elev

משוואות עם eˣÉquations avec eˣEquations with eˣ

בחרו תת-נושא
  1. מאיפה בא המספר eD’où vient le nombre eWhere the number e comes from
  2. הגרף של eˣLe graphe de eˣThe graph of eˣ
  3. הזזות ומתיחות של eˣDécalages et étirements de eˣShifts and stretches of eˣ
  4. משוואות עם eˣÉquations avec eˣEquations with eˣ
  5. הנגזרת של eˣLa dérivée de eˣThe derivative of eˣ
  6. משיקים ונקודות קיצוןTangentes et extremumsTangents and extrema
  7. חקירת פונקציה מעריכיתÉtude d’une fonction exponentielleStudying an exponential function
  8. פונקציות עם פרמטרFonctions à paramètreFunctions with a parameter
  9. אינטגרל ושטחIntégrale et aireIntegral and area
  10. איך ניגשים לשאלה בבגרותAborder une question du bagroutApproaching a bagrut question
  11. שאלה 1 בפורמט הבגרותQuestion 1 au format de l'examenQuestion 1 in exam format
  12. שאלה 2 בפורמט הבגרותQuestion 2 au format de l'examenQuestion 2 in exam format
  13. שאלה 3 בפורמט הבגרותQuestion 3 au format de l'examenQuestion 3 in exam format
  14. שאלה 4 בפורמט הבגרותQuestion 4 au format de l'examenQuestion 4 in exam format
  15. שאלה 5 בפורמט הבגרותQuestion 5 au format de l'examenQuestion 5 in exam format
  16. תרגולEntraînementPractice

ln⁡a\ln a הוא המספר tt שעבורו et=ae^t = a. כלומר, ln⁡a\ln a עונה על השאלה: באיזו חזקה צריך להעלות את ee כדי לקבל aa? למשל ln⁡1=0\ln 1 = 0, כי e0=1e^0 = 1. מכיוון ש-ete^t תמיד חיובי, ln⁡a\ln a מוגדר רק עבור a>0a > 0. בעזרת ln⁡\ln אפשר לפתור משוואה שבה הנעלם נמצא במעריך.

et=a  ⟺  t=ln⁡a(a>0)\begin{aligned}e^t &= a \iff t \\ &= \ln a \quad (a>0)\end{aligned}
eln⁡a=ae^{\ln a} = a
עבור a>0a > 0: ee בחזקת ln⁡a\ln a מחזיר את aa
ln⁡(et)=t\ln(e^t) = t
ln⁡\ln מבטל את החזקה של ee, לכל tt
ln⁡1=0\ln 1 = 0
כי e0=1e^0 = 1
משוואה ריבועית בתחפושת
e2x−5ex+6=0e^{2x} - 5e^x + 6 = 0
לחצו «להתחיל». יש כאן גם e2xe^{2x} וגם exe^x. שימו לב ש-e2x=(ex)2e^{2x} = (e^x)^2, ולכן זו משוואה ריבועית.
5 שלבים
אותה דרך עובדת על כל משוואה מהצורה e2x+bex+c=0e^{2x} + b e^x + c = 0: מציבים t=ext = e^x, פותרים משוואה ריבועית, בודקים ש-t>0t > 0, וחוזרים ל-xx בעזרת ln⁡\ln.
שאלהלמה אין פתרון למשוואה ex=−2e^x = -2?

שוכחים לבדוק את tt אחרי ההצבה.

t=2 , t=−1⇒x=ln⁡2 , x=ln⁡(−1)t = 2 \ , \ t = -1 \Rightarrow x = \ln 2 \ , \ x = \ln(-1)
t=ex>0⇒t≠−1⇒x=ln⁡2t = e^x > 0 \Rightarrow t \neq -1 \Rightarrow x = \ln 2

במשוואה e2x−ex−2=0e^{2x} - e^x - 2 = 0 ההצבה t=ext = e^x נותנת t=2t = 2 או t=−1t = -1. הפתרון t=−1t = -1 נפסל, כי t=ex>0t = e^x > 0: אין xx שעבורו ex=−1e^x = -1. נשאר רק t=2t = 2, ולמשוואה יש פתרון אחד: x=ln⁡2x = \ln 2.

פתרו את המשוואה ex=5e^x = 5. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.
פתרו את המשוואה e2x−1=3e^{2x-1} = 3. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.
למשוואה e2x−5ex+6=0e^{2x} - 5e^x + 6 = 0 יש שני פתרונות. מצאו את הפתרון הגדול מביניהם, ועגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.
פתרו את המשוואה e2x−ex−2=0e^{2x} - e^x - 2 = 0. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.
טענהלמשוואה ex=−2e^x = -2 יש פתרון.
למשוואה ex=−2e^x = -2 יש פתרון.
פתרו את המשוואה 3ex−2=103e^x - 2 = 10. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.
למשוואה ex2−1=1e^{x^2-1} = 1 יש שני פתרונות. מהו הפתרון החיובי?
לאיזה תנאי שקול אי-השוויון ex>3e^x > 3?
לאיזה תנאי שקול אי-השוויון ex>3e^x > 3?
פתרו את המשוואה e−x=1e2e^{-x} = \frac{1}{e^2}.
פתרו את המשוואה ex⋅ex+1=e5e^x \cdot e^{x+1} = e^5.