elev

כפל שבריםMultiplier des fractionsMultiplying fractions

בחרו תת-נושא
  1. תזכורת: מהו שבר?Rappel : la fractionReminder: the fraction
  2. שבר כמנת חילוקLa fraction comme divisionThe fraction as a division
  3. ישר המספריםLa droite numériqueThe number line
  4. חלק מכמותUne part d’une quantitéA part of an amount
  5. כפל שלם בשברMultiplier un entier par une fractionMultiplying a whole number by a fraction
  6. כפל שבריםMultiplier des fractionsMultiplying fractions
  7. חילוק שבריםDiviser des fractionsDividing fractions
  8. שבר עשרוני מחזוריLe décimal périodiqueThe repeating decimal
  9. תרגולEntraînementPractice

של שברים הוא דווקא הפעולה הקלה ביותר — קלה יותר מחיבור. כאן לא צריך בכלל, ואין מה לחפש. פשוט כופלים למעלה עם למעלה, ולמטה עם למטה.

25×37=2×35×7=635\begin{aligned}\frac{2}{5} \times \frac{3}{7} &= \frac{2 \times 3}{5 \times 7} \\ &= \frac{6}{35}\end{aligned}

ה של התוצאה הוא מכפלת שני המונים, וה של התוצאה הוא מכפלת שני המכנים. זהו.

ואפשר גם להרגיש את זה. מהו חצי של חצי? רבע. ובאמת:

12×12=1×12×2=14\begin{aligned}\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} &= \frac{1 \times 1}{2 \times 2} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

שימו לב למשהו מוזר: התוצאה קטנה משני השברים שהתחלנו מהם. בכפל של מספרים שלמים זה לא קורה אף פעם. כשכופלים בשבר קטן מ-1, לוקחים רק חלק — ולכן קטנים.

המילה שמסתירה כפל

בבעיות מילוליות, כפל כמעט אף פעם לא כתוב בסימן ×\times. הוא מסתתר במילה : חצי מ, שליש מ, 34\frac{3}{4} מ. בכל פעם שמופיעה המילה הזאת — זה כפל.

13 מ- 12=13×12=4\begin{aligned}\tfrac{1}{3} \text{ מ- } 12 \quad &= \quad \frac{1}{3} \times 12 \\ &= 4\end{aligned}
23 מ- 34=23×34=612=12\begin{aligned}\tfrac{2}{3} \text{ מ- } \tfrac{3}{4} \quad &= \quad \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \\ &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
בצרפתית אומרים « la moitié de », באנגלית ‏"half of". זו בדיוק אותה מילה ואותו כפל. מי שהגיע מחו"ל כבר מכיר את הרעיון — הוא רק לא מזהה אותו כשהוא כתוב בעברית.

לפני שכופלים מספר מעורב

אי אפשר לכפול כמו שהוא. קודם הופכים אותו ל פשוט, ורק אז כופלים.

זו טעות שחוזרת אצל תלמידים שהגיעו מחו"ל, כי אצלם הכתיבה 2122\tfrac{1}{2} נראית ממילא כמו כפל.

212×13=2162\tfrac{1}{2} \times \frac{1}{3} = 2\tfrac{1}{6}
212=52⟶52×13=562\tfrac{1}{2} = \frac{5}{2} \quad \longrightarrow\quad \frac{5}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{6}

לא כופלים רק את חלק השבר ומשאירים את השלם בצד. השלם הוא חלק מהמספר — הוא חייב להיכנס לתוך השבר לפני הכפל.

צמצום בהצלבה — לפני הכפל, תמיד

אפשר לכפול קודם ולצמצם אחר כך, אבל אז מקבלים מספרים גדולים ומתעייפים. עדיף להפוך את הסדר: קודם מצמצמים, ורק אז כופלים. נסתכל על התרגיל הזה:

34×83=?\frac{3}{4} \times \frac{8}{3} = \quad ?

הדרך הארוכה: כופלים הכול, ומקבלים מספרים גדולים שצריך לצמצם בסוף.

3×84×3=2412=2\begin{aligned}\frac{3 \times 8}{4 \times 3} &= \frac{24}{12} \\ &= 2\end{aligned}

הדרך הקצרה: ה-3 שלמעלה בשבר הראשון וה-3 שלמטה בשבר השני מצטמצמים זה עם זה, למרות שהם בשני שברים שונים. אחר כך ה-8 וה-4 מצטמצמים ב-4. ומה שנשאר כמעט לא צריך חישוב:

3141×8231=1×21×1=2\begin{aligned}\frac{\overset{\textcolor{#c77b2b}{1}}{\cancel{\textcolor{#c77b2b}{3}}}}{\overset{\textcolor{#15315e}{1}}{\cancel{\textcolor{#15315e}{4}}}} \times \frac{\overset{\textcolor{#15315e}{2}}{\cancel{\textcolor{#15315e}{8}}}}{\overset{\textcolor{#c77b2b}{1}}{\cancel{\textcolor{#c77b2b}{3}}}} &= \frac{1 \times 2}{1 \times 1} \\ &= 2\end{aligned}

זה נקרא . שימו לב שזה לא חוק חדש: זה בדיוק ה שכבר מכירים, רק שעושים אותו מוקדם יותר.

קודם מצמצמים
3141×8231=1×21×1=2\begin{aligned}\frac{\overset{\textcolor{#c77b2b}{1}}{\cancel{\textcolor{#c77b2b}{3}}}}{\overset{\textcolor{#15315e}{1}}{\cancel{\textcolor{#15315e}{4}}}} \times \frac{\overset{\textcolor{#15315e}{2}}{\cancel{\textcolor{#15315e}{8}}}}{\overset{\textcolor{#c77b2b}{1}}{\cancel{\textcolor{#c77b2b}{3}}}} &= \frac{1 \times 2}{1 \times 1} \\ &= 2\end{aligned}
3 ו-3 צומצמו ב-3·8 ו-4 צומצמו ב-4
קודם כופלים
3×84×3=2412=2\begin{aligned}\frac{3 \times 8}{4 \times 3} &= \frac{24}{12} \\ &= 2\end{aligned}
בדרך הארוכה הגענו ל-2412\frac{24}{12}, ורק אז היינו צריכים לצמצם ב-12.
הזיזו את ארבעת המספרים. המספרים בצבע אחד הם אלה שמצטמצמים זה עם זה. השוו כל פעם בין שתי הדרכים למטה.
מותר לצמצם בהצלבה רק בכפל. בחיבור ובחיסור זה אסור לחלוטין — שם צריך . אל תערבבו בין השניים.

עכשיו נתרגל הרבה. אחרי התרגילים נסכם את הכלל.

שאלהכמה זה 23×34\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}?
שאלהכפל בשבר קטן מ-1 — מגדיל או מקטין?
25\frac{2}{5} × 37\frac{3}{7} = ?
25\frac{2}{5} × 37\frac{3}{7} = ?
12\frac{1}{2} × 13\frac{1}{3} = ?
12\frac{1}{2} × 13\frac{1}{3} = ?
34\frac{3}{4} × 25\frac{2}{5} = ?
34\frac{3}{4} × 25\frac{2}{5} = ?
12\frac{1}{2} × 45\frac{4}{5} = ?
12\frac{1}{2} × 45\frac{4}{5} = ?
23\frac{2}{3} × 34\frac{3}{4} = ?
23\frac{2}{3} × 34\frac{3}{4} = ?
34\frac{3}{4} × 83\frac{8}{3} = ?
34\frac{3}{4} × 83\frac{8}{3} = ?
59\frac{5}{9} × 310\frac{3}{10} = ?
59\frac{5}{9} × 310\frac{3}{10} = ?
47\frac{4}{7} × 78\frac{7}{8} = ?
47\frac{4}{7} × 78\frac{7}{8} = ?
67\frac{6}{7} × 23\frac{2}{3} = ?
67\frac{6}{7} × 23\frac{2}{3} = ?
58\frac{5}{8} × 215\frac{2}{15} = ?
58\frac{5}{8} × 215\frac{2}{15} = ?
310\frac{3}{10} × 56\frac{5}{6} = ?
310\frac{3}{10} × 56\frac{5}{6} = ?
712\frac{7}{12} × 47\frac{4}{7} = ?
712\frac{7}{12} × 47\frac{4}{7} = ?
29\frac{2}{9} × 34\frac{3}{4} = ?
29\frac{2}{9} × 34\frac{3}{4} = ?
910\frac{9}{10} × 56\frac{5}{6} = ?
910\frac{9}{10} × 56\frac{5}{6} = ?
45\frac{4}{5} × 108\frac{10}{8} = ?
45\frac{4}{5} × 108\frac{10}{8} = ?
בבקבוק יש 34\frac{3}{4} ליטר מיץ. שתיתם 23\frac{2}{3} מהבקבוק. כמה ליטר שתיתם?
בבקבוק יש 34\frac{3}{4} ליטר מיץ. שתיתם 23\frac{2}{3} מהבקבוק. כמה ליטר שתיתם?
בכיתה 24 תלמידים. 38\frac{3}{8} מהם מגיעים לבית הספר ברגל. כמה תלמידים מגיעים ברגל?
גינה מלבנית שאורכה 56\frac{5}{6} מטר ורוחבה 35\frac{3}{5} מטר. מה שטח הגינה, במטר רבוע?
גינה מלבנית שאורכה 56\frac{5}{6} מטר ורוחבה 35\frac{3}{5} מטר. מה שטח הגינה, במטר רבוע?
אכלתם חצי עוגה. למחרת אכלתם 13\frac{1}{3} ממה שנשאר. איזה חלק מהעוגה כולה אכלתם למחרת?
אכלתם חצי עוגה. למחרת אכלתם 13\frac{1}{3} ממה שנשאר. איזה חלק מהעוגה כולה אכלתם למחרת?
מתכון לעוגה אחת דורש 23\frac{2}{3} כוס סוכר. אתם מכינים מנה וחצי מהמתכון. כמה כוסות סוכר צריך?
בכד יש 2122\tfrac{1}{2} ליטר מים. שפכתם 13\frac{1}{3} מהכד. כמה ליטר שפכתם?
בכד יש 2122\tfrac{1}{2} ליטר מים. שפכתם 13\frac{1}{3} מהכד. כמה ליטר שפכתם?
בכיתה 32 תלמידים. 34\frac{3}{4} מהם הגיעו לטיול השנתי. כמה תלמידים הגיעו?

איזה חישוב מתאים?
בכיתה 32 תלמידים. 34\frac{3}{4} מהם הגיעו לטיול השנתי. כמה תלמידים הגיעו?

איזה חישוב מתאים?
בכיתה 32 תלמידים. 34\frac{3}{4} מהם הגיעו לטיול השנתי. כמה תלמידים הגיעו?

ומה התשובה?
שקית סוכר שוקלת 12\frac{1}{2} ק״ג. אמא קנתה 6 שקיות. כמה ק״ג סוכר קנתה?

איזה חישוב מתאים?
שקית סוכר שוקלת 12\frac{1}{2} ק״ג. אמא קנתה 6 שקיות. כמה ק״ג סוכר קנתה?

איזה חישוב מתאים?
שקית סוכר שוקלת 12\frac{1}{2} ק״ג. אמא קנתה 6 שקיות. כמה ק״ג סוכר קנתה?

ומה התשובה?
סרט אורכו 34\frac{3}{4} מטר. חותכים אותו לחתיכות של 14\frac{1}{4} מטר. כמה חתיכות מתקבלות?

איזה חישוב מתאים?
סרט אורכו 34\frac{3}{4} מטר. חותכים אותו לחתיכות של 14\frac{1}{4} מטר. כמה חתיכות מתקבלות?

איזה חישוב מתאים?
סרט אורכו 34\frac{3}{4} מטר. חותכים אותו לחתיכות של 14\frac{1}{4} מטר. כמה חתיכות מתקבלות?

ומה התשובה?