שיפוע ומשוואת הישר · גאומטריה אנליטית — נקודות, קטעים וישרים · כיתה י׳

ישר נבדל מישר אחר בשני דברים: כמה הוא תלול, ולאיזה כיוון הוא פונה. את שניהם מודד מספר אחד, השיפוע. לפני הנוסחה, שחקו עם שתי נקודות על ישר וראו מה נשאר קבוע.

\begin{aligned}m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{\Delta y}{\Delta x}\end{aligned}

השיפוע של הישר דרך $(x_1,\,y_1)$ ו- $(x_2,\,y_2)$

$\Delta$ (דלתא) פירושה «הפרש». חשוב לחסר באותו סדר למעלה ולמטה: אם למעלה זה $y_2 - y_1$ , למטה זה $x_2 - x_1$ . אם הופכים את הסדר בשניהם, השיפוע לא משתנה. אם הופכים רק באחד, הסימן מתהפך, וזו הטעות הנפוצה ביותר.

שיפוע לפי שתי נקודות

מצאו את שיפוע הישר העובר דרך $A(-2,\,5)$ ו- $B(4,\,-1)$ .

\begin{aligned}\Delta y &= -1 - 5 \\ &= -6\end{aligned}

ההפרש ב- $y$ , מ- $A$ ל- $B$

\begin{aligned}\Delta x &= 4 - (-2) \\ &= 6\end{aligned}

ההפרש ב- $x$ , גם מ- $A$ ל- $B$

\begin{aligned}m &= \frac{-6}{6} \\ &= -1\end{aligned}

הישר יורד: על כל צעד ימינה יורדים צעד אחד

הסימן של השיפוע

m > 0

הישר עולה משמאל לימין

m < 0

הישר יורד משמאל לימין

m = 0

הישר אופקי, מקביל לציר ה- $x$

\Delta x = 0

הישר אנכי, מקביל לציר ה- $y$ : השיפוע אינו מוגדר, כי אסור לחלק באפס

מהו שיפוע הישר העובר דרך $(1,\,5)$ ו- $(4,\,-1)$ ? האם הוא עולה או יורד?

להציג את התשובה והפתרון

$m = \frac{-1-5}{4-1} = \frac{-6}{3} = -2$ . השיפוע שלילי, ולכן הישר יורד.

השיפוע כטנגנס של זווית

הישר יוצר זווית $\alpha$ עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ . במשולש ישר הזווית של השיפוע, $\Delta y$ הוא הניצב שמול $\alpha$ ו- $\Delta x$ הוא הניצב שליד $\alpha$ . היחס ביניהם הוא בדיוק הטנגנס שלמדתם בכיתה ט:

m = \tan \alpha

$\alpha$ הזווית בין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $x$

כשהישר עולה, הזווית $\alpha$ חדה ו- $\tan \alpha = m$ . כשהישר יורד, מסתכלים על הזווית החדה $\beta$ שהישר יוצר עם ציר ה- $x$ : $\tan \beta = |m|$ , והשיפוע עצמו הוא $m = -\tan \beta$ . הסימן אומר את הכיוון, הטנגנס אומר את התלילות.

\begin{aligned}m &= 1 \ \Leftrightarrow \ \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

עולה, $\tan 45^\circ = 1$

\begin{aligned}m &= -1 \ \Leftrightarrow \ \beta \\ &= 45^\circ\end{aligned}

יורד, אותה תלילות, סימן הפוך

\begin{aligned}m &= \sqrt{3} \ \Leftrightarrow \ \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

תלול יותר: $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

\begin{aligned}m &= \frac{\sqrt{3}}{3} \ \Leftrightarrow \ \alpha \\ &= 30^\circ\end{aligned}

מתון: $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ישר יורד ויוצר זווית של $45^\circ$ עם ציר ה- $x$ . מהו שיפועו?

להציג את התשובה והפתרון

$-1$ . $\tan 45^\circ = 1$ , והישר יורד, ולכן השיפוע שלילי. הזווית נותנת את הגודל, הכיוון נותן את הסימן.

ישרים מקבילים לצירים

הישר הכחול

y = 3

: כל נקודה עליו בגובה

3

, השיפוע

0

. הישר הכתום

x = 2

: כל נקודה עליו עם

x = 2

, ואין לו שיפוע. הם נפגשים ב-

P(2,\,3)

y = b

ישר אופקי: כל הנקודות באותו גובה $b$ . השיפוע $0$ . ציר ה- $x$ עצמו הוא $y = 0$

x = a

ישר אנכי: כל הנקודות עם אותו $x$ . אין שיפוע. ציר ה- $y$ עצמו הוא $x = 0$

צורה מפורשת וצורה כללית

y = mx + b

הצורה המפורשת: $m$ השיפוע, $b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$

Ax + By + C = 0

הצורה הכללית: הכול באגף אחד, אפס בשני. גם ישר אנכי נכתב כך: $x - 2 = 0$

כדי לעבור מהצורה הכללית למפורשת, מבודדים את $y$ . למשל $3x + 2y - 6 = 0$ : מעבירים, $2y = -3x + 6$ , ומחלקים ב- $2$ : $y = -\frac{3}{2}x + 3$ . השיפוע הוא $-\frac{3}{2}$ ולא $3$ : המקדם של $x$ בצורה הכללית אינו השיפוע.

מהצורה המפורשת לצורה הכללית

כתבו את הישר $y = \frac{2}{3}x - 4$ בצורה הכללית.

3y = 2x - 12

כופלים ב- $3$ כדי להיפטר מהשבר

2x - 3y - 12 = 0

מעבירים הכול לאגף אחד

\begin{aligned}-3y &= -2x + 12 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{2}{3}x - 4\end{aligned}

בדיקה: מבודדים $y$ וחוזרים למקור ✓

מהם השיפוע ונקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ של הישר $4x + 2y - 8 = 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

מבודדים: $2y = -4x + 8$ , ולכן $y = -2x + 4$ . השיפוע $-2$ , החיתוך עם ציר ה- $y$ ב- $(0,\,4)$ . מי שקרא « $4$ » כשיפוע לא בודד את $y$ .

בכל שאלה על ישר בצורה הכללית, הצעד הראשון הוא לבודד את $y$ . רק בצורה המפורשת השיפוע ונקודת החיתוך נקראים ישירות.

שלוש הטעויות של השיפוע.

m = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

ההפרש ב- $y$ למעלה. שיפוע הוא «כמה עולים» חלקי «כמה מתקדמים».

m = \frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

אותו סדר למעלה ולמטה. סדר הפוך באחד מהם הופך את הסימן, וישר עולה נהיה יורד.

\begin{aligned}2x + 3y - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ m \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}y &= -\frac{2}{3}x + 2 \ \Rightarrow \ m \\ &= -\frac{2}{3}\end{aligned}

בצורה הכללית המקדם של $x$ אינו השיפוע. מבודדים את $y$ קודם.

תרגילים

תרגיל 1

מהו שיפוע הישר העובר דרך $(1, 1)$ ו- $(4, 7)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}m &= \frac{7-1}{4-1} \\ &= 2\end{aligned}

הפרש y חלקי הפרש x

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו שיפוע הישר העובר דרך $(-2,\,5)$ ו- $(4,\,-1)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

\begin{aligned}\Delta y &= -1 - 5 \\ &= -6\end{aligned}

ההפרש ב- $y$

\begin{aligned}\Delta x &= 4 - (-2) \\ &= 6\end{aligned}

ההפרש ב- $x$ , באותו סדר

\begin{aligned}m &= \frac{-6}{6} \\ &= -1\end{aligned}

השיפוע

מי שמקבל $1$ חיסר בסדר הפוך במונה או במכנה. הישר יורד, ולכן השיפוע חייב להיות שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזה מהישרים הבאים יורד?

$y = 3x - 2$
$y = 2$
$y = -3x + 2$
$x = 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y = -3x + 2$

הפתרון:

m = -3 < 0

שיפוע שלילי: יורד

\begin{aligned}m &= 3 \\ \quad m &= 0\end{aligned}

עולה, אופקי

x = 3

אנכי: אין שיפוע, לא עולה ולא יורד

התשובה: $y = -3x + 2$ . המספר החופשי $+2$ לא משפיע על הכיוון, רק על הגובה. $x = 3$ הוא ישר אנכי, ואי אפשר לומר עליו «יורד».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו שיפוע הישר $3x - 4y + 8 = 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

-4y = -3x - 8

מעבירים את $y$ לבד

y = \frac{3}{4}x + 2

מחלקים ב- $-4$ : שני הסימנים מתהפכים

\begin{aligned}m &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

השיפוע

מי שענה $3$ קרא את המקדם של $x$ בצורה הכללית. מי שענה $-\frac{3}{4}$ שכח שמחלקים ב- $-4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון הישר $5x + y - 7 = 0$ . השלימו.

השיפוע $m =$ ____ , החיתוך עם ציר ה- $y$ בנקודה $(0,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השיפוע $m =$ -5 , החיתוך עם ציר ה- $y$ בנקודה $(0,$ 7 $)$

הפתרון:

y = -5x + 7

מבודדים את $y$

\begin{aligned}m &= -5 \\ \qquad (0,\,7)\end{aligned}

קוראים מהצורה המפורשת

החיתוך עם ציר ה- $y$ נקרא רק אחרי הבידוד. בצורה הכללית ה- $-7$ נראה כמו $b$ , אבל הסימן שלו מתהפך במעבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ישר עובר דרך ראשית הצירים, עולה, ויוצר זווית של $45^\circ$ עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ . מהי משוואתו?

$x = 0$
$y = x$
$y = 45x$
$y = -x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y = x$

הפתרון:

\begin{aligned}m &= \tan 45^\circ \\ &= 1\end{aligned}

השיפוע מהזווית

b = 0

עובר דרך $(0,\,0)$

y = x

המשוואה

התשובה: $y = x$ . השיפוע הוא הטנגנס של הזווית, לא הזווית עצמה: $45$ אינו שיפוע. $y = -x$ יורד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ישר עולה יוצר זווית של $60^\circ$ עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ . מהו שיפועו? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.73

הפתרון:

\begin{aligned}m &= \tan 60^\circ \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

השיפוע הוא הטנגנס של הזווית

\sqrt{3} \approx 1.73

במחשבון

השיפוע הוא הטנגנס, לא הסינוס ולא הזווית. בדיקה הגיונית: $60^\circ$ תלול יותר מ- $45^\circ$ , ולכן השיפוע גדול מ- $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: השיפוע של הישר $x = 4$ הוא $0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(4,\,0),\ (4,\,5)

שתי נקודות על הישר: אותו $x$

\begin{aligned}\Delta x &= 4 - 4 \\ &= 0\end{aligned}

המכנה בנוסחת השיפוע מתאפס

m = \frac{5}{0}

לא מוגדר

הטענה לא נכונה. הישר $x = 4$ אנכי, ושיפוע אנכי אינו מוגדר. שיפוע $0$ יש לישר אופקי, כמו $y = 4$ . שני הישרים האלה מתבלבלים כל הזמן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהי הצורה הכללית של הישר $y = \frac{1}{2}x + 3$ ?

$x - 2y - 6 = 0$
$2x - y + 3 = 0$
$x - 2y + 6 = 0$
$x + 2y + 6 = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x - 2y + 6 = 0$

הפתרון:

2y = x + 6

כופלים ב- $2$

x - 2y + 6 = 0

מעבירים הכול לאגף אחד

\begin{aligned}-2y &= -x - 6 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x + 3\end{aligned}

בדיקה ✓

התשובה: $x - 2y + 6 = 0$ . אפשר לבדוק כל אפשרות בהצבת הנקודה $(0,\,3)$ : רק בנכונה מתקבל $0 - 6 + 6 = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו את הישרים לפי סימן השיפוע.

שיפוע חיובי: עולה
שיפוע שלילי: יורד

$2x - 3y = 0$
$3x - y + 2 = 0$
$x + y = 5$
$y = -0.5x$
$y = -x + 4$
$y = 2x - 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y = 2x - 1$ — שיפוע חיובי: עולה · $y = -x + 4$ — שיפוע שלילי: יורד · $3x - y + 2 = 0$ — שיפוע חיובי: עולה · $x + y = 5$ — שיפוע שלילי: יורד · $y = -0.5x$ — שיפוע שלילי: יורד · $2x - 3y = 0$ — שיפוע חיובי: עולה

הפתרון:

\begin{aligned}3x - y + 2 &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x + 2\end{aligned}

מבודדים: עולה

\begin{aligned}x + y &= 5 \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 5\end{aligned}

יורד

\begin{aligned}2x - 3y &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{2}{3}x\end{aligned}

עולה

בצורה הכללית אי אפשר לקרוא את הסימן ישירות: $3x - y + 2 = 0$ נראה עם מינוס, אבל אחרי הבידוד השיפוע חיובי. מבודדים קודם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הסימן של השיפוע

השיפוע כטנגנס של זווית

ישרים מקבילים לצירים

צורה מפורשת וצורה כללית

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev