נקודות, מרחק ואמצע · גאומטריה אנליטית — נקודות, קטעים וישרים · כיתה י׳

כל נקודה במישור מתוארת על ידי זוג סדור $(x,\,y)$ : קודם כמה הולכים ימינה או שמאלה, ואחר כך כמה עולים או יורדים. ברגע שיש לנו מספרים במקום נקודות, כל שאלה גאומטרית הופכת לחישוב. בפרק הזה נלמד לחשב שלושה דברים: מרחק בין שתי נקודות, אמצע של קטע, וממנו גם את הקצה השני של קטע.

מרחק על קטע מקביל לציר

כששתי נקודות נמצאות באותו גובה, כלומר אותו $y$ , הקטע ביניהן מקביל לציר ה- $x$ , והמרחק הוא פשוט ההפרש בין שיעורי ה- $x$ . כששיעורי ה- $x$ שווים, הקטע מקביל לציר ה- $y$ , והמרחק הוא ההפרש בין שיעורי ה- $y$ . מרחק הוא תמיד חיובי, ולכן לוקחים את ההפרש בערך מוחלט.

\begin{aligned}A(2,\,5) \\ \ B(7,\,5): \quad AB &= |7-2| \\ &= 5\end{aligned}

אותו $y$ : הקטע אופקי, מחסרים את ה- $x$

\begin{aligned}C(3,\,-1) \\ \ D(3,\,6): \quad CD &= |6-(-1)| \\ &= 7\end{aligned}

אותו $x$ : הקטע אנכי, מחסרים את ה- $y$

מהו המרחק בין $(-4,\,3)$ ל- $(5,\,3)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

9. אותו $y$ , ולכן $|5-(-4)| = 9$ . שימו לב: מינוס פחות מינוס הופך לפלוס.

המרחק הכללי: פיתגורס במערכת צירים

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

המרחק בין $(x_1,\,y_1)$ ל- $(x_2,\,y_2)$

זהו משפט פיתגורס, לא נוסחה חדשה: ההפרש האופקי והאנכי הם הניצבים, והמרחק הוא היתר. הסדר של החיסור לא משנה, כי ההפרש מועלה בריבוע. התוצאה נשארת מדויקת: אם יוצא $\sqrt{13}$ , כותבים $\sqrt{13}$ ולא $3.61$ .

מרחק בין שתי נקודות

מצאו את המרחק בין $A(-1,\,2)$ ל- $B(5,\,-6)$ .

\begin{aligned}x_2 - x_1 &= 5 - (-1) \\ &= 6\end{aligned}

ההפרש האופקי

\begin{aligned}y_2 - y_1 &= -6 - 2 \\ &= -8\end{aligned}

ההפרש האנכי, ולא נורא שהוא שלילי

\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2 + (-8)^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס

מהו המרחק בין $(2,\,3)$ ל- $(5,\,7)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

5. ההפרשים הם 3 ו-4, ו- $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ . השלשה $3,\,4,\,5$ חוזרת בפרק הזה שוב ושוב.

אמצע קטע

M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2} \right)

אמצע הקטע שקצותיו $(x_1,\,y_1)$ ו- $(x_2,\,y_2)$

M(2,\,3)

הוא אמצע הקטע

AB

\frac{-2+6}{2} = 2

ו-

\frac{1+5}{2} = 3

. ממוצע בכל ציר בנפרד.

האמצע הוא הממוצע של שיעורי ה- $x$ ובנפרד הממוצע של שיעורי ה- $y$ . בנוסחת האמצע מחברים, בנוסחת המרחק מחסרים: זה ההבדל שהכי קל להתבלבל בו.

הקצה השני, כשידוע האמצע

לפעמים נתונים קצה אחד $A$ והאמצע $M$ , ומחפשים את הקצה השני $B$ . מהנוסחה $\frac{x_A + x_B}{2} = x_M$ מקבלים $x_B = 2x_M - x_A$ , וכך גם ל- $y$ . במילים: פעמיים האמצע, פחות הקצה הידוע.

\begin{aligned}x_B &= 2x_M - x_A \\ \qquad y_B &= 2y_M - y_A\end{aligned}

הקצה השני של קטע

$M(3,\,1)$ הוא אמצע הקטע $AB$ , ו- $A(1,\,4)$ . מצאו את $B$ .

\begin{aligned}x_B &= 2 \cdot 3 - 1 \\ &= 5\end{aligned}

פעמיים האמצע פחות הקצה

\begin{aligned}y_B &= 2 \cdot 1 - 4 \\ &= -2\end{aligned}

אותו דבר ב- $y$

\begin{aligned}M &= \left( \frac{1+5}{2},\ \frac{4+(-2)}{2} \right) \\ &= (3,\,1)\end{aligned}

בדיקה: האמצע של $A$ ו- $B$ הוא באמת $M$ ✓

$M(0,\,5)$ הוא אמצע הקטע $AB$ , ו- $A(-3,\,2)$ . מהו $B$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$B(3,\,8)$ . $x_B = 2 \cdot 0 - (-3) = 3$ ו- $y_B = 2 \cdot 5 - 2 = 8$ . בדיקה: הממוצע של $-3$ ו- $3$ הוא $0$ , והממוצע של $2$ ו- $8$ הוא $5$ .

בכל שאלה של «קצה שני» בדקו בסוף שהאמצע של הנקודה שמצאתם ושל הקצה הנתון הוא באמת $M$ . הבדיקה לוקחת עשר שניות ותופסת כל טעות סימן.

שלוש הטעויות של המרחק והאמצע.

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2} + \sqrt{(y_2-y_1)^2}

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

שורש של סכום אינו סכום של שורשים. בדיקה עם $3$ ו- $4$ : $\sqrt{9+16} = 5$ , אבל $3 + 4 = 7$ .

M = \left( \frac{x_2-x_1}{2},\ \frac{y_2-y_1}{2} \right)

M = \left( \frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2} \right)

באמצע מחברים. הפרש חלקי שתיים הוא חצי מהאורך, לא מיקום של נקודה.

x_B = x_M - x_A

x_B = 2x_M - x_A

האמצע צריך להיכפל ב- $2$ . בדיקה: אם $A = 1$ ו- $M = 3$ , הקצה השני הוא $5$ , לא $2$ .

תרגילים

תרגיל 1

מהו המרחק בין $(1,\, 2)$ ל- $(4,\, 6)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\sqrt{3^2 + 4^2}

הפרשים 3 ו-4

= \sqrt{25} = 5

פיתגורס

המרחק הוא היתר של משולש ההפרשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונות הנקודות $A(-3,\,4)$ ו- $B(5,\,4)$ . מהו אורך הקטע $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}y_A &= y_B \\ &= 4\end{aligned}

אותו $y$ : הקטע מקביל לציר ה- $x$

\begin{aligned}AB &= |5 - (-3)| \\ &= 8\end{aligned}

ההפרש בין שיעורי ה- $x$ בערך מוחלט

כשהקטע מקביל לציר, אין צורך בשורש: ההפרש האנכי הוא $0$ . מי שמחשב $5 - 3 = 2$ שכח את סימן המינוס של $-3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו אמצע הקטע שבין $(2,\, 4)$ ל- $(8,\, 10)$ ?

$(6,\, 6)$
$(10,\, 14)$
$(5,\, 7)$
$(4,\, 5)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $(5,\, 7)$

הפתרון:

\frac{2+8}{2} = 5

ממוצע ה- $x$

\frac{4+10}{2} = 7

וממוצע ה- $y$

ממוצע בנפרד בכל ציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו המרחק בין $C(-2,\,1)$ ל- $D(4,\,-7)$ ?

$14$
$\sqrt{28}$
$10$
$6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $10$

הפתרון:

\begin{aligned}x_D - x_C &= 4 - (-2) \\ &= 6\end{aligned}

ההפרש האופקי

\begin{aligned}y_D - y_C &= -7 - 1 \\ &= -8\end{aligned}

ההפרש האנכי

\begin{aligned}CD &= \sqrt{6^2 + (-8)^2} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס

התשובה: 10. $\sqrt{28}$ מתקבל ממי שלא העלה בריבוע ( $6 + 8 + 14$ בסך הכול לא מופיע בשום נוסחה). $14$ הוא סכום ההפרשים, לא המרחק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו המרחק בין $E(1,\,2)$ ל- $G(4,\,4)$ ? תנו תשובה מדויקת.

$\sqrt{5}$
$\sqrt{13}$
$13$
$5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\sqrt{13}$

הפתרון:

\begin{aligned}4 - 1 &= 3 \\ \qquad 4 - 2 &= 2\end{aligned}

שני ההפרשים

\begin{aligned}EG &= \sqrt{3^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{13}\end{aligned}

פיתגורס, והשורש נשאר

התשובה: $\sqrt{13}$ . $13$ הוא ריבוע המרחק, לא המרחק. $\sqrt{5}$ מתקבל ממי שחיבר $3 + 2$ במקום $9 + 4$ . כשהשורש לא יוצא שלם, משאירים אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$M(2,\,2)$ הוא אמצע הקטע $AB$ , ו- $A(-1,\,6)$ . מצאו את $B$ .

$B($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $B($ 5 $,$ -2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}x_B &= 2 \cdot 2 - (-1) \\ &= 5\end{aligned}

פעמיים האמצע פחות הקצה

\begin{aligned}y_B &= 2 \cdot 2 - 6 \\ &= -2\end{aligned}

אותו דבר ב- $y$

\left( \frac{-1+5}{2},\ \frac{6-2}{2} \right) = (2,\,2)

בדיקה ✓

מי שמקבל $(3,\,-4)$ חישב $M - A$ ושכח להכפיל את האמצע ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: הנקודה $C(1,\,4)$ נמצאת במרחקים שווים מ- $A(-2,\,0)$ ומ- $B(4,\,0)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}CA &= \sqrt{(1-(-2))^2 + (4-0)^2} \\ &= \sqrt{9+16} \\ &= 5\end{aligned}

המרחק מ- $A$

\begin{aligned}CB &= \sqrt{(4-1)^2 + (0-4)^2} \\ &= \sqrt{9+16} \\ &= 5\end{aligned}

המרחק מ- $B$

הטענה נכונה. שני המרחקים שווים ל- $5$ . $C$ נמצאת בדיוק מעל אמצע הקטע $AB$ , שהוא $(1,\,0)$ , ולכן המשולש $ABC$ שווה שוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$M$ הוא אמצע הקטע $AB$ , כאשר $A(-2,\,7)$ ו- $B(8,\,1)$ . מהו המרחק של $M$ מראשית הצירים $O(0,\,0)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \left( \frac{-2+8}{2},\ \frac{7+1}{2} \right) \\ &= (3,\,4)\end{aligned}

קודם האמצע

\begin{aligned}OM &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= 5\end{aligned}

ואז המרחק מהראשית

שני שלבים, ובכל אחד נוסחה אחרת: באמצע מחברים, במרחק מחסרים ומעלים בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(6,\,8)$ . מהו היקף המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= |6 - 0| \\ &= 6\end{aligned}

אותו $y$ : קטע אופקי

\begin{aligned}BC &= |8 - 0| \\ &= 8\end{aligned}

אותו $x$ : קטע אנכי

\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס

6 + 8 + 10 = 24

היקף

שתי צלעות מקבילות לצירים, ולכן רק לצלע השלישית צריך את הנוסחה המלאה. המשולש ישר זווית ב- $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה משולבת — משולש, אמצעים ומקבילית

תרגיל 10

בשרטוט מתואר המשולש $ABC$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והצלע $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ . נתון $A(8, 7)$ ו- $AB = 10$ . שיעור ה- $y$ של הנקודה $B$ קטן מ- $7$ . א. מצאו את שיעורי הנקודה $B$ .

$B =$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $B =$ ( 0 , 1 )

הפתרון:

\begin{aligned}B(0, y) \\ \quad AB &= 10\end{aligned}

$B$ על ציר ה- $y$

(8 - 0)^2 + (7 - y)^2 = 100

נוסחת המרחק בריבוע

\begin{aligned}(7 - y)^2 &= 36 \Rightarrow 7 - y \\ &= \pm 6\end{aligned}

שני פתרונות: $y = 1$ או $y = 13$

y_B < 7 \Rightarrow B(0, 1)

התנאי בוחר אחד

$B(0, 1)$ . המשולש $6$ - $8$ - $10$ מסתתר כאן: הפרש ה- $x$ הוא $8$ והפרש ה- $y$ הוא $6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בשרטוט מתואר המשולש $ABC$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והצלע $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ . נתון $A(8, 7)$ ו- $AB = 10$ . נמצא $B(0, 1)$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $BC$ , והיא נמצאת על ציר ה- $x$ . ב. מצאו את שיעורי הנקודות $C$ ו- $E$ .

$C =$ ( ____ , ____ ) , $E =$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C =$ ( 8 , -1 ) , $E =$ ( 4 , 0 )

הפתרון:

\begin{aligned}x_C &= x_A \\ &= 8\end{aligned}

$AC$ מקבילה לציר ה- $y$

\begin{aligned}\frac{1 + y_C}{2} &= 0 \Rightarrow y_C \\ &= -1\end{aligned}

$E$ על ציר ה- $x$ : שיעור ה- $y$ שלה $0$

\begin{aligned}E &= \left(\frac{0 + 8}{2}, 0\right) \\ &= (4, 0)\end{aligned}

אמצע $BC$

$C(8, -1)$ ו- $E(4, 0)$ . הנתון ש- $E$ על ציר ה- $x$ קובע את $y_C$ , והנתון ש- $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ קובע את $x_C$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בשרטוט מתואר המשולש $ABC$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והצלע $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ . נתון $A(8, 7)$ ו- $AB = 10$ . נמצא $B(0, 1)$ , $C(8, -1)$ ו- $E(4, 0)$ אמצע $BC$ . הנקודה $D$ היא אמצע הצלע $AC$ . דרך $E$ מעבירים ישר המקביל לציר ה- $y$ , והוא חותך את הצלע $AB$ בנקודה $F$ . ג. (1) הוכיחו: המרובע $FADE$ הוא מקבילית.

$D$ אמצע $AC$ , $E$ אמצע $BC$
$EF \parallel$ ציר ה- $y$ , $F$ על $AB$
$AC \parallel$ ציר ה- $y$

$FADE$ מקבילית

להציג את התשובה והפתרון

$FE \parallel AD$ — שני ישרים המקבילים לציר ה- $y$ מקבילים זה לזה
$DE \parallel AB$ — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
$FADE$ מקבילית — מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית

הפתרון:

\begin{aligned}FE:\ x &= 4 \\ \quad AD:\ x &= 8\end{aligned}

שני ישרים אנכיים: מקבילים

\begin{aligned}m_{DE} &= \frac{3 - 0}{8 - 4} \\ &= \frac{3}{4} \\ &= m_{AB}\end{aligned}

D(8, 3); בדיקה בשיפועים ✓

FE \parallel AD ,\quad DE \parallel AF

שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות: $FADE$ מקבילית

$DE$ הוא קטע אמצעים במשולש $ABC$ (מחבר את אמצעי $AC$ ו- $BC$ ), ולכן מקביל ל- $AB$ — ובפרט לקטע $AF$ שעליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בשרטוט מתואר המשולש $ABC$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והצלע $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ . נתון $A(8, 7)$ ו- $AB = 10$ . נמצא $B(0, 1)$ , $C(8, -1)$ , $E(4, 0)$ , $D(8, 3)$ , ו- $FADE$ מקבילית ( $F$ על $AB$ , $FE$ מקביל לציר ה- $y$ ). ג. (2) חשבו את שטח המקבילית $FADE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{7 - 1}{8 - 0} \\ &= \frac{3}{4} \\ \quad y &= \frac{3}{4}x + 1\end{aligned}

משוואת $AB$

\begin{aligned}x &= 4 \Rightarrow y \\ &= 4 \\ \quad F(4, 4)\end{aligned}

$F$ על $AB$ ועל הישר $x = 4$

\begin{aligned}AD &= 7 - 3 \\ &= 4\end{aligned}

הבסיס, על הישר $x = 8$

\begin{aligned}h &= 8 - 4 \\ &= 4 \Rightarrow S \\ &= 4 \cdot 4 \\ &= 16\end{aligned}

הגובה: המרחק בין הישרים $x = 4$ ו- $x = 8$

השטח $16$ יח״ר. בסיס כפול הגובה אליו — לא מכפלת שתי צלעות סמוכות ( $4 \cdot 5 = 20$ ), כי המקבילית אינה מלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בשרטוט מתואר המשולש $ABC$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והצלע $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ . נתון $A(8, 7)$ ו- $AB = 10$ . נמצא $E(4, 0)$ , $D(8, 3)$ ו- $F(4, 4)$ . ד. מצאו את גודל הזווית $\angle DEF$ (במעלות, דיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53.13

הפתרון:

H(8, 0)

מורידים אנך מ- $D$ לציר ה- $x$

\begin{aligned}EH &= 4 \\ \quad DH &= 3\end{aligned}

הניצבים של המשולש $EHD$

\tan \angle DEH = \frac{3}{4} \Rightarrow \angle DEH \approx 36.87^\circ

הזווית בין $ED$ לציר ה- $x$

\begin{aligned}\angle DEF &= 90^\circ - 36.87^\circ \\ &= 53.13^\circ\end{aligned}

$EF$ אנכי, מאונך לציר ה- $x$

$\angle DEF \approx 53.13^\circ$ . דרך אחרת: $\tan \angle DEF = \frac{4}{3}$ , כי ההפרש האופקי מ- $E$ ל- $D$ הוא $4$ וההפרש האנכי $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מרחק על קטע מקביל לציר

המרחק הכללי: פיתגורס במערכת צירים

אמצע קטע

הקצה השני, כשידוע האמצע

תרגילים

חזרה משולבת — משולש, אמצעים ומקבילית

השיעור הבא מחכה ב-elev