Lines: parallel, perpendicular and intersections

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שני ישרים במישור יכולים להיות מקבילים, נחתכים בנקודה אחת, או מתלכדים, כלומר אותו ישר בדיוק. מקרה מיוחד וחשוב של נחתכים: מאונכים, בזווית ישרה. כל ארבעת המצבים נקראים מהשיפועים. נסו קודם בעצמכם:

ארבעה מצבים, לפי השיפועים

m1=m2 b1≠b2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ \ b_1 \neq b_2\end{aligned}

מקבילים: אותו שיפוע, חיתוך שונה עם ציר ה-yy. אין נקודה משותפת

m1=m2 b1=b2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ \ b_1 &= b_2\end{aligned}

מתלכדים: אותו ישר, כל הנקודות משותפות

m1≠m2m_1 \neq m_2

נחתכים: בדיוק נקודה משותפת אחת

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

מאונכים: נחתכים בזווית ישרה. השיפוע של המאונך הוא הופכי ונגדי

«הופכי ונגדי» פירושו שני שינויים: הופכים את השבר, ומחליפים את הסימן. המאונך ל-m=2m = 2 הוא m=−12m = -\frac{1}{2}, והמאונך ל-m=−34m = -\frac{3}{4} הוא m=43m = \frac{4}{3}. בדיקה תמיד: המכפלה חייבת לצאת −1-1.

מהו המצב ההדדי של הישרים y=2x+1y = 2x + 1 ו-4x−2y+2=04x - 2y + 2 = 0?

Show the answer and the solution

מבודדים בשני: −2y=−4x−2-2y = -4x - 2, ולכן y=2x+1y = 2x + 1. מתלכדים: זה אותו ישר, כתוב פעמיים. מי שהשווה רק שיפועים ואמר «מקבילים» לא בדק את bb.

משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה

דרך נקודה נתונה, עם שיפוע נתון, עובר ישר אחד בלבד. זו הסיבה ששני נתונים האלה מספיקים למשוואה. מציבים בנוסחה:

y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)

הישר בשיפוע mm דרך הנקודה (x1, y1)(x_1,\,y_1)

ישר לפי שיפוע ונקודה

מצאו את משוואת הישר בשיפוע 33 העובר דרך (2, −1)(2,\,-1).

y−(−1)=3(x−2)y - (-1) = 3(x - 2)

מציבים בנוסחה, בזהירות עם הסימן של −1-1

y+1=3x−6y + 1 = 3x - 6

פותחים סוגריים

y=3x−7y = 3x - 7

הצורה המפורשת

3⋅2−7=−13 \cdot 2 - 7 = -1

בדיקה: הנקודה (2, −1)(2,\,-1) על הישר ✓

ישר דרך שתי נקודות

דרך שתי נקודות שונות עובר ישר אחד בלבד, וזו אקסיומה של הגאומטריה. כדי למצוא את משוואתו: קודם השיפוע משתי הנקודות, ואז הנוסחה של שיפוע ונקודה, עם אחת מהן. לא משנה איזו: שתיהן על אותו ישר.

ישר דרך שתי נקודות

מצאו את משוואת הישר העובר דרך A(1, 2)A(1,\,2) ו-B(4, 8)B(4,\,8).

m=8−24−1=63=2\begin{aligned}m &= \frac{8 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

y−2=2(x−1)y - 2 = 2(x - 1)

שיפוע ונקודה, עם AA

y=2xy = 2x

הצורה המפורשת

2⋅4=82 \cdot 4 = 8

בדיקה עם BB: הנקודה שלא השתמשנו בה ✓

מהי משוואת הישר העובר דרך (0, 3)(0,\,3) ו-(2, 7)(2,\,7)?

Show the answer and the solution

m=7−32−0=2m = \frac{7-3}{2-0} = 2, והנקודה (0, 3)(0,\,3) היא בדיוק החיתוך עם ציר ה-yy, ולכן b=3b = 3: y=2x+3y = 2x + 3. בדיקה: 2⋅2+3=72 \cdot 2 + 3 = 7 ✓.

חיתוך עם הצירים

הישר y=−2x+4y = -2x + 4 חותך את ציר ה-yy ב-A(0, 4)A(0,\,4): שם x=0x = 0. הוא חותך את ציר ה-xx ב-B(2, 0)B(2,\,0): שם y=0y = 0, ופותרים −2x+4=0-2x + 4 = 0.
x=0x = 0

חיתוך עם ציר ה-yy: מציבים x=0x = 0. בצורה המפורשת זה (0, b)(0,\,b)

y=0y = 0

חיתוך עם ציר ה-xx: מציבים y=0y = 0 ופותרים משוואה ב-xx

חיתוך בין שני ישרים

נקודת החיתוך נמצאת על שני הישרים, ולכן שיעוריה מקיימים את שתי המשוואות. כששתיהן בצורה המפורשת, משווים את שני האגפים ופותרים משוואה ב-xx, ואז מציבים כדי לקבל yy.

חיתוך של שני ישרים

מצאו את נקודת החיתוך של y=2x−1y = 2x - 1 ו-y=−x+5y = -x + 5.

2x−1=−x+52x - 1 = -x + 5

משווים: אותו yy בשני הישרים

3x=6 ⇒ x=2\begin{aligned}3x &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

פותרים

y=2⋅2−1=3\begin{aligned}y &= 2 \cdot 2 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים בישר הראשון

−2+5=3-2 + 5 = 3

בדיקה בישר השני ✓

מהי נקודת החיתוך של y=x+1y = x + 1 ו-y=3x−3y = 3x - 3?

Show the answer and the solution

x+1=3x−3x + 1 = 3x - 3, ולכן 2x=42x = 4, x=2x = 2, ו-y=3y = 3: (2, 3)(2,\,3). בדיקה: 3⋅2−3=33 \cdot 2 - 3 = 3 ✓. נקודת חיתוך היא תמיד זוג: xx לבד אינו תשובה.

בכל ישר שמצאתם, הציבו את הנקודה שלא השתמשתם בה. אם היא לא מקיימת את המשוואה, יש טעות. הבדיקה הזו עולה שורה אחת ותופסת את רוב הטעויות.

שלוש הטעויות של ישרים.

m1=2 ⇒ m⊥=−2\begin{aligned}m_1 &= 2 \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -2\end{aligned}
m⊥=−12m_{\perp} = -\frac{1}{2}

מאונך פירושו הופכי וגם נגדי. רק המינוס לא מספיק: 2⋅(−2)=−4≠−12 \cdot (-2) = -4 \neq -1.

y−1=3(x−2) ⇒ y=3x−2\begin{aligned}y - 1 &= 3(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x - 2\end{aligned}
y=3x−5y = 3x - 5

פותחים סוגריים: 3x−63x - 6, ואז מעבירים את ה-11. שני צעדים, לא אחד.

y=2x−6 ⇒ ציר x:(0, −6)y = 2x - 6 \ \Rightarrow \ \text{ציר } x: (0,\,-6)
(3, 0)(3,\,0)

חיתוך עם ציר ה-xx הוא כש-y=0y = 0. הנקודה (0, −6)(0,\,-6) היא החיתוך עם ציר ה-yy.

Exercises

Exercise 1

שיפוע ישר הוא 2. מהו שיפוע הישר המאונך לו?

  1. 22
  2. 12\frac{1}{2}
  3. −2-2
  4. −12-\frac{1}{2}
Show the answer and the solution

Answer: D −12-\frac{1}{2}

Worked solution:

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

התנאי

m2=−12m_2 = -\frac{1}{2}

הופכי וסימן הפוך

שני שינויים, לא אחד.

Check the answer on elev

Exercise 2

שני ישרים מקבילים — אם ורק אם השיפועים שלהם שווים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

m1=m2m_1 = m_2

ההגדרה האנליטית של מקבילות

Check the answer on elev

Exercise 3

ישר אחד בעל שיפוע 3. מהו שיפוע ישר המאונך לו?

  1. −13-\frac{1}{3}
  2. 3
  3. 13\frac{1}{3}
  4. −3-3
Show the answer and the solution

Answer: A −13-\frac{1}{3}

Worked solution:

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

מכפלת שיפועים מאונכים

הופכי ונגדי: מי ששוכח את המינוס מקבל ישר מקביל-בערך, לא מאונך.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהי משוואת הישר בשיפוע −2-2 העובר דרך הנקודה (1, 5)(1,\,5)?

  1. y=−2x+3y = -2x + 3
  2. y=−2x+5y = -2x + 5
  3. y=2x+3y = 2x + 3
  4. y=−2x+7y = -2x + 7
Show the answer and the solution

Answer: D y=−2x+7y = -2x + 7

Worked solution:

y−5=−2(x−1)y - 5 = -2(x - 1)

שיפוע ונקודה

y=−2x+2+5=−2x+7\begin{aligned}y &= -2x + 2 + 5 \\ &= -2x + 7\end{aligned}

פותחים ומעבירים

−2⋅1+7=5-2 \cdot 1 + 7 = 5

בדיקה ✓

התשובה: y=−2x+7y = -2x + 7. y=−2x+5y = -2x + 5 לוקח את ה-55 של הנקודה בתור bb, אבל bb הוא הגובה ב-x=0x = 0, לא ב-x=1x = 1.

Check the answer on elev

Exercise 5

מצאו את משוואת הישר העובר דרך (−1, 1)(-1,\,1) ו-(3, 9)(3,\,9).

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = 2 x+x + 3

Worked solution:

m=9−13−(−1)=84=2\begin{aligned}m &= \frac{9 - 1}{3 - (-1)} \\ &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

קודם השיפוע

y−1=2(x+1) ⇒ y=2x+3\begin{aligned}y - 1 &= 2(x + 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x + 3\end{aligned}

שיפוע ונקודה

2⋅3+3=92 \cdot 3 + 3 = 9

בדיקה עם הנקודה השנייה ✓

במכנה 3−(−1)=43 - (-1) = 4, לא 22. מינוס פחות מינוס הופך לפלוס.

Check the answer on elev

Exercise 6

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים y=3x−4y = 3x - 4 ו-y=−x+4y = -x + 4.

(( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: (( 2 ,, 2 ))

Worked solution:

3x−4=−x+43x - 4 = -x + 4

משווים

4x=8 ⇒ x=2\begin{aligned}4x &= 8 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

פותרים

y=3⋅2−4=2\begin{aligned}y &= 3 \cdot 2 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים

−2+4=2-2 + 4 = 2

בדיקה בישר השני ✓

נקודת החיתוך היא זוג. אחרי שמוצאים xx, לא לשכוח להציב ולמצוא yy.

Check the answer on elev

Exercise 7

באיזו נקודה חותך הישר 2x+3y−12=02x + 3y - 12 = 0 את ציר ה-xx? רשמו את שיעור ה-xx של הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

y=0y = 0

על ציר ה-xx

2x−12=0 ⇒ x=6\begin{aligned}2x - 12 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

פותרים

(6, 0)(6,\,0)

הנקודה

מי שענה 44 הציב x=0x = 0 ומצא את החיתוך עם ציר ה-yy, שהוא (0, 4)(0,\,4). ציר ה-xx: y=0y = 0.

Check the answer on elev

Exercise 8

מהו המצב ההדדי של הישרים y=12x+2y = \frac{1}{2}x + 2 ו-x−2y+4=0x - 2y + 4 = 0?

  1. נחתכים בנקודה אחת שאינה בזווית ישרה
  2. מאונכים
  3. מקבילים
  4. מתלכדים
Show the answer and the solution

Answer: D מתלכדים

Worked solution:

−2y=−x−4 ⇒ y=12x+2\begin{aligned}-2y &= -x - 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x + 2\end{aligned}

מבודדים yy בישר השני

m1=m2=12b1=b2=2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad b_1 &= b_2 \\ &= 2\end{aligned}

אותו שיפוע ואותו bb

התשובה: מתלכדים. אותו שיפוע לבד היה אומר «מקבילים», אבל גם החיתוך עם ציר ה-yy זהה, ולכן זה אותו ישר.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהי משוואת הישר העובר דרך (8, 1)(8,\,1) ומאונך לישר y=4x−1y = 4x - 1?

  1. y=−14x+3y = -\frac{1}{4}x + 3
  2. y=−4x+33y = -4x + 33
  3. y=−14x+1y = -\frac{1}{4}x + 1
  4. y=14x−1y = \frac{1}{4}x - 1
Show the answer and the solution

Answer: A y=−14x+3y = -\frac{1}{4}x + 3

Worked solution:

m⊥=−14m_{\perp} = -\frac{1}{4}

הופכי ונגדי ל-44

y−1=−14(x−8)y - 1 = -\frac{1}{4}(x - 8)

שיפוע ונקודה

y=−14x+2+1=−14x+3\begin{aligned}y &= -\frac{1}{4}x + 2 + 1 \\ &= -\frac{1}{4}x + 3\end{aligned}

פותחים סוגריים

−14⋅8+3=1-\frac{1}{4} \cdot 8 + 3 = 1

בדיקה ✓

התשובה: y=−14x+3y = -\frac{1}{4}x + 3. y=−4x+33y = -4x + 33 רק החליף סימן בלי להפוך. y=14x−1y = \frac{1}{4}x - 1 הפך בלי להחליף סימן.

Check the answer on elev

Exercise 10

ישר עובר דרך הנקודה (2, 3)(2,\,3) ומקביל לישר y=−x+1y = -x + 1. באיזו נקודה הוא חותך את ציר ה-yy? רשמו את שיעור ה-yy.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

m=−1m = -1

מקבילים: אותו שיפוע

y−3=−(x−2) ⇒ y=−x+5\begin{aligned}y - 3 &= -(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 5\end{aligned}

שיפוע ונקודה

(0, 5)(0,\,5)

החיתוך עם ציר ה-yy הוא bb

השיפוע מגיע מהישר הנתון, הנקודה מהשאלה. ה-11 של הישר הנתון לא רלוונטי: מקבילים נבדלים בדיוק ב-bb.

Check the answer on elev

Exercise 11

הוכיחו או הפריכו: הישרים 2x−y+3=02x - y + 3 = 0 ו-x+2y−4=0x + 2y - 4 = 0 מאונכים זה לזה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

y=2x+3 ⇒ m1=2\begin{aligned}y &= 2x + 3 \ \Rightarrow \ m_1 \\ &= 2\end{aligned}

מבודדים yy בראשון

2y=−x+4 ⇒ y=−12x+2 ⇒ m2=−12\begin{aligned}2y &= -x + 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{1}{2}x + 2 \ \Rightarrow \ m_2 \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

מבודדים yy בשני

2⋅(−12)=−12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

מכפלת השיפועים

הטענה נכונה. בצורה הכללית זה לא נראה: המקדמים 22 ו-11 לא אומרים כלום לפני הבידוד. אחרי הבידוד, המכפלה −1-1 מכריעה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade