=−2x+7\begin{aligned}y &= -2x + 2 + 5 \\ &= -2x + 7\end{aligned}

פותחים ומעבירים

−2⋅1+7=5-2 \cdot 1 + 7 = 5

בדיקה ✓

התשובה: y=−2x+7y = -2x + 7. y=−2x+5y = -2x + 5 לוקח את ה-55 של הנקודה בתור bb, אבל bb הוא הגובה ב-x=0x = 0, לא ב-x=1x = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מצאו את משוואת הישר העובר דרך (−1, 1)(-1,\,1) ו-(3, 9)(3,\,9).

y=y = ____ x+x + ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y = 2 x+x + 3

הפתרון:

m=9−13−(−1)=84=2\begin{aligned}m &= \frac{9 - 1}{3 - (-1)} \\ &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

קודם השיפוע

y−1=2(x+1) ⇒ y=2x+3\begin{aligned}y - 1 &= 2(x + 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x + 3\end{aligned}

שיפוע ונקודה

2⋅3+3=92 \cdot 3 + 3 = 9

בדיקה עם הנקודה השנייה ✓

במכנה 3−(−1)=43 - (-1) = 4, לא 22. מינוס פחות מינוס הופך לפלוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים y=3x−4y = 3x - 4 ו-y=−x+4y = -x + 4.

(( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( 2 ,, 2 ))

הפתרון:

3x−4=−x+43x - 4 = -x + 4

משווים

4x=8 ⇒ x=2\begin{aligned}4x &= 8 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

פותרים

y=3⋅2−4=2\begin{aligned}y &= 3 \cdot 2 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים

−2+4=2-2 + 4 = 2

בדיקה בישר השני ✓

נקודת החיתוך היא זוג. אחרי שמוצאים xx, לא לשכוח להציב ולמצוא yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באיזו נקודה חותך הישר 2x+3y−12=02x + 3y - 12 = 0 את ציר ה-xx? רשמו את שיעור ה-xx של הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

y=0y = 0

על ציר ה-xx

2x−12=0 ⇒ x=6\begin{aligned}2x - 12 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

פותרים

(6, 0)(6,\,0)

הנקודה

מי שענה 44 הציב x=0x = 0 ומצא את החיתוך עם ציר ה-yy, שהוא (0, 4)(0,\,4). ציר ה-xx: y=0y = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו המצב ההדדי של הישרים y=12x+2y = \frac{1}{2}x + 2 ו-x−2y+4=0x - 2y + 4 = 0?

  1. נחתכים בנקודה אחת שאינה בזווית ישרה
  2. מאונכים
  3. מקבילים
  4. מתלכדים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מתלכדים

הפתרון:

−2y=−x−4 ⇒ y=12x+2\begin{aligned}-2y &= -x - 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x + 2\end{aligned}

מבודדים yy בישר השני

m1=m2=12b1=b2=2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad b_1 &= b_2 \\ &= 2\end{aligned}

אותו שיפוע ואותו bb

התשובה: מתלכדים. אותו שיפוע לבד היה אומר «מקבילים», אבל גם החיתוך עם ציר ה-yy זהה, ולכן זה אותו ישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהי משוואת הישר העובר דרך (8, 1)(8,\,1) ומאונך לישר y=4x−1y = 4x - 1?

  1. y=−14x+3y = -\frac{1}{4}x + 3
  2. y=−4x+33y = -4x + 33
  3. y=−14x+1y = -\frac{1}{4}x + 1
  4. y=14x−1y = \frac{1}{4}x - 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א y=−14x+3y = -\frac{1}{4}x + 3

הפתרון:

m⊥=−14m_{\perp} = -\frac{1}{4}

הופכי ונגדי ל-44

y−1=−14(x−8)y - 1 = -\frac{1}{4}(x - 8)

שיפוע ונקודה

y=−14x+2+1=−14x+3\begin{aligned}y &= -\frac{1}{4}x + 2 + 1 \\ &= -\frac{1}{4}x + 3\end{aligned}

פותחים סוגריים

−14⋅8+3=1-\frac{1}{4} \cdot 8 + 3 = 1

בדיקה ✓

התשובה: y=−14x+3y = -\frac{1}{4}x + 3. y=−4x+33y = -4x + 33 רק החליף סימן בלי להפוך. y=14x−1y = \frac{1}{4}x - 1 הפך בלי להחליף סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ישר עובר דרך הנקודה (2, 3)(2,\,3) ומקביל לישר y=−x+1y = -x + 1. באיזו נקודה הוא חותך את ציר ה-yy? רשמו את שיעור ה-yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

m=−1m = -1

מקבילים: אותו שיפוע

y−3=−(x−2) ⇒ y=−x+5\begin{aligned}y - 3 &= -(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 5\end{aligned}

שיפוע ונקודה

(0, 5)(0,\,5)

החיתוך עם ציר ה-yy הוא bb

השיפוע מגיע מהישר הנתון, הנקודה מהשאלה. ה-11 של הישר הנתון לא רלוונטי: מקבילים נבדלים בדיוק ב-bb.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הוכיחו או הפריכו: הישרים 2x−y+3=02x - y + 3 = 0 ו-x+2y−4=0x + 2y - 4 = 0 מאונכים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

y=2x+3 ⇒ m1=2\begin{aligned}y &= 2x + 3 \ \Rightarrow \ m_1 \\ &= 2\end{aligned}

מבודדים yy בראשון

2y=−x+4 ⇒ y=−12x+2 ⇒ m2=−12\begin{aligned}2y &= -x + 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{1}{2}x + 2 \ \Rightarrow \ m_2 \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

מבודדים yy בשני

2⋅(−12)=−12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

מכפלת השיפועים

הטענה נכונה. בצורה הכללית זה לא נראה: המקדמים 22 ו-11 לא אומרים כלום לפני הבידוד. אחרי הבידוד, המכפלה −1-1 מכריעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת