elev

כפל שלם בשברMultiplier un entier par une fractionMultiplying a whole number by a fraction

בחרו תת-נושא
  1. תזכורת: מהו שבר?Rappel : la fractionReminder: the fraction
  2. שבר כמנת חילוקLa fraction comme divisionThe fraction as a division
  3. ישר המספריםLa droite numériqueThe number line
  4. חלק מכמותUne part d’une quantitéA part of an amount
  5. כפל שלם בשברMultiplier un entier par une fractionMultiplying a whole number by a fraction
  6. כפל שבריםMultiplier des fractionsMultiplying fractions
  7. חילוק שבריםDiviser des fractionsDividing fractions
  8. שבר עשרוני מחזוריLe décimal périodiqueThe repeating decimal
  9. תרגולEntraînementPractice

מה זה 3×143 \times \frac{1}{4}? בדיוק מה שהכפל תמיד אומר: שלוש פעמים רבע. רבע ועוד רבע ועוד רבע.

3×14=14+14+14=34\begin{aligned}3 \times \frac{1}{4} &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

שימו לב מה קרה: החתיכות נשארו רבעים. רק מספר החתיכות גדל — במקום רבע אחד יש שלושה. לכן השלם כופל את ה בלבד, וה לא זז.

3×25=3×25=65=115\begin{aligned}3 \times \frac{2}{5} &= \frac{3 \times 2}{5} \\ &= \frac{6}{5} \\ &= 1\tfrac{1}{5}\end{aligned}
שלם כפול שבר = השלם כפול המונה, והמכנה נשאר כמו שהוא
שאלהכמה זה 4×274 \times \frac{2}{7}?

למה המכנה לא משתנה?

המכנה אומר איזה גודל של חתיכות יש לנו — חמישיות, שביעיות, רבעים. כשלוקחים את אותה חתיכה כמה פעמים, הגודל שלה לא משתנה. זו הטעות הכי נפוצה בנושא הזה:

כופלים את השלם גם במכנה — וכאילו הכפלנו ב-33\frac{3}{3}, שהוא 1. התוצאה לא זזה בכלל.

3×25=3×23×5=6153 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{3 \times 5} = \frac{6}{15}
3×25=3×25=653 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5}

615\frac{6}{15} הוא בדיוק 25\frac{2}{5} — הרחבה, לא כפל. אחרי כפל ב-3 חייבים לקבל פי שלושה.

השלם הוא שבר עם מכנה 1

יש דרך שנייה לראות את אותו הדבר. כל מספר שלם אפשר לכתוב כ שהמכנה שלו 1: 3=313 = \frac{3}{1}. ואז זה כפל של שבר בשבר — מונה במונה, מכנה במכנה:

3×25=31×25=3×21×5=65\begin{aligned}3 \times \frac{2}{5} &= \frac{3}{1} \times \frac{2}{5} \\ &= \frac{3 \times 2}{1 \times 5} \\ &= \frac{6}{5}\end{aligned}
שתי הדרכים נותנות אותה תוצאה, כי המכנה מוכפל ב-1 — כלומר לא משתנה. הדרך הזאת תשמש אותנו בפרק הבא, .

לצמצם לפני שכופלים

כשהשלם והמכנה מתחלקים באותו מספר, כדאי לצמצם לפני הכפל — ואז המספרים נשארים קטנים. למשל 4×344 \times \frac{3}{4}: ה-4 שלמעלה וה-4 שלמטה מצטמצמים זה עם זה.

4×34=3\cancel{4} \times \frac{3}{\cancel{4}} = 3

ארבע פעמים שלושה רבעים הם שלושה שלמים בדיוק. ובלי צמצום היינו מקבלים 124\frac{12}{4}, ומצמצמים בסוף — אותה תשובה, יותר עבודה.

6 × 5/9

ה-6 וה-9 מתחלקים שניהם ב-3.

  • 6 2×59 3=2×53\cancel{6}^{\,2} \times \frac{5}{\cancel{9}_{\,3}} = 2 \times \frac{5}{3}צמצום בהצלבה: השלם מול המכנה
  • 2×53=103=3132 \times \frac{5}{3} = \frac{10}{3} = 3\tfrac{1}{3}ואז כפל רגיל, והופכים למספר מעורב
לפני כל כפל של שלם בשבר, לעצור רגע: האם השלם והמכנה מתחלקים באותו מספר? זהו בדיוק ה — רק שכאן אחד השברים הוא שלם.

מגדיל או מקטין?

עם מספרים שלמים, כפל תמיד מגדיל. עם שברים — תלוי בשבר. נסתכל על שלושה כפלים של אותו שלם:

3×14=343 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
השבר קטן מ-1 — התוצאה קטנה מ-3
3×44=33 \times \frac{4}{4} = 3
השבר שווה ל-1 — התוצאה נשארת 3
3×54=3343 \times \frac{5}{4} = 3\tfrac{3}{4}
השבר גדול מ-1 — התוצאה גדולה מ-3
זו בדיקה מהירה שכדאי לעשות אחרי כל תרגיל: כפל בשבר קטן מ-1 חייב לתת פחות מהשלם. אם יצא יותר — נפלה טעות.
שאלהבלי לחשב: 8×798 \times \frac{7}{9} — יותר מ-8 או פחות מ-8?

כפל שלם במספר מעורב

ומה עם 2×3122 \times 3\tfrac{1}{2}? הוא שלם ועוד שבר, ויש שתי דרכים לכפול אותו. הראשונה: להפוך אותו קודם לשבר פשוט.

312=72⟶2×72=142=7\begin{aligned}3\tfrac{1}{2} &= \frac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad 2 \times \frac{7}{2} \\ &= \frac{14}{2} \\ &= 7\end{aligned}

השנייה: לכפול את השלם ואת השבר, כל אחד בנפרד, ולחבר. פעמיים שלושה שלמים ועוד פעמיים חצי:

2 × 3½ בדרך של החלקים

כופלים כל חלק של המספר המעורב, ואז מחברים.

  • 2×3=62 \times 3 = 6השלם
  • 2×12=12 \times \frac{1}{2} = 1השבר
  • 6+1=76 + 1 = 7ומחברים

בדרך של החלקים, הטעות היא לכפול רק את השלם ולשכוח את השבר.

4×213=8134 \times 2\tfrac{1}{3} = 8\tfrac{1}{3}
4×2+4×13=8+43=9134 \times 2 + 4 \times \frac{1}{3} = 8 + \frac{4}{3} = 9\tfrac{1}{3}

ה-4 כופל את שני החלקים. השליש לא נשאר כמו שהוא — גם הוא גדל פי ארבעה.

כשהשבר של המספר המעורב פשוט (חצי, שליש, רבע) — דרך החלקים מהירה יותר. כשהוא מסובך — עדיף להפוך לשבר פשוט. שתי הדרכים נכונות תמיד.

ובבעיות מילוליות

כפל שלם בשבר מופיע בכל פעם שיש כמה פעמים אותה כמות: 5 בקבוקים של 34\frac{3}{4} ליטר, 6 ימים של 1121\tfrac{1}{2} שעות. כותבים את מספר הפעמים כפול הכמות:

5×34=154=334\begin{aligned}5 \times \frac{3}{4} &= \frac{15}{4} \\ &= 3\tfrac{3}{4}\end{aligned}

ועכשיו משהו מפתיע. בחלק מכמות למדנו ש-34\frac{3}{4} מ-5 הוא 34×5\frac{3}{4} \times 5. וכאן חישבנו 5×345 \times \frac{3}{4}. בכפל מותר להחליף סדר — אז חמישה בקבוקים של שלושה רבעים ליטר, ושלושה רבעים של חמישה ליטרים, הם בדיוק אותה כמות.

שאלהכל יום בשבוע מריצים 23\frac{2}{3} ק״מ. כמה ק״מ רצים בשבוע שלם?

להכיר

2×13=?2 \times \frac{1}{3} = ?
2×13=?2 \times \frac{1}{3} = ?
5×27=?5 \times \frac{2}{7} = ?
5×27=?5 \times \frac{2}{7} = ?
3×45=?3 \times \frac{4}{5} = ?
3×45=?3 \times \frac{4}{5} = ?
השלימו את המונה
3 × 2/7 = /7
4×34=?4 \times \frac{3}{4} = ?

להתאמן

12×23=?12 \times \frac{2}{3} = ?
10×35=?10 \times \frac{3}{5} = ?
6×59=?6 \times \frac{5}{9} = ?
6×59=?6 \times \frac{5}{9} = ?
4×38=?4 \times \frac{3}{8} = ?
4×38=?4 \times \frac{3}{8} = ?
שורה אחת שגויה — מצאו אותה

שורה אחת שגויה — לחצו עליה

טענה7×237 \times \frac{2}{3} גדול מ-7
7×237 \times \frac{2}{3} גדול מ-7
טענה5×655 \times \frac{6}{5} גדול מ-5
5×655 \times \frac{6}{5} גדול מ-5
סדרו מהקטן לגדול — בלי לחשב, רק לפי השבר

לחצו על השלבים לפי הסדר הנכון

3×212=?3 \times 2\tfrac{1}{2} = ?
3×212=?3 \times 2\tfrac{1}{2} = ?
4×134=?4 \times 1\tfrac{3}{4} = ?
5×113=?5 \times 1\tfrac{1}{3} = ?
5×113=?5 \times 1\tfrac{1}{3} = ?

לשחק ולבדוק

בכל בקבוק 34\frac{3}{4} ליטר מיץ. כמה ליטר יש ב-8 בקבוקים?
חבילת אורז שוקלת 23\frac{2}{3} ק״ג. כמה שוקלות 5 חבילות?
חבילת אורז שוקלת 23\frac{2}{3} ק״ג. כמה שוקלות 5 חבילות?
נועה מתאמנת 1121\tfrac{1}{2} שעות בכל יום, במשך 6 ימים. כמה שעות התאמנה בסך הכול?
מתכון לעוגה אחת דורש 25\frac{2}{5} כוס סוכר. כמה כוסות סוכר צריך ל-5 עוגות?
טענה5 בקבוקים של 34\frac{3}{4} ליטר, ו-34\frac{3}{4} מ-5 ליטרים — זו אותה כמות
5 בקבוקים של 34\frac{3}{4} ליטר, ו-34\frac{3}{4} מ-5 ליטרים — זו אותה כמות