Slope and the line equation · Analytic geometry: points, segments and lines · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ישר נבדל מישר אחר בשני דברים: כמה הוא תלול, ולאיזה כיוון הוא פונה. את שניהם מודד מספר אחד, השיפוע. לפני הנוסחה, שחקו עם שתי נקודות על ישר וראו מה נשאר קבוע.

\begin{aligned}m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{\Delta y}{\Delta x}\end{aligned}

השיפוע של הישר דרך $(x_1,\,y_1)$ ו- $(x_2,\,y_2)$

$\Delta$ (דלתא) פירושה «הפרש». חשוב לחסר באותו סדר למעלה ולמטה: אם למעלה זה $y_2 - y_1$ , למטה זה $x_2 - x_1$ . אם הופכים את הסדר בשניהם, השיפוע לא משתנה. אם הופכים רק באחד, הסימן מתהפך, וזו הטעות הנפוצה ביותר.

שיפוע לפי שתי נקודות

מצאו את שיפוע הישר העובר דרך $A(-2,\,5)$ ו- $B(4,\,-1)$ .

\begin{aligned}\Delta y &= -1 - 5 \\ &= -6\end{aligned}

ההפרש ב- $y$ , מ- $A$ ל- $B$

\begin{aligned}\Delta x &= 4 - (-2) \\ &= 6\end{aligned}

ההפרש ב- $x$ , גם מ- $A$ ל- $B$

\begin{aligned}m &= \frac{-6}{6} \\ &= -1\end{aligned}

הישר יורד: על כל צעד ימינה יורדים צעד אחד

הסימן של השיפוע

m > 0

הישר עולה משמאל לימין

m < 0

הישר יורד משמאל לימין

m = 0

הישר אופקי, מקביל לציר ה- $x$

\Delta x = 0

הישר אנכי, מקביל לציר ה- $y$ : השיפוע אינו מוגדר, כי אסור לחלק באפס

מהו שיפוע הישר העובר דרך $(1,\,5)$ ו- $(4,\,-1)$ ? האם הוא עולה או יורד?

Show the answer and the solution

$m = \frac{-1-5}{4-1} = \frac{-6}{3} = -2$ . השיפוע שלילי, ולכן הישר יורד.

השיפוע כטנגנס של זווית

הישר יוצר זווית $\alpha$ עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ . במשולש ישר הזווית של השיפוע, $\Delta y$ הוא הניצב שמול $\alpha$ ו- $\Delta x$ הוא הניצב שליד $\alpha$ . היחס ביניהם הוא בדיוק הטנגנס שלמדתם בכיתה ט:

m = \tan \alpha

$\alpha$ הזווית בין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $x$

כשהישר עולה, הזווית $\alpha$ חדה ו- $\tan \alpha = m$ . כשהישר יורד, מסתכלים על הזווית החדה $\beta$ שהישר יוצר עם ציר ה- $x$ : $\tan \beta = |m|$ , והשיפוע עצמו הוא $m = -\tan \beta$ . הסימן אומר את הכיוון, הטנגנס אומר את התלילות.

\begin{aligned}m &= 1 \ \Leftrightarrow \ \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

עולה, $\tan 45^\circ = 1$

\begin{aligned}m &= -1 \ \Leftrightarrow \ \beta \\ &= 45^\circ\end{aligned}

יורד, אותה תלילות, סימן הפוך

\begin{aligned}m &= \sqrt{3} \ \Leftrightarrow \ \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

תלול יותר: $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

\begin{aligned}m &= \frac{\sqrt{3}}{3} \ \Leftrightarrow \ \alpha \\ &= 30^\circ\end{aligned}

מתון: $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ישר יורד ויוצר זווית של $45^\circ$ עם ציר ה- $x$ . מהו שיפועו?

Show the answer and the solution

$-1$ . $\tan 45^\circ = 1$ , והישר יורד, ולכן השיפוע שלילי. הזווית נותנת את הגודל, הכיוון נותן את הסימן.

ישרים מקבילים לצירים

הישר הכחול

y = 3

: כל נקודה עליו בגובה

3

, השיפוע

0

. הישר הכתום

x = 2

: כל נקודה עליו עם

x = 2

, ואין לו שיפוע. הם נפגשים ב-

P(2,\,3)

y = b

ישר אופקי: כל הנקודות באותו גובה $b$ . השיפוע $0$ . ציר ה- $x$ עצמו הוא $y = 0$

x = a

ישר אנכי: כל הנקודות עם אותו $x$ . אין שיפוע. ציר ה- $y$ עצמו הוא $x = 0$

צורה מפורשת וצורה כללית

y = mx + b

הצורה המפורשת: $m$ השיפוע, $b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$

Ax + By + C = 0

הצורה הכללית: הכול באגף אחד, אפס בשני. גם ישר אנכי נכתב כך: $x - 2 = 0$

כדי לעבור מהצורה הכללית למפורשת, מבודדים את $y$ . למשל $3x + 2y - 6 = 0$ : מעבירים, $2y = -3x + 6$ , ומחלקים ב- $2$ : $y = -\frac{3}{2}x + 3$ . השיפוע הוא $-\frac{3}{2}$ ולא $3$ : המקדם של $x$ בצורה הכללית אינו השיפוע.

מהצורה המפורשת לצורה הכללית

כתבו את הישר $y = \frac{2}{3}x - 4$ בצורה הכללית.

3y = 2x - 12

כופלים ב- $3$ כדי להיפטר מהשבר

2x - 3y - 12 = 0

מעבירים הכול לאגף אחד

\begin{aligned}-3y &= -2x + 12 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{2}{3}x - 4\end{aligned}

בדיקה: מבודדים $y$ וחוזרים למקור ✓

מהם השיפוע ונקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ של הישר $4x + 2y - 8 = 0$ ?

Show the answer and the solution

מבודדים: $2y = -4x + 8$ , ולכן $y = -2x + 4$ . השיפוע $-2$ , החיתוך עם ציר ה- $y$ ב- $(0,\,4)$ . מי שקרא « $4$ » כשיפוע לא בודד את $y$ .

בכל שאלה על ישר בצורה הכללית, הצעד הראשון הוא לבודד את $y$ . רק בצורה המפורשת השיפוע ונקודת החיתוך נקראים ישירות.

שלוש הטעויות של השיפוע.

m = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

ההפרש ב- $y$ למעלה. שיפוע הוא «כמה עולים» חלקי «כמה מתקדמים».

m = \frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

אותו סדר למעלה ולמטה. סדר הפוך באחד מהם הופך את הסימן, וישר עולה נהיה יורד.

\begin{aligned}2x + 3y - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ m \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}y &= -\frac{2}{3}x + 2 \ \Rightarrow \ m \\ &= -\frac{2}{3}\end{aligned}

בצורה הכללית המקדם של $x$ אינו השיפוע. מבודדים את $y$ קודם.

Exercises

Exercise 1

מהו שיפוע הישר העובר דרך $(1, 1)$ ו- $(4, 7)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}m &= \frac{7-1}{4-1} \\ &= 2\end{aligned}

הפרש y חלקי הפרש x

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו שיפוע הישר העובר דרך $(-2,\,5)$ ו- $(4,\,-1)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

\begin{aligned}\Delta y &= -1 - 5 \\ &= -6\end{aligned}

ההפרש ב- $y$

\begin{aligned}\Delta x &= 4 - (-2) \\ &= 6\end{aligned}

ההפרש ב- $x$ , באותו סדר

\begin{aligned}m &= \frac{-6}{6} \\ &= -1\end{aligned}

השיפוע

מי שמקבל $1$ חיסר בסדר הפוך במונה או במכנה. הישר יורד, ולכן השיפוע חייב להיות שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 3

איזה מהישרים הבאים יורד?

$y = 3x - 2$
$y = 2$
$y = -3x + 2$
$x = 3$

Show the answer and the solution

Answer: C $y = -3x + 2$

Worked solution:

m = -3 < 0

שיפוע שלילי: יורד

\begin{aligned}m &= 3 \\ \quad m &= 0\end{aligned}

עולה, אופקי

x = 3

אנכי: אין שיפוע, לא עולה ולא יורד

התשובה: $y = -3x + 2$ . המספר החופשי $+2$ לא משפיע על הכיוון, רק על הגובה. $x = 3$ הוא ישר אנכי, ואי אפשר לומר עליו «יורד».

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו שיפוע הישר $3x - 4y + 8 = 0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

-4y = -3x - 8

מעבירים את $y$ לבד

y = \frac{3}{4}x + 2

מחלקים ב- $-4$ : שני הסימנים מתהפכים

\begin{aligned}m &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

השיפוע

מי שענה $3$ קרא את המקדם של $x$ בצורה הכללית. מי שענה $-\frac{3}{4}$ שכח שמחלקים ב- $-4$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון הישר $5x + y - 7 = 0$ . השלימו.

השיפוע $m =$ ____ , החיתוך עם ציר ה- $y$ בנקודה $(0,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: השיפוע $m =$ -5 , החיתוך עם ציר ה- $y$ בנקודה $(0,$ 7 $)$

Worked solution:

y = -5x + 7

מבודדים את $y$

\begin{aligned}m &= -5 \\ \qquad (0,\,7)\end{aligned}

קוראים מהצורה המפורשת

החיתוך עם ציר ה- $y$ נקרא רק אחרי הבידוד. בצורה הכללית ה- $-7$ נראה כמו $b$ , אבל הסימן שלו מתהפך במעבר.

Check the answer on elev

Exercise 6

ישר עובר דרך ראשית הצירים, עולה, ויוצר זווית של $45^\circ$ עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ . מהי משוואתו?

$x = 0$
$y = x$
$y = 45x$
$y = -x$

Show the answer and the solution

Answer: B $y = x$

Worked solution:

\begin{aligned}m &= \tan 45^\circ \\ &= 1\end{aligned}

השיפוע מהזווית

b = 0

עובר דרך $(0,\,0)$

y = x

המשוואה

התשובה: $y = x$ . השיפוע הוא הטנגנס של הזווית, לא הזווית עצמה: $45$ אינו שיפוע. $y = -x$ יורד.

Check the answer on elev

Exercise 7

ישר עולה יוצר זווית של $60^\circ$ עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ . מהו שיפועו? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.73

Worked solution:

\begin{aligned}m &= \tan 60^\circ \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

השיפוע הוא הטנגנס של הזווית

\sqrt{3} \approx 1.73

במחשבון

השיפוע הוא הטנגנס, לא הסינוס ולא הזווית. בדיקה הגיונית: $60^\circ$ תלול יותר מ- $45^\circ$ , ולכן השיפוע גדול מ- $1$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: השיפוע של הישר $x = 4$ הוא $0$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

(4,\,0),\ (4,\,5)

שתי נקודות על הישר: אותו $x$

\begin{aligned}\Delta x &= 4 - 4 \\ &= 0\end{aligned}

המכנה בנוסחת השיפוע מתאפס

m = \frac{5}{0}

לא מוגדר

הטענה לא נכונה. הישר $x = 4$ אנכי, ושיפוע אנכי אינו מוגדר. שיפוע $0$ יש לישר אופקי, כמו $y = 4$ . שני הישרים האלה מתבלבלים כל הזמן.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהי הצורה הכללית של הישר $y = \frac{1}{2}x + 3$ ?

$x - 2y - 6 = 0$
$2x - y + 3 = 0$
$x - 2y + 6 = 0$
$x + 2y + 6 = 0$

Show the answer and the solution

Answer: C $x - 2y + 6 = 0$

Worked solution:

2y = x + 6

כופלים ב- $2$

x - 2y + 6 = 0

מעבירים הכול לאגף אחד

\begin{aligned}-2y &= -x - 6 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x + 3\end{aligned}

בדיקה ✓

התשובה: $x - 2y + 6 = 0$ . אפשר לבדוק כל אפשרות בהצבת הנקודה $(0,\,3)$ : רק בנכונה מתקבל $0 - 6 + 6 = 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

מיינו את הישרים לפי סימן השיפוע.

שיפוע חיובי: עולה
שיפוע שלילי: יורד

$2x - 3y = 0$
$3x - y + 2 = 0$
$x + y = 5$
$y = -0.5x$
$y = -x + 4$
$y = 2x - 1$

Show the answer and the solution

Answer: $y = 2x - 1$ — שיפוע חיובי: עולה · $y = -x + 4$ — שיפוע שלילי: יורד · $3x - y + 2 = 0$ — שיפוע חיובי: עולה · $x + y = 5$ — שיפוע שלילי: יורד · $y = -0.5x$ — שיפוע שלילי: יורד · $2x - 3y = 0$ — שיפוע חיובי: עולה

Worked solution:

\begin{aligned}3x - y + 2 &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x + 2\end{aligned}

מבודדים: עולה

\begin{aligned}x + y &= 5 \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 5\end{aligned}

יורד

\begin{aligned}2x - 3y &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{2}{3}x\end{aligned}

עולה

בצורה הכללית אי אפשר לקרוא את הסימן ישירות: $3x - y + 2 = 0$ נראה עם מינוס, אבל אחרי הבידוד השיפוע חיובי. מבודדים קודם.

Check the answer on elev

הסימן של השיפוע

השיפוע כטנגנס של זווית

ישרים מקבילים לצירים

צורה מפורשת וצורה כללית

Exercises

Keep practising on elev