פונקציות עם פרמטרFonctions à paramètreFunctions with a parameter

חקירת $f(x) = \frac{e^x}{a - e^x}$ כאשר $a > 0$

מחפשים איפה המכנה מתאפס, ואחר כך בודקים כל צד בנפרד.

• $a - e^x = 0 \Rightarrow e^x = a \Rightarrow x = \ln a$המכנה מתאפס רק כאשר $x = \ln a$, ו-$\ln a$ קיים כי $a > 0$. תחום ההגדרה: $x \ne \ln a$
• $x = \ln a$אסימפטוטה אנכית: שם המכנה מתאפס, והמונה שווה ל-$a$ ולא ל-$0$
• $x \to -\infty : \frac{e^x}{a - e^x} \to \frac{0}{a - 0} = 0$אסימפטוטה $y = 0$ כאשר $x \to -\infty$
• $x \to +\infty : \frac{e^x}{a - e^x} = \frac{1}{ae^{-x} - 1} \to \frac{1}{0 - 1} = -1$מחלקים את המונה ואת המכנה ב-$e^x$: אסימפטוטה $y = -1$ כאשר $x \to +\infty$
• $f'(x) = \frac{e^x(a - e^x) - e^x \cdot (-e^x)}{(a - e^x)^2} = \frac{ae^x}{(a - e^x)^2} > 0$כלל המנה: המונה והמכנה חיוביים, ולכן הפונקציה עולה בכל אחד משני התחומים