Triangles and quadrilaterals in coordinates

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

משולש נתון על ידי שלושת קודקודיו, ומרובע על ידי ארבעת קודקודיו. ברגע שיש קואורדינטות, כל מה שלמדנו בפרק מתחבר: מרחק נותן אורכי צלעות, אמצע נותן תיכון, שיפוע נותן מקבילות וניצבות. זה הפורמט של שאלת הבגרות: משולש או מרובע בקואורדינטות, ושרשרת קצרה של חישובים.

המשולש ABCABC: A(−2, 1)A(-2,\,1), B(6, 1)B(6,\,1), C(2, 7)C(2,\,7). הצלע ABAB אופקית ואורכה 88. AC=BC=16+36=213AC = BC = \sqrt{16 + 36} = 2\sqrt{13}: המשולש שווה שוקיים, וזה נקבע בחישוב, לא במבט.

אורכי צלעות וסוג המשולש

מחשבים את שלוש הצלעות בנוסחת המרחק. שתי צלעות שוות: שווה שוקיים. שלוש שוות: שווה צלעות. ישר זווית: או שמשפט פיתגורס ההפוך מתקיים, a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, או ששתי צלעות מאונכות, כלומר מכפלת השיפועים שלהן −1-1. הדרך של השיפועים קצרה יותר, ומראה גם איפה הזווית הישרה.

משולש ישר זווית, בשתי דרכים

נתון A(1, 1)A(1,\,1), B(5, 1)B(5,\,1), C(5, 4)C(5,\,4). הראו שהמשולש ישר זווית.

AB=4BC=3AC=16+9=5\begin{aligned}AB &= 4 \\ \quad BC &= 3 \\ \quad AC &= \sqrt{16 + 9} \\ &= 5\end{aligned}

שלוש הצלעות

42+32=25=52\begin{aligned}4^2 + 3^2 &= 25 \\ &= 5^2\end{aligned}

משפט פיתגורס ההפוך: הזווית מול ACAC ישרה, כלומר ∠B\angle B

mAB=0BC אנכי\begin{aligned}m_{AB} &= 0 \\ \quad BC \text{ אנכי}\end{aligned}

דרך שנייה: ABAB אופקי ו-BCBC אנכי, ולכן AB⊥BCAB \perp BC

האם המשולש A(0, 0)A(0,\,0), B(4, 2)B(4,\,2), C(2, 6)C(2,\,6) ישר זווית? אם כן, באיזה קודקוד?

Show the answer and the solution

mAB=24=12m_{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, mBC=6−22−4=−2m_{BC} = \frac{6-2}{2-4} = -2, והמכפלה 12⋅(−2)=−1\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1. כן, הזווית הישרה ב-BB, כי AB⊥BCAB \perp BC.

תיכון וגובה: לפי המשוואות שלהם

התיכון מקודקוד CC הוא הקטע מ-CC אל אמצע הצלע ABAB. מוצאים את האמצע MM, ואז את הישר דרך CC ו-MM. הגובה מ-CC מאונך ל-ABAB: לוקחים את שיפוע ABAB, הופכים ומנגדים, ומעבירים ישר בשיפוע הזה דרך CC. שני קווים שונים, שתי שיטות שונות: בתיכון משתמשים באמצע, בגובה משתמשים בשיפוע.

תיכון וגובה מאותו קודקוד

נתון A(0, 0)A(0,\,0), B(6, 2)B(6,\,2), C(2, 6)C(2,\,6). מצאו את משוואת התיכון ואת משוואת הגובה מ-CC לצלע ABAB.

M=(0+62, 0+22)=(3, 1)\begin{aligned}M &= \left( \frac{0+6}{2},\ \frac{0+2}{2} \right) \\ &= (3,\,1)\end{aligned}

אמצע ABAB

mCM=1−63−2=−5\begin{aligned}m_{CM} &= \frac{1 - 6}{3 - 2} \\ &= -5\end{aligned}

שיפוע התיכון

y−6=−5(x−2) ⇒ y=−5x+16\begin{aligned}y - 6 &= -5(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -5x + 16\end{aligned}

משוואת התיכון CMCM

mAB=26=13 ⇒ m⊥=−3\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -3\end{aligned}

שיפוע הגובה: הופכי ונגדי לשיפוע ABAB

y−6=−3(x−2) ⇒ y=−3x+12\begin{aligned}y - 6 &= -3(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 12\end{aligned}

משוואת הגובה מ-CC

התיכון CMCM בכתום מגיע לאמצע M(3, 1)M(3,\,1). הגובה CDCD בכחול מגיע ל-DD, שאינו האמצע. הם שונים כי CA≠CBCA \neq CB: CA=40CA = \sqrt{40} ו-CB=32CB = \sqrt{32}.

מתי התיכון והגובה מאותו קודקוד מתלכדים?

Show the answer and the solution

כשהמשולש שווה שוקיים ואותו קודקוד הוא הראש: אז CA=CBCA = CB, והקטע לאמצע ABAB גם מאונך לו. אם קיבלתם שתי משוואות זהות, זו הסיבה, ואפשר לאמת בחישוב CACA ו-CBCB.

מרובעים: איזו צורה זו?

mAB=mDC mAD=mBC\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ \ m_{AD} &= m_{BC}\end{aligned}

מקבילית: שני זוגות של צלעות מקבילות. בדיקה מהירה: האלכסונים חוצים זה את זה, כלומר ל-ACAC ול-BDBD אותו אמצע

mAB⋅mAD=−1m_{AB} \cdot m_{AD} = -1

מלבן: מקבילית שיש בה זווית ישרה

AB=ADAB = AD

מעוין: מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות

מלבן+מעוין\text{מלבן} + \text{מעוין}

ריבוע

mAB=mDC mAD≠mBC\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ \ m_{AD} \neq m_{BC}\end{aligned}

טרפז: זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות

מה הצורה של המרובע?

נתון A(0, 0)A(0,\,0), B(4, 0)B(4,\,0), C(6, 3)C(6,\,3), D(2, 3)D(2,\,3). קבעו איזה מרובע הוא ABCDABCD.

mAB=0mDC=3−36−2=0\begin{aligned}m_{AB} &= 0 \\ \quad m_{DC} &= \frac{3 - 3}{6 - 2} \\ &= 0\end{aligned}

AB∥DCAB \parallel DC

mAD=32mBC=3−06−4=32\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{3}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{3 - 0}{6 - 4} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

AD∥BCAD \parallel BC: מקבילית

0⋅32=0≠−10 \cdot \frac{3}{2} = 0 \neq -1

אין זווית ישרה: לא מלבן

AB=4AD=4+9=13\begin{aligned}AB &= 4 \\ \quad AD &= \sqrt{4 + 9} \\ &= \sqrt{13}\end{aligned}

צלעות סמוכות שונות: לא מעוין. התשובה: מקבילית

כדי למצוא את הקודקוד הרביעי של מקבילית ABCDABCD, משתמשים באלכסונים: אמצע ACAC שווה לאמצע BDBD. ולכן D=A+C−BD = A + C - B, בכל קואורדינטה בנפרד. שימו לב לסדר האותיות: DD מול BB.

איזה מרובע הוא A(1, 1)A(1,\,1), B(4, 1)B(4,\,1), C(4, 4)C(4,\,4), D(1, 4)D(1,\,4)?

Show the answer and the solution

ריבוע. ABAB ו-DCDC אופקיים, ADAD ו-BCBC אנכיים, ולכן מקבילית עם זוויות ישרות: מלבן. וכל הצלעות באורך 33: גם מעוין. מלבן שהוא מעוין הוא ריבוע.

שלוש הטעויות של צורות בקואורדינטות.

AB=CD ⇒ מעויןAB = CD \ \Rightarrow \ \text{מעוין}
AB=ADAB = AD

במעוין צלעות סמוכות שוות. צלעות נגדיות שוות בכל מקבילית.

mCM=−1mABm_{CM} = -\frac{1}{m_{AB}}
mCM=yM−yCxM−xCm_{CM} = \frac{y_M - y_C}{x_M - x_C}

התיכון עובר דרך האמצע ואינו בהכרח מאונך. השיפוע ההופכי והנגדי שייך לגובה.

mAB=mCD ⇒ מקביליתm_{AB} = m_{CD} \ \Rightarrow \ \text{מקבילית}
mAB=mDC וגם mAD=mBC\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \ \text{וגם} \ m_{AD} \\ &= m_{BC}\end{aligned}

זוג אחד של צלעות מקבילות נותן רק טרפז. למקבילית צריך את שני הזוגות.

Exercises

Exercise 1

נתון המשולש ABCABC: A(−1, 2)A(-1,\,2), B(5, 2)B(5,\,2), C(2, 6)C(2,\,6). חשבו את היקף המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

AB=∣5−(−1)∣=6\begin{aligned}AB &= |5 - (-1)| \\ &= 6\end{aligned}

אותו yy: צלע אופקית

AC=(2−(−1))2+(6−2)2=9+16=5\begin{aligned}AC &= \sqrt{(2-(-1))^2 + (6-2)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק

BC=(5−2)2+(2−6)2=9+16=5\begin{aligned}BC &= \sqrt{(5-2)^2 + (2-6)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק

6+5+5=166 + 5 + 5 = 16

היקף

שתי שוקיים שוות: המשולש שווה שוקיים. מי שקיבל AB=4AB = 4 חיסר 5−15 - 1 ושכח את המינוס.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון המשולש ABCABC: A(−1, 2)A(-1,\,2), B(5, 2)B(5,\,2), C(2, 6)C(2,\,6). איזה משולש הוא ABCABC?

  1. שונה צלעות
  2. שווה צלעות
  3. ישר זווית
  4. שווה שוקיים
Show the answer and the solution

Answer: D שווה שוקיים

Worked solution:

AC=BC=5AB=6\begin{aligned}AC &= BC \\ &= 5 \\ \quad AB &= 6\end{aligned}

שתי צלעות שוות

52+52=50≠365^2 + 5^2 = 50 \neq 36

לא ישר זווית: פיתגורס לא מתקיים

התשובה: שווה שוקיים. CC נמצא בדיוק מעל אמצע ABAB, שהוא (2, 2)(2,\,2). לא שווה צלעות: AB=6≠5AB = 6 \neq 5.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון המשולש ABCABC: A(−2, −1)A(-2,\,-1), B(6, 3)B(6,\,3), C(1, 6)C(1,\,6). MM אמצע ABAB. מצאו את משוואת התיכון CMCM.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = -5 x+x + 11

Worked solution:

M=(−2+62, −1+32)=(2, 1)\begin{aligned}M &= \left( \frac{-2+6}{2},\ \frac{-1+3}{2} \right) \\ &= (2,\,1)\end{aligned}

אמצע ABAB

mCM=1−62−1=−5\begin{aligned}m_{CM} &= \frac{1 - 6}{2 - 1} \\ &= -5\end{aligned}

שיפוע דרך CC ו-MM

y−6=−5(x−1) ⇒ y=−5x+11\begin{aligned}y - 6 &= -5(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -5x + 11\end{aligned}

שיפוע ונקודה

−5⋅2+11=1-5 \cdot 2 + 11 = 1

בדיקה עם MM ✓

תיכון: קודם אמצע, ואז ישר דרך שתי נקודות. השיפוע של ABAB לא משתתף כאן.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון המשולש ABCABC: A(−2, −1)A(-2,\,-1), B(6, 3)B(6,\,3), C(1, 6)C(1,\,6). מהי משוואת הגובה מ-CC לצלע ABAB?

  1. y=2x+4y = 2x + 4
  2. y=12x+5.5y = \frac{1}{2}x + 5.5
  3. y=−5x+11y = -5x + 11
  4. y=−2x+8y = -2x + 8
Show the answer and the solution

Answer: D y=−2x+8y = -2x + 8

Worked solution:

mAB=3−(−1)6−(−2)=48=12\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3 - (-1)}{6 - (-2)} \\ &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע הצלע

m⊥=−2m_{\perp} = -2

הופכי ונגדי

y−6=−2(x−1) ⇒ y=−2x+8\begin{aligned}y - 6 &= -2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 8\end{aligned}

דרך CC

התשובה: y=−2x+8y = -2x + 8. y=12x+5.5y = \frac{1}{2}x + 5.5 מקביל ל-ABAB, לא מאונך. y=−5x+11y = -5x + 11 הוא התיכון, שעובר דרך האמצע ולא מאונך.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון המרובע ABCDABCD: A(0, 0)A(0,\,0), B(5, 0)B(5,\,0), C(7, 3)C(7,\,3), D(2, 3)D(2,\,3). איזה מרובע הוא?

  1. מעוין
  2. טרפז
  3. מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין
  4. מלבן
Show the answer and the solution

Answer: C מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין

Worked solution:

mAB=0mDC=0\begin{aligned}m_{AB} &= 0 \\ \quad m_{DC} &= 0\end{aligned}

AB∥DCAB \parallel DC

mAD=32mBC=37−5=32\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{3}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{3}{7 - 5} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

AD∥BCAD \parallel BC: מקבילית

0⋅32≠−10 \cdot \frac{3}{2} \neq -1

לא מלבן

AB=5AD=4+9=13\begin{aligned}AB &= 5 \\ \quad AD &= \sqrt{4 + 9} \\ &= \sqrt{13}\end{aligned}

לא מעוין

התשובה: מקבילית. שני זוגות מקבילים שוללים טרפז, שבו יש זוג אחד בלבד. בלי זווית ישרה ובלי צלעות סמוכות שוות, נשארת מקבילית.

Check the answer on elev

Exercise 6

הוכיחו או הפריכו: המרובע ABCDABCD עם A(1, 1)A(1,\,1), B(5, 3)B(5,\,3), C(3, 7)C(3,\,7), D(−1, 5)D(-1,\,5) הוא ריבוע.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

mAB=24=12mDC=7−53−(−1)=12\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{DC} &= \frac{7-5}{3-(-1)} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

AB∥DCAB \parallel DC

mBC=7−33−5=−2mAD=5−1−1−1=−2\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{7-3}{3-5} \\ &= -2 \\ \quad m_{AD} &= \frac{5-1}{-1-1} \\ &= -2\end{aligned}

AD∥BCAD \parallel BC: מקבילית

12⋅(−2)=−1\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1

AB⊥BCAB \perp BC: מלבן

AB=16+4=20BC=4+16=20\begin{aligned}AB &= \sqrt{16 + 4} \\ &= \sqrt{20} \\ \quad BC &= \sqrt{4 + 16} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

צלעות סמוכות שוות: מעוין

הטענה נכונה. מלבן שהוא גם מעוין הוא ריבוע. הריבוע «מוטה» ולא מקביל לצירים, ולכן העין לא רואה אותו מיד. החישוב רואה.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCDABCD מקבילית. A(−1, 2)A(-1,\,2), B(3, 0)B(3,\,0), C(5, 4)C(5,\,4). מצאו את הקודקוד DD.

D(D( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: D(D( 1 ,, 6 ))

Worked solution:

MAC=(−1+52, 2+42)=(2, 3)\begin{aligned}M_{AC} &= \left( \frac{-1+5}{2},\ \frac{2+4}{2} \right) \\ &= (2,\,3)\end{aligned}

אמצע האלכסון ACAC

xD=2⋅2−3=1yD=2⋅3−0=6\begin{aligned}x_D &= 2 \cdot 2 - 3 \\ &= 1 \\ \quad y_D &= 2 \cdot 3 - 0 \\ &= 6\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה: DD הוא הקצה השני של BDBD

mAB=−12=mDCmAD=2=mBC\begin{aligned}m_{AB} &= -\frac{1}{2} \\ &= m_{DC} \\ \quad m_{AD} &= 2 \\ &= m_{BC}\end{aligned}

בדיקה: שני זוגות מקבילים ✓

מי שחישב B+C−AB + C - A קיבל (9, 2)(9,\,2): זה קודקוד רביעי של מקבילית אחרת, ABDCABDC. בסדר ABCDABCD, DD מול BB.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון המשולש ABCABC: A(0, 0)A(0,\,0), B(6, 0)B(6,\,0), C(4, 8)C(4,\,8). חשבו את שטח המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

AB=6AB = 6

הבסיס על ציר ה-xx

h=yC=8\begin{aligned}h &= y_C \\ &= 8\end{aligned}

הגובה ל-ABAB הוא המרחק של CC מציר ה-xx

S=6⋅82=24\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח משולש

כשצלע מונחת על ציר ה-xx, הגובה אליה הוא שיעור ה-yy של הקודקוד השלישי. אין צורך בנוסחת המרחק.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון המשולש ABCABC: A(0, 0)A(0,\,0), B(6, 0)B(6,\,0), C(4, 8)C(4,\,8). MM אמצע ACAC. מהו אורך התיכון BMBM? תנו תשובה מדויקת.

  1. 88
  2. 424\sqrt{2}
  3. 252\sqrt{5}
  4. 44
Show the answer and the solution

Answer: B 424\sqrt{2}

Worked solution:

M=(0+42, 0+82)=(2, 4)\begin{aligned}M &= \left( \frac{0+4}{2},\ \frac{0+8}{2} \right) \\ &= (2,\,4)\end{aligned}

אמצע ACAC

BM=(6−2)2+(0−4)2=16+16=32\begin{aligned}BM &= \sqrt{(6-2)^2 + (0-4)^2} \\ &= \sqrt{16 + 16} \\ &= \sqrt{32}\end{aligned}

נוסחת המרחק

32=16⋅2=42\begin{aligned}\sqrt{32} &= \sqrt{16 \cdot 2} \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

מוציאים גורם מהשורש

התשובה: 424\sqrt{2}. 44 הוא ההפרש בכל ציר, לא המרחק. תשובה מדויקת פירושה שורש מצומצם, לא 5.665.66.

Check the answer on elev

חזרה משולבת — טרפז וקטע אמצעים

Exercise 10

במערכת הצירים נתון המרובע ABCDABCD: A(−2,3)A(-2, 3), B(0,−1)B(0, -1), C(6,−3)C(6, -3), D(2,5)D(2, 5). א. מהו סוג המרובע?

  1. מקבילית
  2. מלבן
  3. דלתון
  4. טרפז
Show the answer and the solution

Answer: D טרפז

Worked solution:

mAB=−1−30+2=−2mDC=−3−56−2=−2\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-1 - 3}{0 + 2} \\ &= -2 \\ \quad m_{DC} &= \frac{-3 - 5}{6 - 2} \\ &= -2\end{aligned}

שיפועים שווים: AB∥DCAB \parallel DC

mAD=5−32+2=12mBC=−3+16−0=−13\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{5 - 3}{2 + 2} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{-3 + 1}{6 - 0} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

שיפועים שונים: AD∦BCAD \nparallel BC

AB=20≠DC=80\begin{aligned}AB &= \sqrt{20} \neq DC \\ &= \sqrt{80}\end{aligned}

גם האורכים שונים

טרפז: זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות (AB∥DCAB \parallel DC). במקבילית שני הזוגות מקבילים — וכאן ADAD ו-BCBC אינם מקבילים.

Check the answer on elev

Exercise 11

במערכת הצירים נתון המרובע ABCDABCD: A(−2,3)A(-2, 3), B(0,−1)B(0, -1), C(6,−3)C(6, -3), D(2,5)D(2, 5). המרובע הוא טרפז (AB∥DCAB \parallel DC). בטרפז מעבירים את קטע האמצעים EFEF: EE אמצע השוק ADAD ו-FF אמצע השוק BCBC. ב. מצאו את שיעורי הנקודה FF.

F=F = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: F=F = ( 3 , -2 )

Worked solution:

F=(0+62,−1+(−3)2)F = \left(\frac{0 + 6}{2}, \frac{-1 + (-3)}{2}\right)

אמצע קטע: ממוצע השיעורים

F=(3,−2)F = (3, -2)

התשובה

F(3,−2)F(3, -2). באותה דרך EE, אמצע ADAD, היא (0,4)(0, 4).

Check the answer on elev

Exercise 12

במערכת הצירים נתון המרובע ABCDABCD: A(−2,3)A(-2, 3), B(0,−1)B(0, -1), C(6,−3)C(6, -3), D(2,5)D(2, 5). EE אמצע ADAD ו-F(3,−2)F(3, -2) אמצע BCBC. ג. מצאו את משוואת הישר EFEF.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = -2 x+x + 4

Worked solution:

E=(−2+22,3+52)=(0,4)\begin{aligned}E &= \left(\frac{-2 + 2}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right) \\ &= (0, 4)\end{aligned}

אמצע ADAD

mEF=−2−43−0=−2\begin{aligned}m_{EF} &= \frac{-2 - 4}{3 - 0} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

y=−2x+4y = -2x + 4

EE על ציר ה-yy, ולכן n=4n = 4

y=−2x+4y = -2x + 4. השיפוע שווה לשיפוע הבסיסים: קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים.

Check the answer on elev

Exercise 13

במערכת הצירים נתון המרובע ABCDABCD: A(−2,3)A(-2, 3), B(0,−1)B(0, -1), C(6,−3)C(6, -3), D(2,5)D(2, 5). משוואת קטע האמצעים EFEF היא y=−2x+4y = -2x + 4. האלכסון ACAC חותך את EFEF בנקודה KK. ד. (1) מצאו את שיעורי הנקודה KK.

K=K = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: K=K = ( 2 , 0 )

Worked solution:

mAC=−3−36+2=−34\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{-3 - 3}{6 + 2} \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

שיפוע האלכסון

y−3=−34(x+2)⇒y=−34x+1.5\begin{aligned}y - 3 &= -\frac{3}{4}(x + 2) \Rightarrow y \\ &= -\frac{3}{4}x + 1.5\end{aligned}

משוואת ACAC

−2x+4=−34x+1.5⇒x=2 y=0\begin{aligned}-2x + 4 &= -\frac{3}{4}x + 1.5 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ y &= 0\end{aligned}

חיתוך שני הישרים

K(2,0)K(2, 0). בדיקה ב-ACAC: −34⋅2+1.5=0-\frac{3}{4} \cdot 2 + 1.5 = 0 ✓

Check the answer on elev

Exercise 14

במערכת הצירים נתון המרובע ABCDABCD: A(−2,3)A(-2, 3), B(0,−1)B(0, -1), C(6,−3)C(6, -3), D(2,5)D(2, 5). קטע האמצעים EFEF חותך את האלכסון ACAC בנקודה K(2,0)K(2, 0). ד. (2) קבעו: AK=CKAK = CK.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

(−2+62,3+(−3)2)=(2,0)=K\begin{aligned}\left(\frac{-2 + 6}{2}, \frac{3 + (-3)}{2}\right) &= (2, 0) \\ &= K\end{aligned}

אמצע ACAC הוא בדיוק KK

AK=CK=25=5\begin{aligned}AK &= CK \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה בנוסחת המרחק

נכון. קטע האמצעים בטרפז חוצה כל אלכסון: במשולש ACDACD הקטע EKEK יוצא מאמצע ADAD ומקביל ל-DCDC, ולכן מגיע לאמצע ACAC.

Check the answer on elev

חזרה משולבת — מלבן, משולשים דומים וזווית

Exercise 15

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית, והקודקוד AA נמצא על ציר ה-yy. אורך הצלע BC=AD=90BC = AD = \sqrt{90}. נתון D(9,6)D(9, 6) ו-B(2,−3)B(2, -3). OO ראשית הצירים. א. מצאו את שיעורי הנקודה AA, אם נתון yA<6y_A < 6.

A=A = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: A=A = ( 0 , 3 )

Worked solution:

A(0,y)AD=90\begin{aligned}A(0, y) \\ \quad AD &= \sqrt{90}\end{aligned}

AA על ציר ה-yy

(9−0)2+(6−y)2=90(9 - 0)^2 + (6 - y)^2 = 90

נוסחת המרחק בריבוע

(6−y)2=9⇒6−y=±3\begin{aligned}(6 - y)^2 &= 9 \Rightarrow 6 - y \\ &= \pm 3\end{aligned}

שני פתרונות: y=3y = 3 או y=9y = 9

yA<6⇒A(0,3)y_A < 6 \Rightarrow A(0, 3)

התנאי בוחר אחד

A(0,3)A(0, 3). בלי התנאי גם (0,9)(0, 9) במרחק 90\sqrt{90} מ-DD.

Check the answer on elev

Exercise 16

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית, והקודקוד AA נמצא על ציר ה-yy. אורך הצלע BC=AD=90BC = AD = \sqrt{90}. נתון D(9,6)D(9, 6) ו-B(2,−3)B(2, -3). OO ראשית הצירים. נמצא A(0,3)A(0, 3). ב. הוכיחו: המרובע ABCDABCD הוא מלבן.

  • ABCDABCD מקבילית
  • A(0,3)A(0, 3), B(2,−3)B(2, -3), D(9,6)D(9, 6)

ABCDABCD מלבן

Show the answer and the solution
  1. mAB=−3m_{AB} = -3, mAD=13m_{AD} = \frac{1}{3} — חישוב שיפוע: m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
  2. AB⊥ADAB \perp AD — מכפלת השיפועים −3⋅13=−1-3 \cdot \frac{1}{3} = -1, ולכן הישרים מאונכים
  3. ABCDABCD מלבן — מקבילית שיש בה זווית ישרה היא מלבן

Worked solution:

mAB=−3−32−0=−3mAD=6−39−0=13\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-3 - 3}{2 - 0} \\ &= -3 \\ \quad m_{AD} &= \frac{6 - 3}{9 - 0} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפועי שתי צלעות סמוכות

−3⋅13=−1⇒∠DAB=90∘\begin{aligned}-3 \cdot \frac{1}{3} &= -1 \Rightarrow \angle DAB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

מכפלת שיפועים −1-1

מקבילית עם זווית ישרה אחת היא מלבן — אין צורך לבדוק את שלוש הזוויות האחרות, כי במקבילית זוויות נגדיות שוות וזוויות סמוכות משלימות ל-180∘180^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 17

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית, והקודקוד AA נמצא על ציר ה-yy. אורך הצלע BC=AD=90BC = AD = \sqrt{90}. נתון D(9,6)D(9, 6) ו-B(2,−3)B(2, -3). OO ראשית הצירים. נמצא A(0,3)A(0, 3), והמרובע ABCDABCD הוא מלבן. אלכסוני המלבן נפגשים בנקודה MM. ג. מצאו את שיעורי הקודקוד CC.

C=C = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: C=C = ( 11 , 0 )

Worked solution:

M=(2+92,−3+62)=(5.5,1.5)\begin{aligned}M &= \left(\frac{2 + 9}{2}, \frac{-3 + 6}{2}\right) \\ &= (5.5, 1.5)\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה: MM אמצע BDBD

0+xC2=5.53+yC2=1.5\begin{aligned}\frac{0 + x_C}{2} &= 5.5 \\ \quad \frac{3 + y_C}{2} &= 1.5\end{aligned}

MM גם אמצע ACAC

C=(11,0)C = (11, 0)

הקצה השני

C(11,0)C(11, 0) — על ציר ה-xx. בדיקה: B+D−A=(2+9−0,−3+6−3)=(11,0)B + D - A = (2 + 9 - 0, -3 + 6 - 3) = (11, 0) ✓

Check the answer on elev

Exercise 18

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית, והקודקוד AA נמצא על ציר ה-yy. אורך הצלע BC=AD=90BC = AD = \sqrt{90}. נתון D(9,6)D(9, 6) ו-B(2,−3)B(2, -3). OO ראשית הצירים. נמצא A(0,3)A(0, 3) ו-C(11,0)C(11, 0). הצלע ABAB חותכת את ציר ה-xx בנקודה EE. ד. מצאו את שיעורי הנקודה EE.

E=E = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: E=E = ( 1 , 0 )

Worked solution:

mAB=−3y=−3x+3\begin{aligned}m_{AB} &= -3 \\ \quad y &= -3x + 3\end{aligned}

ישר דרך A(0,3)A(0, 3), שהיא נקודת החיתוך עם ציר ה-yy

0=−3x+3⇒x=1\begin{aligned}0 &= -3x + 3 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

על ציר ה-xx: y=0y = 0

E(1,0)E(1, 0), בין OO ל-CC.

Check the answer on elev

Exercise 19

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית, והקודקוד AA נמצא על ציר ה-yy. אורך הצלע BC=AD=90BC = AD = \sqrt{90}. נתון D(9,6)D(9, 6) ו-B(2,−3)B(2, -3). OO ראשית הצירים. ABCDABCD הוא מלבן, C(11,0)C(11, 0), והצלע ABAB חותכת את ציר ה-xx בנקודה E(1,0)E(1, 0). ה. (1) הוכיחו: △CBE∼△AOE\triangle CBE \sim \triangle AOE.

  • ABCDABCD מלבן
  • EE על ABAB ועל ציר ה-xx
  • AA על ציר ה-yy

△CBE∼△AOE\triangle CBE \sim \triangle AOE

Show the answer and the solution
  1. ∠CBE=90∘\angle CBE = 90^\circ — זווית של מלבן, ו-EE על הצלע ABAB
  2. ∠AOE=90∘\angle AOE = 90^\circ — הצירים מאונכים זה לזה
  3. ∠BEC=∠OEA\angle BEC = \angle OEA — זוויות קודקודיות שוות
  4. △CBE∼△AOE\triangle CBE \sim \triangle AOE — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

∠CBE=∠AOE=90∘\begin{aligned}\angle CBE &= \angle AOE \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית של מלבן; זווית בין הצירים

∠BEC=∠OEA\angle BEC = \angle OEA

קודקודיות

△CBE∼△AOE\triangle CBE \sim \triangle AOE

ז.ז: C↔AC \leftrightarrow A, B↔OB \leftrightarrow O, E↔EE \leftrightarrow E

שתי זוויות שוות מספיקות. המלכודת: לכתוב △CBE∼△OAE\triangle CBE \sim \triangle OAE — הזווית הישרה BB מתאימה לזווית הישרה OO, ולכן CC מתאימה ל-AA.

Check the answer on elev

Exercise 20

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית, והקודקוד AA נמצא על ציר ה-yy. אורך הצלע BC=AD=90BC = AD = \sqrt{90}. נתון D(9,6)D(9, 6) ו-B(2,−3)B(2, -3). OO ראשית הצירים. ABCDABCD מלבן, A(0,3)A(0, 3), C(11,0)C(11, 0), E(1,0)E(1, 0), והוכח △CBE∼△AOE\triangle CBE \sim \triangle AOE. ה. (2) מצאו את יחס הדמיון CBAO\frac{CB}{AO} (דיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 3.16

Worked solution:

CB=90AO=3\begin{aligned}CB &= \sqrt{90} \\ \quad AO &= 3\end{aligned}

צלעות מתאימות: מול הזווית EE

CBAO=903=10≈3.16\begin{aligned}\frac{CB}{AO} &= \frac{\sqrt{90}}{3} \\ &= \sqrt{10} \approx 3.16\end{aligned}

יחס הדמיון

BEOE=101CEAE=1010=10\begin{aligned}\frac{BE}{OE} &= \frac{\sqrt{10}}{1} \\ \quad \frac{CE}{AE} &= \frac{10}{\sqrt{10}} \\ &= \sqrt{10}\end{aligned}

בדיקה בשני זוגות הצלעות האחרים ✓

יחס הדמיון 10≈3.16\sqrt{10} \approx 3.16. כל צלע במשולש CBECBE ארוכה פי 10\sqrt{10} מהצלע המתאימה במשולש AOEAOE.

Check the answer on elev

Exercise 21

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית, והקודקוד AA נמצא על ציר ה-yy. אורך הצלע BC=AD=90BC = AD = \sqrt{90}. נתון D(9,6)D(9, 6) ו-B(2,−3)B(2, -3). OO ראשית הצירים. הוכח △CBE∼△AOE\triangle CBE \sim \triangle AOE ביחס דמיון 10\sqrt{10}. ה. (3) פי כמה גדול שטח המשולש CBECBE משטח המשולש AOEAOE?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

SCBESAOE=(10)2=10\begin{aligned}\frac{S_{CBE}}{S_{AOE}} &= \left(\sqrt{10}\right)^2 \\ &= 10\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

SAOE=1⋅32=1.5SCBE=10⋅902=15\begin{aligned}S_{AOE} &= \frac{1 \cdot 3}{2} \\ &= 1.5 \\ \quad S_{CBE} &= \frac{\sqrt{10} \cdot \sqrt{90}}{2} \\ &= 15\end{aligned}

בדיקה ישירה: מכפלת הניצבים חלקי 22

פי 1010. המלכודת: לענות 10\sqrt{10} — זה יחס הצלעות, לא יחס השטחים.

Check the answer on elev

Exercise 22

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית, והקודקוד AA נמצא על ציר ה-yy. אורך הצלע BC=AD=90BC = AD = \sqrt{90}. נתון D(9,6)D(9, 6) ו-B(2,−3)B(2, -3). OO ראשית הצירים. נמצא A(0,3)A(0, 3) ו-C(11,0)C(11, 0). ו. חשבו את שטח המרובע ACBOACBO.

Show the answer and the solution

Answer: 33

Worked solution:

SACBO=SAOC+SOCBS_{ACBO} = S_{AOC} + S_{OCB}

האלכסון OCOC על ציר ה-xx מחלק את המרובע לשני משולשים

SAOC=11⋅32=16.5\begin{aligned}S_{AOC} &= \frac{11 \cdot 3}{2} \\ &= 16.5\end{aligned}

בסיס OC=11OC = 11, גובה yA=3y_A = 3

SOCB=11⋅32=16.5\begin{aligned}S_{OCB} &= \frac{11 \cdot 3}{2} \\ &= 16.5\end{aligned}

בסיס OC=11OC = 11, גובה ∣yB∣=3|y_B| = 3

SACBO=33S_{ACBO} = 33

סכום

השטח 3333 יח״ר. הבסיס המשותף OCOC שוכב על ציר ה-xx, ולכן הגבהים הם פשוט המרחקים של AA ו-BB מהציר.

Check the answer on elev

Exercise 23

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית, והקודקוד AA נמצא על ציר ה-yy. אורך הצלע BC=AD=90BC = AD = \sqrt{90}. נתון D(9,6)D(9, 6) ו-B(2,−3)B(2, -3). OO ראשית הצירים. ABCDABCD מלבן, A(0,3)A(0, 3), AB=40AB = \sqrt{40} ו-BC=90BC = \sqrt{90}. ז. חשבו את גודל הזווית ∠ACB\angle ACB (במעלות, דיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 33.69

Worked solution:

∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ

זווית של מלבן

tan⁡∠ACB=ABBC=4090=23\begin{aligned}\tan \angle ACB &= \frac{AB}{BC} \\ &= \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{90}} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

במשולש ABCABC: ניצב מול חלקי ניצב ליד

∠ACB≈33.69∘\angle ACB \approx 33.69^\circ

tan⁡−123\tan^{-1} \frac{2}{3}

∠ACB≈33.69∘\angle ACB \approx 33.69^\circ. המלכודת: להפוך את המנה (BCAB\frac{BC}{AB}) — זו הזווית ∠BAC≈56.31∘\angle BAC \approx 56.31^\circ.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade