elev

אינטגרל ושטחIntégrale et aireIntegral and area

בחרו תת-נושא
  1. מאיפה בא המספר eD’où vient le nombre eWhere the number e comes from
  2. הגרף של eˣLe graphe de eˣThe graph of eˣ
  3. הזזות ומתיחות של eˣDécalages et étirements de eˣShifts and stretches of eˣ
  4. משוואות עם eˣÉquations avec eˣEquations with eˣ
  5. הנגזרת של eˣLa dérivée de eˣThe derivative of eˣ
  6. משיקים ונקודות קיצוןTangentes et extremumsTangents and extrema
  7. חקירת פונקציה מעריכיתÉtude d’une fonction exponentielleStudying an exponential function
  8. פונקציות עם פרמטרFonctions à paramètreFunctions with a parameter
  9. אינטגרל ושטחIntégrale et aireIntegral and area
  10. איך ניגשים לשאלה בבגרותAborder une question du bagroutApproaching a bagrut question
  11. שאלה 1 בפורמט הבגרותQuestion 1 au format de l'examenQuestion 1 in exam format
  12. שאלה 2 בפורמט הבגרותQuestion 2 au format de l'examenQuestion 2 in exam format
  13. שאלה 3 בפורמט הבגרותQuestion 3 au format de l'examenQuestion 3 in exam format
  14. שאלה 4 בפורמט הבגרותQuestion 4 au format de l'examenQuestion 4 in exam format
  15. שאלה 5 בפורמט הבגרותQuestion 5 au format de l'examenQuestion 5 in exam format
  16. תרגולEntraînementPractice

מחפשים פונקציה קדומה של ff: פונקציה FF שהנגזרת שלה היא ff. מכיוון ש-(ex)′=ex(e^x)' = e^x, הפונקציה exe^x היא פונקציה קדומה של עצמה. בעזרת פונקציה קדומה מחשבים אינטגרל מסוים: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), כאשר aa ו-bb הם גבולות האינטגרציה. כאשר ff חיובית בין הגבולות, האינטגרל שווה לשטח שבין הגרף לבין ציר ה-xx.

∫ex dx=ex+C\int e^x\,dx = e^x + C
∫ekx+m dx=1kekx+m+C\int e^{kx+m}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx+m} + C
השטח מתחת לגרף של eˣ, מלבן אחרי מלבן

עם 4 מלבנים עד הגבול 1, סכום השטחים של המלבנים הוא 1.512, והשטח המדויק הוא 1.718

המלבנים בנויים מתחת לגרף של y=exy = e^x, מ-x=0x = 0 עד x=bx = b. הגובה של כל מלבן הוא ערך הפונקציה בצלע השמאלית שלו, ולכן כל מלבן נמצא מתחת לגרף. Σ\Sigma הוא סכום השטחים של המלבנים, ו-∫\int הוא השטח המדויק ∫0bex dx=eb−1\int_0^b e^x\,dx = e^b - 1. הגדילו את nn: החלק הבהיר שנשאר מעל המלבנים קטן, והסכום מתקרב לשטח המדויק.

השטח בין y=exy = e^x לבין y=1y = 1, כאשר 0≤x≤10 \le x \le 1

קובעים איזה גרף נמצא למעלה, ואז מחשבים את האינטגרל של הפונקציה העליונה פחות התחתונה.

  • 0≤x≤1⇒ex≥e0=10 \le x \le 1 \Rightarrow e^x \ge e^0 = 1exe^x עולה, ולכן בתחום הזה הגרף שלה נמצא מעל הישר y=1y = 1
  • S=∫01(ex−1)dxS = \int_0^1 \left(e^x - 1\right)dxהשטח הוא האינטגרל של ההפרש
  • S=[ex−x]01=(e−1)−(1−0)S = \left[e^x - x\right]_0^1 = (e - 1) - (1 - 0)פונקציה קדומה של ex−1e^x - 1 היא ex−xe^x - x. מציבים את הגבול העליון ומחסרים את הגבול התחתון
  • S=e−2≈0.718S = e - 2 \approx 0.718
שאלההאם ∫02ex dx\int_0^2 e^x\,dx גדול מ-22? נסו לענות לפני שאתם מחשבים.
להעריך אינטגרל בלי לחשב אותו. אם g(x)≥1g(x) \ge 1 לכל xx בקטע [0,1][0,1], אז ∫01g(x) dx≥1\int_0^1 g(x)\,dx \ge 1: השטח מתחת לגרף גדול לפחות כמו השטח של ריבוע שהצלע שלו 11. אם g(x)≤1g(x) \le 1 בכל הקטע, האינטגרל קטן מ-11 או שווה לו. ואם השוויון g(x)=1g(x) = 1 מתקיים רק בנקודה אחת, אי-השוויון בין האינטגרלים הוא חזק. כך עונים על שאלות של גדול או קטן גם כשלא יודעים למצוא פונקציה קדומה.

הטעות של המקדם במקום הלא נכון.

∫e3x dx=3e3x+C\int e^{3x}\,dx = 3e^{3x} + C
∫e3x dx=13e3x+C\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C

המקדם 33 יוצא בגזירה, ולכן בפונקציה הקדומה מחלקים בו. בודקים בגזירה: (3e3x)′=9e3x\left(3e^{3x}\right)' = 9e^{3x}, ואילו (13e3x)′=e3x\left(\frac{1}{3}e^{3x}\right)' = e^{3x}.

חשבו את ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
חשבו את ∫0ln⁡2ex dx\int_0^{\ln 2} e^x\,dx.
חשבו את ∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
הפונקציה FF היא פונקציה קדומה של f(x)=e3xf(x) = e^{3x}, ומתקיים F(0)=1F(0) = 1. אפשר לכתוב F(x)=13e3x+CF(x) = \frac{1}{3}e^{3x} + C. מצאו את CC. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של y=exy = e^x לבין הישר y=1y = 1, בתחום 0≤x≤ln⁡30 \le x \le \ln 3. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=e−xy = e^{-x}, ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=ln⁡4x = \ln 4.
טענהבלי לחשב את האינטגרל: ∫01ex2 dx>1\int_0^1 e^{x^2}\,dx > 1.
בלי לחשב את האינטגרל: ∫01ex2 dx>1\int_0^1 e^{x^2}\,dx > 1.
טענהבלי לחשב את האינטגרל: ∫−10ex dx>1\int_{-1}^{0} e^x\,dx > 1.
בלי לחשב את האינטגרל: ∫−10ex dx>1\int_{-1}^{0} e^x\,dx > 1.
חשבו את ∫ln⁡2ln⁡5ex dx\int_{\ln 2}^{\ln 5} e^x\,dx.
איזו מהפונקציות הבאות היא פונקציה קדומה של f(x)=e5x−1f(x) = e^{5x-1}?
איזו מהפונקציות הבאות היא פונקציה קדומה של f(x)=e5x−1f(x) = e^{5x-1}?