Solving together · Analytic geometry: points, segments and lines · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: משולש עם תיכון וגובה, מקבילית והקודקוד הרביעי, ישר מאונך ומרחק מנקודה לישר, ישר והצירים, ואנך אמצעי. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. ובכל שלב שאלו: מרחק, אמצע או שיפוע? בפרק הזה כל שאלה היא שרשרת של שלושת הכלים האלה.

1 — משולש: אמצע, תיכון, גובה ואורך

Interactive activity

נתון המשולש $ABC$ : $A(-3,\,0)$ , $B(5,\,4)$ , $C(3,\,6)$ . א. מצאו את $M$ , אמצע הצלע $AB$ . ב. מצאו את משוואת התיכון $CM$ . ג. מצאו את משוואת הגובה מ- $C$ לצלע $AB$ . ד. חשבו את אורך הצלע $AB$ .

A(-3,\,0),\quad B(5,\,4),\quad C(3,\,6)

לחצו «להתחיל». התיכון מתחיל מהאמצע, הגובה מתחיל מהשיפוע.

א. אמצע

\begin{aligned}M &= \left( \frac{-3+5}{2},\ \frac{0+4}{2} \right) \\ &= (1,\,2)\end{aligned}

ממוצע בכל ציר.

ב. שיפוע

\begin{aligned}m_{CM} &= \frac{6 - 2}{3 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע דרך $C$ ו- $M$ .

ב. תיכון

\begin{aligned}y - 6 &= 2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x\end{aligned}

שיפוע ונקודה. בדיקה: $M(1,\,2)$ מקיים $2 \cdot 1 = 2$ ✓

ג. שיפוע AB

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4 - 0}{5 - (-3)} \\ &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הגובה מאונך ל- $AB$ , ולכן קודם השיפוע של $AB$ .

ג. גובה

\begin{aligned}m_{\perp} &= -2 \ \Rightarrow \ y - 6 \\ &= -2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 12\end{aligned}

הופכי ונגדי, דרך $C$ .

ד. אורך

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{80} \\ &= 4\sqrt{5}\end{aligned}

נוסחת המרחק, ותשובה מדויקת.

התיכון $y = 2x$ והגובה $y = -2x + 12$ הם ישרים שונים. זה אומר משהו על המשולש, וזו השאלה הבאה.

Do the activity on elev

התיכון והגובה מ- $C$ יצאו שונים. מה זה אומר על המשולש?

Show the answer and the solution

שהוא אינו שווה שוקיים עם הראש ב- $C$ . בדיקה: $CA = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72}$ ו- $CB = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$ , באמת שונים. אילו $CA = CB$ , התיכון היה גם הגובה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מקבילית: הקודקוד הרביעי, ומה הצורה

Interactive activity

$ABCD$ מקבילית. $A(1,\,1)$ , $B(7,\,3)$ , $C(9,\,7)$ .

$ABCD$ מקבילית, $A(1,\,1)$ , $B(7,\,3)$ , $C(9,\,7)$ . א. מצאו את הקודקוד $D$ . ב. האם $ABCD$ מלבן? נמקו.

$D(3,\,5)$ , ולא מלבן

$D(3,\,5)$ , מלבן

$D(5,\,4)$ , ולא מלבן

$D(15,\,9)$ , מלבן

איך מוצאים את $D$ ?

האלכסונים חוצים זה את זה: אמצע $BD$ שווה לאמצע $AC$

Show the answer and the solution

תכונת המקבילית, ומכאן $D = A + C - B$ .

$D$ הוא אמצע הקטע $AC$

Show the answer and the solution

אמצע $AC$ הוא נקודת מפגש האלכסונים, לא קודקוד.

\begin{aligned}M_{AC} &= \left( \frac{1+9}{2},\ \frac{1+7}{2} \right) \\ &= (5,\,4)\end{aligned}

אמצע האלכסון $AC$

מהו $D$ ?

$x_D = 2 \cdot 5 - 7 = 3$ , $y_D = 2 \cdot 4 - 3 = 5$

Show the answer and the solution

פעמיים האמצע פחות $B$ : הקצה השני של $BD$ .

$x_D = 7 - 5 = 2$ , $y_D = 3 - 4 = -1$

Show the answer and the solution

זה $B - M$ , לא $2M - B$ . בדיקה: האמצע של $B$ ושל $(2,\,-1)$ אינו $(5,\,4)$ .

D = (3,\,5)

בדיקה: $m_{AB} = \frac{1}{3} = m_{DC}$ ✓

איך בודקים אם זה מלבן?

בודקים אם $AB \perp AD$ : מכפלת השיפועים

Show the answer and the solution

מלבן הוא מקבילית עם זווית ישרה.

בודקים אם $AB = AD$

Show the answer and the solution

צלעות סמוכות שוות זה מעוין, לא מלבן.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3-1}{7-1} \\ &= \frac{1}{3} \\ \quad m_{AD} &= \frac{5-1}{3-1} \\ &= 2 \\ \quad \frac{1}{3} \cdot 2 &= \frac{2}{3} \neq -1\end{aligned}

אין זווית ישרה

Show the answer and the solution

$D(3,\,5)$ , ולא מלבן. דרך נוספת לשלול מלבן: במלבן האלכסונים שווים, וכאן $AC = \sqrt{64+36} = 10$ אבל $BD = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$ .

Do the activity on elev

האם $ABCD$ מעוין?

Show the answer and the solution

לא. $AB = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$ ו- $AD = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ : צלעות סמוכות שונות. נשארת מקבילית רגילה.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — ישר, מאונך אליו, והמרחק מנקודה לישר

Interactive activity

נתונות הנקודות $A(1,\,2)$ , $B(5,\,10)$ ו- $C(8,\,1)$ . א. מצאו את משוואת הישר $AB$ . ב. מצאו את משוואת הישר העובר דרך $C$ ומאונך ל- $AB$ . ג. מצאו את נקודת החיתוך $D$ של שני הישרים. ד. חשבו את המרחק מ- $C$ לישר $AB$ .

A(1,\,2),\quad B(5,\,10),\quad C(8,\,1)

לחצו «להתחיל». המרחק מנקודה לישר נמדד לאורך האנך: זו הסיבה לסעיפים ב ו-ג.

א. שיפוע

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{10 - 2}{5 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

משתי הנקודות.

א. ישר

\begin{aligned}y - 2 &= 2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x\end{aligned}

בדיקה עם $B$ : $2 \cdot 5 = 10$ ✓

ב. מאונך

\begin{aligned}m_{\perp} &= -\frac{1}{2} \ \Rightarrow \ y - 1 \\ &= -\frac{1}{2}(x - 8) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{1}{2}x + 5\end{aligned}

הופכי ונגדי, דרך $C$ .

ג. חיתוך

\begin{aligned}2x &= -\frac{1}{2}x + 5 \ \Rightarrow \ \frac{5}{2}x \\ &= 5 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ y &= 4\end{aligned}

$D(2,\,4)$ . בדיקה בישר השני: $-1 + 5 = 4$ ✓

ד. מרחק

\begin{aligned}CD &= \sqrt{(8-2)^2 + (1-4)^2} \\ &= \sqrt{36 + 9} \\ &= \sqrt{45} \\ &= 3\sqrt{5}\end{aligned}

המרחק מ- $C$ לישר הוא אורך האנך $CD$ .

ארבעה סעיפים, ארבעה כלים: שיפוע, מאונך, חיתוך, מרחק. כל סעיף משתמש בתוצאה של הקודם.

Do the activity on elev

למה המרחק מ- $C$ לישר נמדד דווקא עד $D$ , ולא עד $A$ או עד $B$ ?

Show the answer and the solution

כי $D$ היא הנקודה הקרובה ביותר ל- $C$ על הישר. כל נקודה אחרת על הישר יוצרת עם $C$ ו- $D$ משולש ישר זווית, שבו $CD$ ניצב והקטע האחר הוא היתר, וגדול יותר. בדיקה: $CA = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} > \sqrt{45}$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — ישר והצירים: חיתוכים, שטח ואורך

Interactive activity

הישר $3x + 4y - 12 = 0$ והצירים

הישר $3x + 4y - 12 = 0$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . א. מצאו את $A$ ואת $B$ . ב. חשבו את שטח המשולש $AOB$ , כאשר $O$ ראשית הצירים. ג. חשבו את אורך $AB$ . ד. האם הנקודה $(2,\,1.5)$ נמצאת על הישר?

$A(4,\,0)$ , $B(0,\,3)$ , שטח $6$ , $AB = 5$ , כן

$A(0,\,4)$ , $B(3,\,0)$ , שטח $12$ , $AB = 5$ , כן

$A(4,\,0)$ , $B(0,\,3)$ , שטח $12$ , $AB = 7$ , לא

$A(12,\,0)$ , $B(0,\,12)$ , שטח $72$ , $AB = 12\sqrt{2}$ , לא

איך מוצאים את $A$ , החיתוך עם ציר ה- $x$ ?

מציבים $y = 0$

Show the answer and the solution

כל נקודה על ציר ה- $x$ היא בגובה $0$ .

מציבים $x = 0$

Show the answer and the solution

זה נותן את החיתוך עם ציר ה- $y$ .

\begin{aligned}3x - 12 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \ \Rightarrow \ A(4,\,0)\end{aligned}

ובאותו אופן $x = 0$ : $4y = 12$ , $B(0,\,3)$

מה שטח המשולש $AOB$ ?

$\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$

Show the answer and the solution

ניצבים $OA = 4$ ו- $OB = 3$ , זווית ישרה ב- $O$ .

$4 \cdot 3 = 12$

Show the answer and the solution

זה שטח מלבן. במשולש מחלקים ב- $2$ .

\begin{aligned}S &= \frac{OA \cdot OB}{2} \\ &= \frac{4 \cdot 3}{2} \\ &= 6\end{aligned}

המשולש ישר זווית, כי הצירים מאונכים

מה אורך $AB$ ?

$\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

Show the answer and the solution

נוסחת המרחק, או פיתגורס על הניצבים.

$4 + 3 = 7$

Show the answer and the solution

זה סכום הניצבים, לא היתר.

\begin{aligned}AB &= \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} \\ &= 5\end{aligned}

השלשה $3,\,4,\,5$

האם $(2,\,1.5)$ על הישר?

מציבים במשוואה ובודקים אם מתקבל $0$

Show the answer and the solution

נקודה על הישר מקיימת את משוואתו.

בודקים אם $2 + 1.5 = 12$

Show the answer and the solution

צריך להציב עם המקדמים: $3 \cdot 2 + 4 \cdot 1.5$ .

\begin{aligned}3 \cdot 2 + 4 \cdot 1.5 - 12 &= 6 + 6 - 12 \\ &= 0\end{aligned}

כן, הנקודה על הישר

Show the answer and the solution

$A(4,\,0)$ , $B(0,\,3)$ , שטח $6$ , $AB = 5$ , וכן. הטעות הנפוצה בסעיף א היא להחליף בין הצירים: $A$ על ציר ה- $x$ נראה $(4,\,0)$ , עם $y = 0$ .

Do the activity on elev

מה מיוחד בנקודה $(2,\,1.5)$ ?

Show the answer and the solution

היא אמצע הקטע $AB$ : $\frac{4+0}{2} = 2$ ו- $\frac{0+3}{2} = 1.5$ . אמצע של קטע תמיד נמצא על הישר של הקטע, ולכן היה אפשר לענות על סעיף ד בלי הצבה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — האנך האמצעי של קטע

Interactive activity

נתונות הנקודות $A(-2,\,3)$ ו- $B(4,\,-1)$ . א. מצאו את $M$ , אמצע $AB$ . ב. מצאו את משוואת הישר העובר דרך $M$ ומאונך ל- $AB$ (האנך האמצעי). ג. מצאו את נקודת החיתוך $P$ של ישר זה עם ציר ה- $y$ . ד. הראו ש- $PA = PB$ .

A(-2,\,3),\quad B(4,\,-1)

לחצו «להתחיל». האנך האמצעי צריך שני דברים: נקודה (האמצע) ושיפוע (מאונך).

א. אמצע

\begin{aligned}M &= \left( \frac{-2+4}{2},\ \frac{3+(-1)}{2} \right) \\ &= (1,\,1)\end{aligned}

ממוצע בכל ציר.

ב. שיפוע AB

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-1 - 3}{4 - (-2)} \\ &= \frac{-4}{6} \\ &= -\frac{2}{3}\end{aligned}

השיפוע של הקטע עצמו.

ב. אנך

\begin{aligned}m_{\perp} &= \frac{3}{2} \ \Rightarrow \ y - 1 \\ &= \frac{3}{2}(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\end{aligned}

הופכי ונגדי, דרך $M$ .

ג. ציר y

x = 0 \ \Rightarrow \ P\left(0,\,-\frac{1}{2}\right)

מציבים $x = 0$ .

ד. מרחקים

\begin{aligned}PA^2 &= 2^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 \\ &= \frac{65}{4} \\ \qquad PB^2 &= 4^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= \frac{65}{4}\end{aligned}

שווים, ולכן $PA = PB$ . די להשוות את הריבועים.

$PA = PB$ אינו מקרה: כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים משני קצות הקטע. את המשפט הזה תפגשו שוב בפרק על הקווים המיוחדים במשולש.

Do the activity on elev

האם היה אפשר לדעת מראש, בלי חישוב, שהמרחקים בסעיף ד שווים?

Show the answer and the solution

כן. $P$ נמצאת על האנך האמצעי של $AB$ , וכל נקודה עליו במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ . החישוב בסעיף ד רק מאמת את המשפט על מקרה אחד.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1,\,0)$ , $B(7,\,4)$ , $C(1,\,6)$ . $M$ אמצע $AB$ . מצאו את משוואת התיכון $CM$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ -2 $x +$ 8

Worked solution:

\begin{aligned}M &= \left( \frac{-1+7}{2},\ \frac{0+4}{2} \right) \\ &= (3,\,2)\end{aligned}

אמצע $AB$

\begin{aligned}m_{CM} &= \frac{2 - 6}{3 - 1} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע דרך $C$ ו- $M$

\begin{aligned}y - 6 &= -2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 8\end{aligned}

שיפוע ונקודה

-2 \cdot 3 + 8 = 2

בדיקה עם $M$ ✓

תיכון: אמצע ואז שתי נקודות. השיפוע $\frac{1}{2}$ הוא של הצלע $AB$ עצמה, לא של התיכון. וכאן $CA = CB = \sqrt{40}$ , ולכן $CM$ הוא גם הגובה: $-2 \cdot \frac{1}{2} = -1$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

$ABCD$ מקבילית. $A(-2,\,1)$ , $B(4,\,3)$ , $C(6,\,7)$ . מצאו את הקודקוד $D$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $D($ 0 $,$ 5 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}M_{AC} &= \left( \frac{-2+6}{2},\ \frac{1+7}{2} \right) \\ &= (2,\,4)\end{aligned}

אמצע האלכסון $AC$

\begin{aligned}x_D &= 2 \cdot 2 - 4 \\ &= 0 \\ \quad y_D &= 2 \cdot 4 - 3 \\ &= 5\end{aligned}

הקצה השני של $BD$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1}{3} \\ &= m_{DC}\end{aligned}

בדיקה: $AB \parallel DC$ ✓

$D = A + C - B$ בכל קואורדינטה. מי שחישב $B + C - A$ קיבל $(12,\,9)$ , קודקוד של מקבילית אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונות הנקודות $A(0,\,2)$ , $B(3,\,5)$ ו- $C(6,\,0)$ . מצאו את נקודת החיתוך של הישר $AB$ עם הישר העובר דרך $C$ ומאונך ל- $AB$ .

$($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ 2 $,$ 4 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{5 - 2}{3 - 0} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ y \\ &= x + 2\end{aligned}

הישר $AB$ : $A$ על ציר ה- $y$ , ולכן $b = 2$

\begin{aligned}m_{\perp} &= -1 \ \Rightarrow \ y - 0 \\ &= -(x - 6) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 6\end{aligned}

המאונך דרך $C$

\begin{aligned}x + 2 &= -x + 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ y &= 4\end{aligned}

חיתוך

המאונך לשיפוע $1$ הוא שיפוע $-1$ : הופכי של $1$ הוא $1$ , ונשאר רק להחליף סימן.

Check the answer on elev

Exercise 4

הישר $2x + 5y - 10 = 0$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . חשבו את שטח המשולש $AOB$ , כאשר $O$ ראשית הצירים.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= 10 \ \Rightarrow \ A(5,\,0)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ 5y \\ &= 10 \ \Rightarrow \ B(0,\,2)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 2}{2} \\ &= 5\end{aligned}

משולש ישר זווית ב- $O$

הניצבים הם המרחקים מהראשית, $5$ ו- $2$ . שטח משולש מחלקים ב- $2$ : $10$ הוא שטח המלבן.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונות הנקודות $A(1,\,5)$ ו- $B(5,\,1)$ . מצאו את משוואת האנך האמצעי של $AB$ , כלומר הישר העובר דרך אמצע $AB$ ומאונך לו.

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ 1 $x +$ 0

Worked solution:

\begin{aligned}M &= \left( \frac{1+5}{2},\ \frac{5+1}{2} \right) \\ &= (3,\,3)\end{aligned}

אמצע $AB$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1 - 5}{5 - 1} \\ &= -1 \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= 1\end{aligned}

הופכי ונגדי

\begin{aligned}y - 3 &= 1 \cdot (x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= x\end{aligned}

דרך $M$

המשוואה היא $y = x + 0$ : $b = 0$ הוא תשובה לגיטימית. הישר עובר דרך הראשית, כי $O$ נמצאת במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ : $\sqrt{26}$ בשניהם.

Check the answer on elev

1 — משולש: אמצע, תיכון, גובה ואורך

2 — מקבילית: הקודקוד הרביעי, ומה הצורה

3 — ישר, מאונך אליו, והמרחק מנקודה לישר

4 — ישר והצירים: חיתוכים, שטח ואורך

5 — האנך האמצעי של קטע

Exercises

Keep practising on elev